3.3模拟方法—概率的应用
3.3模拟方法--概率的应用课件ppt(北师大版必修三)
提示
关．
无关．从概率公式上看，事件A的概率只与它的几
何度量(长度、面积或体积)成正比，与其位置和形状无
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
对几何概型的理解 1． (1)理解几何概型的概念要注意事件A的概率只与其几何度 量(长度、面积或体积)有关，而与A的位置和形状无关． (2)并不是所有的与几何度量有关的概率都是几何概型， 几何概型有如下两个特点： ①无限性：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数 个； ②等可能性：在每次试验中，每一个基本事件发生的可能 性是均等的． (3)古典概型与几何概型的主要区别与联系：它们都是比 较特殊的概率模型，其共同的特点是试验中的基本事件发 生的可能性都是均等的；它们的区别是古典概型中的基本 事件数是有限的，而几何概型中的基本事件数是无限的．
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自学导引
几何概型 1． (1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M， 若点 M 落
子区域G1 G 面积 在_______________的概率与 G1 的_____成正比．而与 G 的 形状 位置 _____、_____无关．即 P(点 M 落在 G1)＝
种概型为几何概型． G1的面积 ，则称这 G的面积
概率； 1 3 (3)求使四棱锥 M－ABCD 的体积小于 a 的概率． 6 审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间
的关系，利用相关公式求出其概率． 本题中对几何概型问题的处理要以立体几何的相关知识为
基础，空Байду номын сангаас想象能力为依托．
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[解题流程] 分析概率模型 → 得其为几何概型 → 利用公式求得概率
步转化，为确定区域的测定问题． 解 由已知|p|≤3，|q|≤3，所以(p，q)
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_20
§3.3模拟方法——概率的应用教学设计一、教材内容分析《模拟方法——概率的应用》是北师大版高中教材必修三第3章第3节的内容,安排在《随机事件的概率》和《古典概型》两节之后。
本小节共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。
“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
另外，本节内容的学习，可以帮助学生全面系统地掌握概率知识，体会抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法。
二、学生情况分析学生之前已经学习了一般性随机事件，概率统计定义以及古典概型.而且有了一定的观察和归纳能力，几何概型的内容可以和古典概型的内容进行类比学习.但是，古典概型研究有限的事件，而几何概型研究无限事件，如何实现两者的过渡以及如何将问题实际背景转化为相应的长度，面积，体积等几何模型是有困难的，需要教师创设好的问题情境，选择好例题，帮助学生形成几何概型的概念，掌握计算方法。
三、教学目标1、过程与方法：通过自主探究、讨论交流，参与概念产生与发展的过程；经历观察、分析、类比等方法，养成逻辑推理能力；感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。
2、知识与技能：（1）了解模拟方法的基本思想，会用这种思想解决某些具体问题:如求某些不规则图形的近似面积；（2）记住几何概型的概念和特征，了解古典概型和几何概型的区别与联系；（3）掌握几何概型的计算方法和步骤，用几何概型来解决一些纯数学问题和实际生活问题。
3、情感态度与价值观：感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用；充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题；形成从有限向无限探究的意识，养成合作交流的习惯。
四、教学重点与难点重点：几何概型概念的建构和建立合理的几何概型进行简单的几何概率计算。
高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用课件高一必修3数学课件
②设计一个几何概型;
③设计适当的试验,并通过这个试验结果来计算所求结果的近似值.
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课前篇
自主预习
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)事件M“从区间[-5,5]上任意取出一个数,求取到绝对值大于1的数的概率”
P(A)= .
5
(2)如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线
段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求
概率
10+10
P= 40
=
1
.
2
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课堂篇
探究学习
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
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课堂篇
探究学习
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
当堂检测
解:(1)如图所示,记事件A为“剪得的两段绳子的长度都不小于2 m”.把绳子
分成三段,于是当剪断点处在中间一段时,事件A发生.因为中间一段绳子的
1
长度是1 m,所以
解:把判断这个细菌所在的位置看成一次试验,设“所取的0.1升水中含有这
个细菌”为事件A,
则事件A构成的区域体积是0.1升,全部试验结果构成的区域体积是2升,所
0.1
P(A)= 2 =0.05.
以
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3.3模拟方法-概率的应用 课件(北师大版必修3)
1.下列概率模型中，是几何概型的有（
）
①从区间［-10，10］内任取出一个数，求取到1的概率；②
从区间［-10，10］内任取出一个数，求取到绝对值不大于1
的数的概率；③从区间［-10，10］内任取出一个整数，求取 到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形 内投一点P，求点P离正方形中心不超过1 cm的概率. （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2.某人午觉醒来发现自己的表停了，他打开收音机想听电台的 整点报时，则他等待的时间不超过10分钟的概率是（ ）
1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 12 72 60 6 【解析】选A.在1小时内，等待的时间不超过10分钟，应在距
整点10分钟内打开收音机.∴ P 10 1 60 6
在区域为∠BAD内部任一位置，易得
∠BAC=75°,∠BAD=30°,故“BM<1”的概率为
2 答案： 5
30 2 . 75 5
3.（5分）在给定区域内任取一点， 规则如算法框图所示，则能输出数 对（x,y）的概率是_______.
【解析】由题意知输出数对（x,y）的概率为满足 x 2 y 2 1 2 的区域与 - 1 x 1 表示的区域的面积之比，如图所示，则 - 1 y 1
线OC分布在阴影区域内，由几何概型的概率
计算公式得P= 30 1 . 90 3 1 答案： 3
5.设有一个正方形网格，其边长为6 cm，现用直径等于2 cm
的硬币掷到此网格上，则硬币落下后与格线有交点的概率是
_________.
【解析】在一个小正方形内作一边长为4 cm的正方形（中心同
小正方形中心），则当硬币中心落在这个边长为4 cm
高中数学必修3北师大版3.3模拟方法-概率的应用名师教案
第三章概率3模拟方法——概率的应用一、教学目标1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；2．使学生能够运用模拟方法估计概率．二、设计思路与教学建议1．教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现．由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性．教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法．2．教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积．求区域A的近似面积通常有两种方法．一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1 000×1 000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.另一种方法就是概率的方法，向图1的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：（1）正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个．（2）正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关．这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)．在上述几何概型中，P(芝麻落在A内)=区域A的面积/正方形的面积.我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．教科书中没有介绍几何概型，而是通过向图2的正方形和图3的长方形中随机地撒芝麻的试验，说明近似地有落在区域A内的芝麻数落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积正方形的面积,再由这个式子就可求得区域A的近似面积．图2 图3 教科书在讲解时分3步进行，以帮助学生理解．第一步是向图2的正方形中撒芝麻，区域A是一个面积为大正方形的14的小正方形，由于每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的，学生容易得出大约有14的芝麻落在区域A中，因此近似的有落在区域A内的芝麻数/落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积/正方形的面积.第二步是反过来，向图3的长方形中随机地撒芝麻，利用落在区域B中的芝麻数占整个长方形中的芝麻数的20%，得出区域B的面积近似地是整个长方形的面积的20%，这里区域域B是学生熟悉的长方形．第三步就是利用第二步的思想，来求不规则图形的近似面积?闭庋?设计易于学生接受，教师在讲课时也可按这三步进行．教学中可以根据学生的情况简单介绍一下几何概型．本章的章头图中的“投针问题”就是一个非常有名的几何概型，它是由法国数学家蒲丰提出的．在平面上画有一些平行直线,每两条相邻的平行直线之间的距离都为a,向此平面上任投一长度为b(b<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa.大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容.可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编.北京:高等教育出版社.1990).<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).<A）的针，利用几何概型的概率计算公式，可以求得针与任一平行直线相交的概率为2BΠA．大量重复向平面内投针的试验，投大量的针，数出所投的针数和与平行线相交的针数，用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率，就可求出Π的近似值．如果所投针数为N，与平行线相交的针数为M，由2BΠA≈MN，可得Π≈2BNAM．关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健，刘秀芳，徐承彝编?北本?：高等教育出版社??1990).【阅读理解】就我国现在的情况，很多地方还没有普及计算机（甚至还没有普及计算器）.为体现出学习背景的公平性，教科书在用随机数进行模拟时仅要求用随机数表产生随机数，计算机（计算器）产生随机数作为了解．但随着信息技术的发展，信息技术与课程内容结合是必然的趋势，因此,在教参前面的内容里，我们介绍了如何利用计算器产生随机数;在教科书的这一节，我们在阅读理解栏目里介绍了利用计算机模拟来估计不规则区域A的面积，这种计算方法称为蒙特卡洛（Monte―Carlo）方法.具体的模拟过程见备用课程资源．利用计算机完成1 000次模拟，教科书中的表格给出了部分数据．根据模拟结果，区域A的面积约为0.667，其理论值为23，二者非常地接近．教师可通过介绍，让学生了解计算机模拟的优越性．【问题提出】让学生通过自己的分析来判断随机事件发生的可能性的大小．对第（1）问，教师可以先让学生思考，作出自己的判断，再与同学交流各自的看法，并说明理由．【动手实践】让学生用转盘来进行模拟，对“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率作出估计．教师应先准备好教科书上所示的转盘，两人一组，一人转动转盘，另一人记录结果，做完50次模拟后一组内两人再交换.图4每个班级模拟的结果可能是不一样的，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为7/8，即0.875．</a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).在平面上建立如图所示直角坐标系，图中直线x=6，x=7，y=5.5, y=6.5围成一个正方形区域G．设晚餐在x（6≤x≤7）时开始，晚报在y（5.5≤y≤6.5）时被送到，这个结果与平面上的点（x,y）对应．于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应．由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此,试验属于几何概型．晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当yg的面积/G的面积=7/8.【思考交流】教师可先让学生思考，作出自己的判断并说明理由．若晚报在下午5：45～6：45之间的任何一个时间随机地被送到，则晚报在5：45～6：00之间送到，或晚餐在6：45～7：00之间开始，都使得晚报的送达在晚餐开始之前，但相对于上面的问题来说，这个时间段变短了，因此“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率相对上面的问题来说变小了．用两个转盘去完成至少50次模拟，估计出“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率，模拟的结果与上面的结论应是吻合的．仿照前面的方法，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为23/32，这个值比7/8小．【练习】1．因为抛掷一枚硬币只有两个等可能的结果：正面朝上和反面朝上，所以，如果一个随机试验只有两个等可能的结果，就可以用抛掷一枚硬币来模拟，比如甲、乙两人抓阄决定一件奖品的归属，只有甲中奖和乙中奖这两个等可能的结果，因此可以用抛掷硬币来模拟．2．对于第一个转盘，可以在随机数表中去掉0，5，6，7，8，9，用1，2，3，4分别代表转动转盘指针指向转盘的1，2，3，4部分?痹谒婊?数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个随机数就完成一次模拟．对于第二个转盘，编号为2的部分的面积与编号为1的部分的面积之比为165∶15=11∶1．可以在随机数表中考虑相邻的两个数字，这样产生的随机数为00,01，02，…,99．在产生的两位随机数中去掉12，13，…,99，用00代表转动转盘指针指向转盘的编号为1的部分，用01，02，…,11这11个数代表转动转盘指针指向转盘的编号为2的部分．在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个两位随机数就完成一次模拟．用模拟方法估计概率，每个人的模拟结果可能是互不相同的.。
高中数学 第三章 概率 3_3 模拟方法——概率的应用教案 北师大版必修31
§3模拟方法——概率的应用整体设计教学分析这部分是新增加的内容．介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的．随机模拟部分是本节的重点内容．几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子．本节的教学需要一些实物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．三维目标1．通过师生共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力．2．本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型，会进行简单的几何概率计算，培养学生从有限向无限探究的意识．重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率．教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件发生都是等可能的．那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢？为此我们学习几何概型．思路2.图1中有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？图1为解决这个问题，我们学习几何概型．思路 3.在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况．例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个．这就是我们要学习的几何概型．推进新课新知探究提出问题1．随意抛掷一枚均匀硬币两次，求两次出现相同面的概率？2．试验1.取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭，假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的．问射中黄心的概率为多少？3．问题1,2中的基本事件有什么特点？两事件的本质区别是什么？4．什么是几何概型？它有什么特点？5．如何计算几何概型的概率？有什么样的公式？6．古典概型和几何概型有什么区别和联系？活动：学生根据问题思考讨论，回顾古典概型的特点，把问题转化为学过的知识解决，教师引导学生比较概括．讨论结果：1．硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．每种结果出现的概率相等，P (正，正)＝P (正，反)＝P (反，正)＝P (反，反)＝14.两次出现相同面的概率为14＋14＝12. 2．经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点．在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解．考虑第一个问题，如图2，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，于是事件A 发生的概率为P (A )＝13.图2第二个问题，如图3，记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.图33．硬币落地后会出现四种结果(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)是等可能的，绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点，也是等可能的，射中靶面内任何一点都是等可能的，但是硬币落地后只出现四种结果，是有限的，而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的，即一个基本事件是有限的，而另一个基本事件是无限的．4．几何概型．对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型．几何概型的基本特点：a．试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b．每个基本事件出现的可能性相等．5．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.6．古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的；区别是古典概型的基本事件是有限的，而几何概型的基本事件是无限的，另外两种概型的概率计算公式的含义也不同．应用示例思路1例1 判断下列试验中事件发生的概率是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图4所示，有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系，然后判断．解：(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关．例2 某人午休醒来，发觉表停了(图5)，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率．图5活动：学生分析，教师引导，假设他在0～60之间的任一时刻，打开收音机是等可能的，但0～60之间有无数个时刻，不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率，因为他在0～60之间的任一时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，所以可用几何概型的概率计算公式计算．解：记“等待的时间短于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A 发生．由几何概型的求概率公式得P (A )＝60－5060＝16，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16. 点评：打开收音机的时刻X 是随机的，可以是0～60之间的任何时刻，且是等可能的．我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 称为[0,60]上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上)．解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的．设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为Ω＝(a ，a ＋5)，记A g ＝{等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g ＝(a ＋2，a ＋5)中的任一时刻，故P (A g )＝g 的长度Ω的长度＝35. 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例1 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于20分钟的概率．活动：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率．可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率．因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．解：设A ＝{等待的时间不多于20分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[40,60]这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P (A )＝60－4060＝13. 即此人等车时间不多于20分钟的概率为13. 点评：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 为[0,60]上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率．解：记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )＝0.004.故钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30～6：30之间任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题，设法利用几何概型公式求得概率．解：建立平面直角坐标系，如图6中x ＝6，x ＝7，y ＝5.5，y ＝6.5围成一个正方形区域G .设晚餐在x (6≤x ≤7)时开始，晚报在y (5.5≤y ≤6.5)时被送到，这个结果与平面上的点(x ，y )对应．于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应．图6由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于几何概型．晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当y ＜x ，因此图5中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”．容易求得g 的面积为78，G 的面积为1.由几何概型的概率公式，“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P (A )＝g 的面积G 的面积＝78. 变式训练在1 L 高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：麦锈病种子在这1 L 中的分布可以看作是随机的，取得的10 mL 种子可视作构成事件的区域，1 L 种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．解：取出10 mL 种子，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则P (A )＝0.01. 故取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，求乘客到达站台立即乘上车的概率．答案：由几何概型知，所求事件A 的概率为P (A )＝111. 2．两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m 的概率．答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A ，则P (A )＝26＝13. 3．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是( )．A ．0.5B ．0.4C ．0.004D ．不能确定解析：由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500＝0.004. 答案：C4．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r ＜a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图7所示，这样线段OM 长度(记作OM )的取值范围就是[0，a ]，只有当r ＜OM ≤a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是P (A )＝r ，a ]的长度[0，a ]的长度＝a －r a.图7拓展提升1．约会问题两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，然后就可离去，试求这两人能会面的概率．解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成．以8点钟作为计算时间的起点，设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为Ω：{(x ，y )|0≤x ≤60,0≤y ≤60}，画成图为一正方形．以x ，y 分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为|x －y |≤20.这是一个几何概型问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出(如图8)．图8所求概率为P ＝g 的面积G 的面积＝602－402602＝59. 2．〔蒲丰(Buffon)投针问题〕平面上画很多平行线，间距为a .向此平面投掷长为l (l ＜a )的针，求此针与任一平行线相交的概率．解：设针的中点与最接近的平行线之间的距离为x ，针与平行线的交角为φ(见图9)．样本空间为Ω：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫φ，x ⎪⎪⎪0≤φ≤π，0≤x ≤a 2为一矩形．针与平行线相交的充要条件是g ：x ≤l 2sin φ(见图10)．所求概率是P ＝g 的面积Ω的面积＝⎠⎛0π⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2·sin φd φπ·a 2＝2l a π.图9 图10注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似，由此可以得到π的近似值．方法是重复投针N 次(或一次投针若干枚，总计N 枚)，统计与平行线相交的次数n ，则P ≈n N.又因a 与l 都可精确测量，故从2l a π≈n N ，可解得π≈2lN an.历史上有不少人做过这个试验．做得最好的一位投掷了3 408次，算得π≈3.141 592 9，其精确度已经达到小数点后第六位．设计一个随机试验，通过大量重复试验得到某种结果，以确定我们感兴趣的某个量，由此而发展的蒙特卡洛(Monte.Carlo)方法为这种计算提供了一种途径．课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例．作业习题3—3 A 组 1,2.设计感想本节课首先对古典概型进行了复习，使学生掌握古典概型的适用条件，巩固了古典概型的概率计算公式，接着设计了多个试验，从课题的引入，到问题的提出都非常有针对性，引人入胜，接着从新的问题中引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型，并通过探究，归纳出几何概型的概率计算公式，同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系，通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次，加深理解和运用，由于它们与实际生活联系密切，所以要反复练习，达到为我们的工作与生活服务的目的，然而这部分内容在高考中是新内容，因此同学们要高度重视，全面把握，争取获得好成绩．备课资料几何概型是高中数学新增加的内容，其特点鲜明，题目类型较为固定．高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下．1．与长度有关的几何概型例1有一段长为10 m 的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3 m ，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3 m ，也就是说只能在距两端都为3 m 的中间的4 m 中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题．解：记两段木棍都不小于3 m 为事件A ，则P (A )＝10－3－310＝25. 2．与面积有关的几何概型这里有一道十分有趣的题目：例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛，比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷，可以看到里面有一张小方几，要将一枚铜板扔到这张方几上．已知铜板的直径是方几边长的34，谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛．郭靖一扔，铜板落到小方几上，且没有掉下，问他能进入下一轮比赛的概率有多大？图11分析：这是一道几何概型问题，在几何概型中，样本空间是问题所涉及的整个几何图形，在本题中，样本空间就是小方几的桌面面积．一个事件就是整个几何图形的一部分，这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比．解：不妨设小方几的边长为1，铜板落到小方几上，也就是铜板的中心落到方几上，而要求整个铜板落到小方几上，也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个14×14的小正方形内(如图11)，这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的38.整个方几的面积为1×1＝1，而中央小正方形的面积为14×14＝116，所以郭靖进入下一轮比赛的概率为1161＝116. 例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟．问两人能够见面的概率有多大？解：设甲到的时间为(9＋x )小时，乙到的时间为(9＋y )小时，则0≤x ≤1,0≤y ≤1. 点(x ，y )形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形，以(0,0)，(1,0)，(0,1)，(1,1)为顶点(如图12)．图12由于两人都只能停留5分钟即112小时，所以在|x －y |≤112时，两人才能会面． 由于|x －y |≤112是两条平行直线x －y ＝112，y －x ＝112之间的带状区域，正方形中除去这个带状区域是两个三角形，其面积之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11122.从而带形区域在这个正方形内的面积为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11122＝23144，因此所求的概率为231441＝23144. 3．与体积有关的几何概型例4 在5 L 水中有一个病毒，现从中随机地取出1 L 水，含有病毒的概率是多大？ 分析：病毒在这5 L 水中的分布可以看作是随机的，取得的1 L 水可以看作构成事件的区域，5 L 水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可能用体积比公式计算其概率．解：“取出1 L 水，其中含有病毒”这一事件记作事件A ，则P (A )＝取出的水的体积所有水的体积＝15＝0.2. 从而所求的概率为0.2.现在我们将这个问题拓展一下：例5 在5 L 水中有两个病毒，现从中随机地取出1 L 水，含有病毒的概率是多大？ 分析：此题目与上一题有一点区别，即现在在5 L 水中含有两个病毒，我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙．随机地取1 L 水，由上题我们可知含有病毒甲的概率为15，含有病毒乙的概率也是15，而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况，所以应当将这种情况去掉．解：记“取1 L 水，含有病毒甲”为事件A ；“取1 L 水，含有病毒乙”为事件B ，则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB .从而所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )＝15＋15－15×15＝925＝0.36.4．与角度有关的几何概型例6 如图13，在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．图13解：设事件A 是“作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，则μA ＝90°－30°－30°＝30°，而μΩ＝90°，由几何概型的计算公式得P (A )＝μA μΩ＝30°90°＝13. 注意：在高中数学阶段，我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握．这里只是列出了几道与几何概型有关的题目，可以说，在高中数学学习阶段，这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型，希望能对大家有一点帮助． 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学必修3北师大版3.3模拟方法-概率的应用名师教案
第三章概率3模拟方法——概率的应用一、教学目标1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；2．使学生能够运用模拟方法估计概率．二、设计思路与教学建议1．教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现．由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性．教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法．2．教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积．求区域A的近似面积通常有两种方法．一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1000×1000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.另一种方法就是概率的方法，向图1的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：（1）正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个．（2）正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关．这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)．在上述几何概型中，P(芝麻落在A内)=区域A的面积/正方形的面积.我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．教科书中没有介绍几何概型，而是通过向图2的正方形和图3的长方形中随机地撒芝麻的试验，说明近似地有落在区域A内的芝麻数落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积正方形的面积,再由这个式子就可求得区域A的近似面积．图2图3教科书在讲解时分3步进行，以帮助学生理解．第一步是向图2的正方形中撒芝麻，区域A是一个面积为大正方形的14的小正方形，由于每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的，学生容易得出大约有14的芝麻落在区域A中，因此近似的有落在区域A内的芝麻数/落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积/正方形的面积.第二步是反过来，向图3的长方形中随机地撒芝麻，利用落在区域B中的芝麻数占整个长方形中的芝麻数的20%，得出区域B的面积近似地是整个长方形的面积的20%，这里区域域B是学生熟悉的长方形．第三步就是利用第二步的思想，来求不规则图形的近似面积?闭庋?设计易于学生接受，教师在讲课时也可按这三步进行．教学中可以根据学生的情况简单介绍一下几何概型．本章的章头图中的“投针问题”就是一个非常有名的几何概型，它是由法国数学家蒲丰提出的．在平面上画有一些平行直线,每两条相邻的平行直线之间的距离都为a,向此平面上任投一长度为b(b<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa.大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容.可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编.北京:高等教育出版社.1990).<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).<A）的针，利用几何概型的概率计算公式，可以求得针与任一平行直线相交的概率为2BΠA．大量重复向平面内投针的试验，投大量的针，数出所投的针数和与平行线相交的针数，用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率，就可求出Π的近似值．如果所投针数为N，与平行线相交的针数为M，由2BΠA≈MN，可得Π≈2BNAM．关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健，刘秀芳，徐承彝编?北本?：高等教育出版社??1990).【阅读理解】就我国现在的情况，很多地方还没有普及计算机（甚至还没有普及计算器）.为体现出学习背景的公平性，教科书在用随机数进行模拟时仅要求用随机数表产生随机数，计算机（计算器）产生随机数作为了解．但随着信息技术的发展，信息技术与课程内容结合是必然的趋势，因此,在教参前面的内容里，我们介绍了如何利用计算器产生随机数;在教科书的这一节，我们在阅读理解栏目里介绍了利用计算机模拟来估计不规则区域A的面积，这种计算方法称为蒙特卡洛（Monte―Carlo）方法.具体的模拟过程见备用课程资源．利用计算机完成1000次模拟，教科书中的表格给出了部分数据．根据模拟结果，区域A的面积约为0.667，其理论值为23，二者非常地接近．教师可通过介绍，让学生了解计算机模拟的优越性．【问题提出】让学生通过自己的分析来判断随机事件发生的可能性的大小．对第（1）问，教师可以先让学生思考，作出自己的判断，再与同学交流各自的看法，并说明理由．【动手实践】让学生用转盘来进行模拟，对“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率作出估计．教师应先准备好教科书上所示的转盘，两人一组，一人转动转盘，另一人记录结果，做完50次模拟后一组内两人再交换.记录前可先画出如下表格：晚报晚餐1次2次………50次图4每个班级模拟的结果可能是不一样的，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为7/8，即0.875．</a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).在平面上建立如图所示直角坐标系，图中直线x=6，x=7，y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G．设晚餐在x（6≤x≤7）时开始，晚报在y（5.5≤y≤6.5）时被送到，这个结果与平面上的点（x,y）对应．于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应．由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此,试验属于几何概型．晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当yg的面积/G的面积=7/8.【思考交流】教师可先让学生思考，作出自己的判断并说明理由．若晚报在下午5：45～6：45之间的任何一个时间随机地被送到，则晚报在5：45～6：00之间送到，或晚餐在6：45～7：00之间开始，都使得晚报的送达在晚餐开始之前，但相对于上面的问题来说，这个时间段变短了，因此“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率相对上面的问题来说变小了．用两个转盘去完成至少50次模拟，估计出“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率，模拟的结果与上面的结论应是吻合的．仿照前面的方法，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为23/32，这个值比7/8小．【练习】1．因为抛掷一枚硬币只有两个等可能的结果：正面朝上和反面朝上，所以，如果一个随机试验只有两个等可能的结果，就可以用抛掷一枚硬币来模拟，比如甲、乙两人抓阄决定一件奖品的归属，只有甲中奖和乙中奖这两个等可能的结果，因此可以用抛掷硬币来模拟．2．对于第一个转盘，可以在随机数表中去掉0，5，6，7，8，9，用1，2，3，4分别代表转动转盘指针指向转盘的1，2，3，4部分?痹谒婊?数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个随机数就完成一次模拟．对于第二个转盘，编号为2的部分的面积与编号为1的部分的面积之比为165∶15=11∶1．可以在随机数表中考虑相邻的两个数字，这样产生的随机数为00,01，02，…,99．在产生的两位随机数中去掉12，13，…,99，用00代表转动转盘指针指向转盘的编号为1的部分，用01，02，…,11这11个数代表转动转盘指针指向转盘的编号为2的部分．在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个两位随机数就完成一次模拟．用模拟方法估计概率，每个人的模拟结果可能是互不相同的.。
3.3模拟方法——概率的应用(导学案)
模拟方法——概率的应用（导学案）使用说明： 1．先精读教材，勾画出本节内容的基本概念，找出问题并进行标注，然后再精读教材150-152页完成本学案；2.要求独立完成预习案. 〖学习目标〗1.了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义。
2.能够运用模拟方法估计概率。
3.通过模拟实验的过程，掌握用产生随机数模拟试验的方法，并能利用这种方法估计概率。
重点与难点：几何概型的概念、公式及应用. 【预习案】相关知识古典概型的两个基本特点：（1） （2）教材助读模拟方法的基本思想1：取一个正方形，在面积为四分之一的部分画上阴影，随机地向矩形中撒一把芝麻（以数100粒为例），假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小相等.统计落在阴影内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻数，观察它们有怎样的比例关系？ 通过计算机做模拟试验,不难得出下面的结论: 落在正方形内的芝麻数内的芝麻数落在区域A反之，向如图长方形中随机撒一把芝麻，例如，散了50粒，这些芝麻均匀地落在长方形中，如果落在区域B 中的芝麻数是10 ，那么区域B 的面积近似地是整个长方形的面积的 。
2. 一般地,在向几何区域D 中随机地投一点,记事件A 为“该点落在其内部一个区域d内”,则事件A 发生的概率为:P(A)= 注:利用这个定理可以求出不规则图形的面积、 体积.预习自测1.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.182．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．3.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( ) A.14 B.13 C.12 D.23【探究案】基础知识探究1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．综合应用探究AB d D小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？ （2）求晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?当堂检测1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.122.有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.。
数学北师大版必修3知识导航3.3模拟方法——概率的应用
§3 模拟方法——概率的应用知识梳理 概率,但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.大量的重复试验,可以节约大量的时间和金钱,所以它是一种非常有效而且应用广泛的方法.例如,使用随机数来模拟大量的抛掷硬币的试验;求不规则图形的近似面积或不规则物体的近似体积;利用计算机模拟自然灾害的发生等.当现实中的试验难以实施或不可能实施时,模拟可以给我们提供一个解决问题的方案. 知识导学在古典概型中利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率,不过,古典概型要求的可能结果的总数必须是有限个.但现实中许多问题的结果却是无限多个,我们希望把这种做法推广到无限多结果,而又有某种等可能性的场合,得到随机事件的概率,这便用到模拟方法,如前面我们利用随机数表产生随机数来模拟抛掷硬币的试验、通过4人依次摸球来模拟摸奖活动等都是模拟方法.模拟方法的基本思想可以通过几何概型来体现.几何概型也是一种概率模型,它是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个;它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.大家可以通过一些实物模型(落在某区域内的芝麻、转盘等模型),体会几何概型的意义和几何概型的概率公式;结合实例弄清几何概型的两个基本特征:(1)无限性,在一次试验中,可能出现的结果有无限个;(2)等可能性,每个结果的发生是等可能的.利用模拟方法,可以来估计现实生活中某些随机事件的概率.疑难突破1.古典概型与几何概型的区别剖析:几何概型与古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的(等可能性是一致的);但几何概型的基本事件总数有无限多个,古典概型的基本事件总数有有限个.古典概型中试验的所有结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果,并且每一次试验结果出现的可能性相同;而几何概型中进行一次试验相当于向几何体G 中取一点,对G 内任意子集,事件“点取自g ”的概率与g 的测读(长度、面积或体积)成正比,而与g 在G 中的位置、形状无关.例如,抛掷硬币出现正面或者反面的概率属于古典概型问题,而向一个大小一定的正方形及其内切圆内随机丢一粒种子,求种子落入内切圆的概率,这就属于几何概型问题. 古典概型中随机事件A 的概率可以通过公式P (A )=n m 来计算;而几何概型事件A 的概率的计算公式为P (A )=.)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构造事件A 2.用随机模拟估算几何概率剖析:随机模拟试验是研究随机事件的概率的重要方法.用计算机或计算器模拟试验,关键是把实际问题中的事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围,即转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数来刻画影响随机事件结果的量.可从以下几个方面考虑:(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数;如长度、角度型只用一组,而面积型需要两组;(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围;(3)由事件A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式.典题精讲例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想收听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.思路分析:假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但0~60分钟之间有无穷多个时刻,故不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率,我们可以通过随机模拟的方法得到事件发生的概率的近似值,也可以通过几何概型的求概率公式得到.因为电台每隔1小时报时一次,他在0~60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A ={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得P (A )=61605060=-,即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为61. 绿色通道:本例中,打开收音机的时刻x 是随机的,可以是0~60分钟之间的任一时刻,并且是等可能的,我们称x 服从［0,60］上的均匀分布,x 是［0,60］上的均匀随机数.变式训练 取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段都不少于1 m 的概率有多大?思路分析:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,其基本事件有无限多个,所以,可用几何概型考虑.解:记“剪得两段都不少于1 m”为事件A ,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生,由于中间一段的长度等于绳长的31,所以事件A 发生的概率是P (A )=31. 例2 某汽车站每隔10分钟有一班汽车通过,求乘客候车时间不超过4分钟的概率,并尝试用计算机模拟该试验.思路分析:本题为一道综合性问题,先分析出所求的问题为几何概型,再根据几何概型的计算公式计算结果,最后设计出模拟试验.解:设乘客到达车站的时间是随机的,则由题意可得,P (A )=.52)10,0()4,0(=的长度区间的长度区间 模拟试验:用计数器n 记录做了多少次试验,用计数器m 记录其中有多少次出现在(0,4)内,变换rand()*产生随机数,并判断随机数是否在［10n ,10n +4］之中,如果在,则为m+1,如果不在则m 保持不变.变式训练 甲盒中有红,黑,白三种颜色的球各3个,乙盒子中有黄,黑,白三种颜色的球各2个,从两个盒子中各取1个球.(1)求取出的两个球是不同颜色的概率.(2)请设计一种随机模拟的方法,来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤).解:(1)设A ＝“取出的两球是相同颜色”,B ＝“取出的两球是不同颜色”.则事件A 的概率为:P (A )＝.92692323=⨯⨯+⨯ 由于事件A 与事件B 是对立事件,所以事件B 的概率为:P (B )＝1P (A )＝1.9792 (2)随机模拟的步骤:第1步:利用计算机(计算器)产生1~3和2~4两组取整数值的随机数,每组各有N 个随机数.用“1”表示取到红球,用“2”表示取到黑球,用“3”表示取到白球,用“4”表示取到黄球. 第2步:统计两组对应的N 对随机数中,每对中的两个数字不同的对数n .第3步:计算N n Nn 就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值. 例3 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次投中的概率是多少?思路分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%. 解:S1:利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数.S2:1,2,3,4表示投中,用5,6,7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是40%. 因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组.例如:产生20组随机数:812,932,569,683,271,989,730,537,925,907,113,966,191,431,257,393,027,556,156,278.这就相当于做了20次试验,在这组数中,如果恰有两个数在1,2,3,4中,则表示恰有两次投中,它们分别是812,932,271,191,393,即共有5个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为205=25%. 变式训练 同时抛掷两枚骰子,计算都是1点的概率.思路分析:抛掷两枚骰子,相当于产生两个1到6的随机数,因而我们可以产生随机数,然后两个一组分组,每组第一个数表示一枚骰子的点数,第二个数表示第二枚骰子的点数.解:利用计算器或计算机产生1到6的取整数值的随机数,两个随机数作为一组,统计随机数总组数N 及其中两个随机数都是1的组数N 1,则频率NN 1即为抛掷两枚骰子都是1点的概率的近似值.问题探究问题 如图3-3-1的正方形中随机撒一大把豆子,设计一个可以估计出落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比的模拟试验,你能以此估计出圆周率吗?图3-3-1探究:利用计算机或计算器产生随机数模拟上述过程,步骤如下:第一步:产生0~1区间的均匀随机数,a 1=rand,b 1=rand;第二步:经平移和伸缩变换,a =(a 10.5)*2,b =(b 10.5)*2;第三步:数出落在圆a 2+b 2＜1内的豆子数N 1,计算π=NN 14(N 表示落在正方形中的豆子数).同时我们会发现,随着试验次数的增加,得到的π的近似值精度会越来越高.。
3.3模拟方＊--概率的应用
分析:由于区域A的面积是正方形 A 面积的1／4,因此大约有1／4的 芝麻(25个)落在阴影部分A内
下面我将通过计算机做模拟试验,来验证我的分析 的结果是否正确.
数学理论：
古典概型的本质特征： 1、基本事件的个数有限，
2、每一个基本事件都是等可能发生的．
几何概型的特点： （1）试验的所有可能出现的结果有无限多个
（2）每个试验结果的发生是等可能的
古典概型与几何概型之间的联系: 将古典概型中的基本事件的有限性推广到无限性，而保
留等可能性，就得到几何概型．
试验1：取一个矩形，在面积为四分之一的部分画
（1）试验中的基本事件是什么？ 这（射一2）中点每靶可个面以基上是本每靶事一面件点直的都径发是为生一12是个2c等m基可的本能大事的圆件吗, ？ 内（的3）任符意合一古点典. 概型的特点吗？
问题5:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
3m
（1）试验中的基本事件是什么？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位
通过上述的试验,不难得
出下面的结论:
落在区域A内的芝麻数 落在正方形内的芝麻数
≈
区域A的面积 正方形的面积
一般地,在向几何区域D中随机地投一点,记事件
A为“该点落在其内部一个区域d内”,则事件A发
生的概率为:
P(A)=
区域d的面积(长度或体积) 区域D的面积(长度或体积)
注:利用这个定理可以求出不 规则图形的面积、体积。
3.3模拟方法——概率的应用
3.3模拟方法-概率的应用学习导航 学习提示 1.能用模拟方法来估计随机事件的概率.2.了解模拟方法的基本思想,会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等.3.结合实例，体会概率思想在实际中的应用.模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法. 互动学习 知识链接 1.有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向A 区域时甲获胜，当指针指向B 区域时乙获胜.其中指针指向某一处的概率相同，且A 、B 两区域把圆盘面积平分，则甲乙两人获胜的概率分别为________.2.在一个鱼缸中盛有10 L 水，里面养着10条小鱼，用一个比较大的水杯盛出1 L 水，这个水杯中用概率思想估计有________条鱼.答案：1.21和21 2.1 利用随机事件的等概率性，结合区域面积估计随机事件的概率. 模拟方法-概率的应用 课文知识点解析 全析提示1.模拟方法的基本思想.可以通过做大量的随机试验，重复试验过程，用随机事件发生的频率估计随机事件的概率.但是，人工进行试验时费时、费力，并且有时难以实现.因此常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.其优点在于可以在短时间内完成大量的重复试验.如在第一节中我们用随机数表产生随机数来模拟抛掷硬币的试验，以及通过4人依次摸球来模拟摸奖的活动等，都属于模拟方法. 如图3—3—1所示，向正方形中随机地撒一把芝麻，假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的.由于区域A 的面积是整个正方形面积的41，因此，大约有41的芝麻落在区域A 中.比如若向正方形中随机地撒100粒芝麻，则大约有25粒落在区域A 内.因此，近似的有 A图3—3—1 正方形的面积的面积区域落在正方形内的芝麻数内的芝麻数落在区域A A . 也就是说，可以通过面积的比近似地知道芝麻数的比.反之，也可以通过这种比例关系得到某些不规则图形的面积. 2.如何用模拟方法估计随机事件的概率.例如，小明家的晚报在下午5：30~6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00~7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始后被送到的哪一种可能性更大?（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少? 结合实际谈了模拟方法存在的必要性，以及应用中的有效性.要点提炼前提是每粒芝麻落在每一个位置的概率相等.全析提示 通过具体实例的操作，展现整个过程，体验模拟方法的应用方式. 要点提炼通过时间的长短来估计，而不是用面积.这个随机现象不是古典由于送晚报和开始晚餐都是随机的，也就是说在规定的时间内的任何一个时刻晚报被送到的可能性相同，任何一个时刻开始晚餐的可能性也相同.就第（1）个问题来说，晚报在5：30~6：00之间送到，或晚餐在6：30~7：00之间开始，这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始之前，同时，在6：00~6：30之间，晚报被送达和晚餐开始的可能性相同.因此，晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大. 关于第（2）个问题，同学们可以用转盘来模拟这种过程.具体的操作过程，同学们可以参考课本的做法去实践.我们从另一个方面来分析，把时间分成三段，在5：00~6：00之间，只可能出现晚报的送到与否，在6：00~6：30之间两种情况都有，在6：30~7：00之间只可能出现晚餐开始的情形，由于时间间隔都是30分钟，在第一个30分钟有一种情形，在第二个30分钟有两种情形，在第三个30分钟有一种情形.因此，估计晚报在晚餐开始前被送到的概率为65.为什么是65，不是32或43?有3个30分钟，在第二个30分钟有正反两方面的事发生，在第一和第三个30分钟虽只发生一种可能，却要认为有4种单向可能.同学们可以动手实践，用模拟方法来判断这个结果准确与否.练习：1．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客到达站台立即乘上车的概率.2．两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m 的概率．解：1．由几何概型知，所求事件A 的概率为P(A)=111； 2．记“灯与两端距离都大于2m ”为事件A ，则P(A)= 62=31． 例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A ，则P(A)=所有海域的大陆架面积储藏石油的大陆架面积=1000040=0.004． 答：钻到油层面的概率是0.004．例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随概型，原因是可能结果的无限.全析提示通过动手实践，用模拟方法近似得到事件的概率.要点提炼 这不是古典概型，不能用次数或可能结果简单解决.机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A)= 所有种子的体积取出的种子体积=100010=0.01． 答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．作业：课本P 153 A 组1、2 B 组1。
高中数学必修三：33模拟方法-概率的应用+教案
模拟方法—概率的应用北师大版必修三第三章第三节一、设计思路数学不只是逻辑推理，还有实验，而问题是承载并传达数学知识的重要载体。
如何把问题教学法和实验教学法在课程中综合应用，笔者在《模拟方法—概率的应用》一课中做了切实可行的探索。
《模拟方法—概率的应用》是“概率”一章中的最后一部分内容，安排两课时，本节是第一课时。
这一部分内容进一步强调概率的应用价值，让学生初步体会几何概型的意义。
通过前面的学习，学生已了解可以通过大量试验，用随机事件发生的频率估计概率；会用计算器产生整数随机数。
掌握了基本事件个数是有限个的古典概型问题。
学生信息技术课上，已学过excel操作和简单函数用法。
学生学习程度较好，但对把实际问题转化成概率模拟问题有一定难度，所以，给学生时间思考，生生交流，师生交流，学生上黑板讲解，帮助学生突破难点。
让学生经历猜测，设计实验，操作实验，数据处理整个过程。
培养严谨的科学精神。
最后，通过课堂演讲让学生站在一定高度上认识模拟方法。
随机模拟应用的范围非常广泛，把一个问题转化成可以模拟的问题，对于学生以后走向社会是一个重要的本领。
2、教学目标（1）知识与能力：了解模拟方法估计概率的过程，初步体会几何概型的意义；能够运用模拟方法估计概率。
（2）方法与途径：在具体案例中，通过问题引导，思考与讨论，设计实验，动手模拟实验的过程，掌握用随机数模拟实验的方法。
并用计算机产生大量随机数模拟实验，对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。
（3）情感与评价：了解随机模拟的思想，培养学生把一个实际问题转化成可以模拟的问题的意识，认识到计算机在处理数学问题中的优势及作用。
（4）现代教学手段的运用用到ppt呈现问题系列, 用转盘进行实物实验，再用excel软件中随机数及统计图表的相关功能完成模拟实验。
重点：设计模拟实验，用随机模拟的方法估计概率，几何概型概念及特征。
难点：设计和操作模拟实验，几何概型问题概率的求法。
二、教学准备多媒体，计算器，转盘，小组实验报告单，班级实验报告单三、教学过程1．问题导入如图，曲线y＝－2x＋1与x轴，y轴围成区域A，直线x＝1，直线y＝1，x轴，y轴围成正方形，你能否设计一个方法求出求区域A的近似面积。
2020-2021学年数学北师大版必修3课件：3-3 模拟方法——概率的应用
类型二
与面积有关的几何概型
【例 2】 甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能 在一昼夜的任意时刻到达．设甲、乙两艘轮船停靠泊位的时间分 别是 4 h 和 6 h，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的 概率．
【思路探究】 由题目可获取以下主要信息：①甲、乙两艘 轮船可能在一昼夜的任意时刻到达同一个泊位；②甲、乙两艘轮
【解】 如右图所示，记“剪得两段绳长都不小于 1 m”为 事件 A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事 件 A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，所以事件 A 发生 的概率 P(A)＝13.
规律方法 (1)求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所 表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确 表示所确定的线段的长度．
[答一答] 2．古典概型与几何概型的异同点是什么？
提示：相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生 的可能性都是相等的．
不同点：古典概型要求随机试验所包含的所有基本事件的个 数必须是有限多个；几何概型要求随机试验所包含的基本事件应 当是无限多个，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有 关．
1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生 的概率模型．
μA＝S 阴影＝242－2202－1282＝214，μΩ＝S 正方形＝242＝576， 所以 P(A)＝μμΩA＝251746＝120878.
规律方法 在研究将射击、射箭、射门、投中、等待等实际 问题转化成的几何概型的概率问题时，常借助区域的面积来计算 概率的值．此时，只需分清各自的区域特征，分别计算其面积， 利用公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A的构区成域的面区积域面积计算事件的概 率即可．
类型一 与长度有关的几何概型
2020版高中北师大版数学必修3课件：3.3 模拟方法——概率的应用
(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而 古典概型中每个基本事件出现的可能性相等. ( )
提示：(1)×.几何概型的概率计算与构成事件的区域形 状、位置无关. (2)×.因为区间[-10，10]上的整数只有21个，是有限 的. (3)×.几何概型和古典概型的每个基本事件出现的可能 性都相等.
类型一 与长度有关的几何概型 【典例】1.某公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过， 乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，乘客候车 时间不超过3 min的概率是________.
2.已知方程x2+3x+ p +1=0，若p在[0，10]中随机取值，
4
则方程有实数根的概率为________.
【思维·引】1.结合汽车停留时间与乘客到达车站的
D5
即候车时间不超过3 min的概率为 3 .
5
方法二、容易判断这是一个几何概型问题，如图所示.
记A为“候车时间不超过3 min”，以x表示乘客来到 车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x，假定 乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t，依据题意， 乘客必在(t-5，t]内来到车站，故D={x|t-5<x≤t}， 欲使乘客候车时间不超过3 min必须满足t-3≤x≤t，
§3 模拟方法——概率的应用
1.几何概型的概念 向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点 M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成正比，而与 G的形状、位置无关，则称这种模型为几何概型. 几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区 域，相应的概率是体积之比或长度之比.
【思考】 几何概型有什么特点？
【思考】 几何概型的概率计算公式中G与G1的度量是否必须一致？ 提示：G与G1的度量必须一致，或者都是长度，或者都 是面积，或者都是体积.
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6:15 6:00
6：30 6:15
在平面上如图所示建立坐标系，图中直线 x＝6，x＝7，y＝5.5，y＝6.5围成一个正 方形区域，设晚餐在x时开始，晚报在y时 被送到，
Y
6．5
G 5.5
O
6
7
X
小结： 1、模拟方法的基本思想 2、用模拟方法计算不规则图形的面积 3、用模拟方法估计随机事件的概率 4、几何概型事件A发生概率的计算方 法
例2、小明家的晚报在下午5：30～ 6 ： 30 之间的任何一个时间随机地 被送到，小明一家人在下午6： 00 ～ 7 ： 00 之间的任何一个时间随 机地开始晚餐。 （ 1 ）你认为晚报在晚餐开始之前 被送到和在晚餐开始之后被送到哪 一种可能性更大？ （2）晚报在晚餐开始之前被送到 的概率是多少？
我们用模拟方法来估计晚报在晚餐开始之 前被送到的概率: 用两个转盘来模拟上述过程，一个转盘 用于模拟晚报的送达，另一个转盘用于模 拟晚餐，两个转盘各转动一次并记录下结 果就完成一次模拟。
晚报
6：30 6:15
6：15 6:00 5:45 5:30 6：00 5:45 Nhomakorabea晚餐
7:00 6:45
6：45 6:30
构成事件A的区域面积 P(A)＝ 试验构成的整个图形面 积
每个事件发生的概率只与该 事件区域的长度（面积或体 积）成比例。即：
阴影区域的面积 P（点落在阴影区域）＝ 整个图形的面积
几何概型的特点：
（1）试验结果有无限多个 （2）每个试验结果的发 生是等可能的
几何概型的概率公式：
构成事件A的区域面积 P(A)＝ 试验构成的整个图形面 积
例1、如图，在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三 个同心圆，半径分别为2cm、4cm、6cm， 某人站在3m处向此板投镖，设投镖击中 线上或没有投中木板时都不算，可重投。 问：（1）投中大圆内的概率是多少？ （2）投中小圆和中圆形成的 圆环的概率是多少？ （3）投中大圆之外 的概率是多少？
y
o
x
我国古代数学家祖冲之早在 1500多年前就算出圆周率π的 值在3.1415926和3.1415927之间， 这是我国古代数学家的一大成 就，利用模拟方法，我们也可 以对圆周率π的值作出估计。 你能设计一个方案来模拟吗？
如果在正方形中撒了n颗豆 子，其中有m颗豆子落在圆 中，则圆周率π的近似值是 多少？ 如果正方形面积不变，但形 状改变，所得的比例发生变 化吗？
结论：
落在阴影部分内的豆子 数 阴影部分面积 ＝ 落在矩形内的豆子数 矩形面积
试验2：
取一个矩形，随机地向矩 形中撒一把豆子，统计落在阴 影内的豆子数与落在矩形内的 总豆子数，你能根据豆子数得 到什么结论？
如图，曲线y＝－x2＋1与x轴，y轴围成区 域A，求阴影部分面积。
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如图，曲线y＝－x2＋1与x轴，y轴围成区域A， 直线x＝1，直线y＝1，x轴，y轴围成正方形， 求阴影部分面积。
数学：第三章第三节《模 拟方法－－概率的应用》 课件PPT（北师大版必修3）
模拟方法－－ 概率的应用
问题：房间的纱窗破了一个 小洞，随机向纱窗投一粒小 石子，估计小石子从小洞穿 过的概率。
试验1：
取一个矩形，在面积为四分之一的 部分画上阴影，随机地向矩形中撒一 把豆子（我们数100粒），统计落在 阴影内的豆子数与落在矩形内的总豆 子数，观察它们有怎样的比例关系？