应用运筹学第五章
第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例
第五章线性规划在管理中的应用某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。
管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。
可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：+ +决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件4x1+ 3x2≤350 车床限制条件3x1+ x3≤150 磨床限制条件即总绩效测试（目标函数）为：max z= + +3、本问题的线性规划数学模型max z= + +S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2≤3503x1+ x3≤150x1≥0、x2≥0、x3≥04、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。
5、灵敏度分析目标函数最优值为: 30变量最优解相差值x1 50 0x2 25 0x3 0 .083约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 .052 75 03 0 .033目标函数系数范围:变量下限当前值上限x1 .4 .5 无上限x2 .1 .2 .25x3 无下限.25 .333常数项数范围:约束下限当前值上限1 400 500 6002 275 350 无上限3 150（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
运筹课程设计案例
运筹课程设计案例一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握运筹学的基本概念，如线性规划、整数规划等，并能够理解其在实际问题中的应用。
2. 使学生了解运筹学中的常用方法与工具，如图表法、单纯形法等，并能运用这些方法解决简单的实际问题。
3. 引导学生理解优化问题的本质，培养他们运用数学语言描述现实问题的能力。
技能目标：1. 培养学生运用运筹学方法分析问题和解决问题的能力，特别是针对实际案例，能够设计出有效的优化方案。
2. 提高学生的数据处理和计算能力，使其能够熟练运用运筹学软件工具解决复杂的优化问题。
3. 培养学生的团队协作和沟通能力，通过小组讨论和报告，共享解决问题的思路和方法。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对运筹学学科的兴趣，激发他们探索优化问题的热情，形成积极向上的学习态度。
2. 培养学生具有批判性思维和创新精神，面对复杂问题能够勇于挑战，寻求最佳解决方案。
3. 引导学生认识到运筹学在国家和企业发展中的重要作用，增强社会责任感和使命感。
本课程针对的学生特点是具有一定数学基础和逻辑思维能力的初中生。
在教学过程中，教师应注重理论联系实际，激发学生的兴趣和好奇心，注重培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
通过本课程的学习，期望学生能够掌握基本的运筹学知识和方法，提高解决实际问题的能力，同时培养他们的团队合作精神和批判性思维。
二、教学内容1. 运筹学基本概念：介绍运筹学的定义、发展历程及其在现实生活中的应用，重点讲解线性规划和整数规划的基本原理。
教材章节：第一章 运筹学概述，第三节 线性规划2. 运筹学方法与工具：详细讲解图表法、单纯形法等常用优化方法，并通过实例分析展示这些方法在实际问题中的应用。
教材章节：第二章 线性规划的图解法与单纯形法，第四节 整数规划简介3. 运筹学案例分析：选择具有代表性的实际案例，如生产计划、物流配送等，让学生运用所学方法解决实际问题。
教材章节：第三章 运筹学应用案例分析4. 运筹学软件工具介绍：介绍运筹学软件（如Lingo、CPLEX等）的基本功能和使用方法，帮助学生提高优化问题的求解效率。
运筹学——动态规划
优子策略。该原理的具体解释是，若某一全过程
最优策略为：
p1
(s1 )
{u1
(s1 ),
u 2
(s2
),
,
u
k
(sk
),
u
n
(sn
)}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言，
第k子过程上对应于该状态的最优策略必然包
含在上述全过程最优策略p1*中，即为
pk
(sk
)
{u
k
(sk
),
u
k 1
(sk
1
),
2．正确地定义状态变量sk，使它既能正确地描述过 程的状态，又能满足无后效性．动态规划中的状 态与一般控制系统中和通常所说的状态的概念是 有所不同的，动态规划中的状态变量必须具备以 下三个特征：
20
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(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定，那么在
sk 1 Tk (sk ,uk (sk ))
上式称为多阶段决策过程的状态转移方程。有些问题的 状态转移方程不一定存在数学表达式，但是它们的状态 转移，还是有一定规律可循的。
12
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(六) 指标函数 用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量
指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各 子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题 ，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润 、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
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（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。用以描述事物(或系统)在某特 定的时间与空间域中所处位置及运动特征的量，称 为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。状态变 量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需 要的信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态 可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出 状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1 。但为了清楚起见，通常定义阶段的状态即指其初 始状态。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
运筹学第五章
+S
+0· S 求max时，+0· S-MA 求min时，+0· S+MA 求max时，-MA 求min时，+MA
≥
=
-S+A
+A
建立初始单纯形表 是
最优 否
停
找出“换入”“换出”变量
修正单纯形表
图5—1
5.2 线性规划模型的变换
一、线性规划模型标准型的特点 ► ⑴目标函数是求极大值或极小值； ► ⑵所有的变量都是非负的； 非负的 ► ⑶除变量的非负约束外，其余的约束条件都是等 其余的约束条件都是等式 式约束； 约束 ► ⑷每个约束方程右边的常数都是非负的 。 右边的常数都是非负的
►
3．“=”类型的约束条件
变换的方法：引入人工变量，人工变量在约束方程 中的系数为1，在目标函数中的系数为任意大的正 数M。在求最大值的目标函数中，M取负号；在求 最小值的目标函数中，M取正号。
三、模型变换方法归纳
表中，S为松弛变量或剩余变量，A为人工变量，M为一任 意大的正数。
变 换 方 法 约束条件类型 ≤ 对于约束条件 对于目标函数
二、线性规划模型的变换 根据线性规划模型约束条件的不同，将其划分为三 种类型： 1.“≤”类型的约束条件的变换 变换的方法：在不等式中增加一个额外的变量， 松弛变量，以S表示 在约束方程中 称为松弛变量，以S表示之。松弛变量在约束方程 中的系数为1，在目标函数中的系数为0，所以它的 的系数为1，在目标函数中的系数为0 引入并不影响目标函数值。 松弛变量即表示作为决策限制条件的某种有限资 源未被利用的部分。
第五章
单纯形法
5.1 线性规划求解的相关概念
一、相关定理 ► 定理1 线性规划问题的可行解集S是凸集。 ► 定理2 线性规划问题的基本可行解X对应于可行域 S的顶点。也就是说，可行域的顶点就是线性规划 问题的基本可行解。 ► 定理3 若线性规划问题有最优解，它一定在其可 行域的顶点上达到。
运筹学第五章
第 六 次课 2学时本次课教学重点：单纯形法原理、基变换、最优检验 本次课教学难点：单纯形法原理、基变换、最优检验 本次课教学内容：第五章 单 纯 形 法§1 单纯形法的基本思路和原理一、 单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。
直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
通过第二章例1的求解来介绍单纯形法:在加上松弛变量之后我们可得到标准型如下： 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1≤300， 2x1+x2+s2≤400， x2+s3≤250.xj ≥0 （j=1，2）,sj ≥0 （j=1，2,3） 它的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==100100101200111),,,,(54321p p p p p A其中pj 为系数矩阵A 第j 列的向量。
A 的秩为3,A 的秩m 小于此方程组的变量的个数n ，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的基本概念。
二、基本概念基： 已知A 是约束条件的m ×n 系数矩阵，其秩为m 。
若B 是A 中m ×m 阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B 是线性规划问题中的一个基。
基向量：基B 中的一列即称为一个基向量。
基B 中共有m 个基向量。
非基向量：在A 中除了基B 之外的一列则称之为基B 的非基向量。
基变量：与基向量pi 相应的变量xi 叫基变量，基变量有m 个。
非基变量：与非基向量pj 相应的变量xj 叫非基变量，非基变量有n －m 个。
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m 元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到了 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010010113B 为A 的一个基，令这个基的非基变量x １，s2为零，这时约束方程就变为基变量的约束方程：x2+s1≤300，x2=400， x2+s3=250.求解得到此线性规划的一个基本解：x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150由于在这个基本解中s1=－100，s3=－150，不满足该线性规划s1≥0，s3≥0的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个基本解可以是可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别在于其所有变量的解是否满足非负的条件。
运筹学第五章
A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和 不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标 约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严 格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些 约束中可以加入正负偏差变量。
16
例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐 玲
OR2
1
第五章
目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题 多目标线性规划 产品 例1
资源 原材料（kg) 设备（台时） 单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏 差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽 可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正 偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量 要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：
第5章 线性规划的应用《管理运筹学》PPT课件
5.2 数据包络分析
5.2.1 DEA线性规划模型
DEA是线性规划一个很突出的应用，经常被用来衡量 拥有相同的运转目标单位的相对效率。大多数机构的运营 单位都有多种投入要素，如员工规模，工资水平，运转时 间和广告投入等，同时也有多种产出要素，如利润，市场 份额和增长率等。在这些情况下，当投入转化为产出量时 ，管理者是很难知道哪个运营单位是效率低下的。DEA通 过产出与投入的比值来表示运营效率，利用最好的要素组 合来评价一个运营单位。
5.2 数据包络分析
数据包络分析(data envelopment analysis,简称 DEA)将数学，经济，管理的概念和方法相结合，构成 了运筹学的一个新领域，是线性规划及其对偶理论的 一个应用。它对于研究具有相同类型的部门的相对有 效性问题，处理多目标决策问题，经济理论中的多输 入多输出问题十分有效。DEA的本质就是利用统计数据 确定相对有效的生产前沿面，利用有效前沿面的理论 和方法研究部门和企业的技术进步状况，建立非参数 的最优化模型。
则转到下一步；
（3）确定入基变量，若
么选取 xlk 为入基变量；
min{ij
ij
0} lk
，那
5.1 运输规划
（4）确定出基变量，找出入基变量的闭合回路，在 闭合回路上最大限度地增加入基变量的值，那么闭合回路 上首先减少为“0”的基变量即为出基变量；
（5）在表上用闭合回路法调整运输方案； （6）重复步骤（2）至（5），直到得到最优解。
5.1 运输规划
一般的运输模型可以分成3种类型：当总产量等于总
m
n
销量，也即 ai bj 时，称为产销平衡的问题；当
i 1
j 1
m
n
ai bj 时，称为产大于销的运输问题；当
运筹学-第3版-课件-第5章 动态规划
C1
2
1 2 2 3
D1 D2
3
2
A
B2
5
C2
6
E
4
2
B3
C3
3
D3
同样的理由，可以递推得其余阶段的铺设路线，如阶 段3在C1点的决策是D1，阶段4在D1点的决策只有E点； 由于到E点是整个铺设管道的终点，至此，决策过程完成， 铺设一条A点到E点的管道是由四个阶段的管道组成的， 如A---B3---C1---D1---E，它也称为一个策略。
B
阶段2
C
阶段3
D
阶段4
E
5
B1
4 4
6
3 6
C1
2
1 2
2
D1 D2 D3
3 4
2
A
B2
5
C2
6
E
2
3
B3
C3
3
在阶段2，从B3点出发，只有C1、C3两种可 选择的点， 如选C1,则C1就是阶段2在B3点的决策结果； C1点既是阶段2铺设管道的终点，又是阶段3 铺设管道的起点；
5
B1
4 4
6 3 6
使S= f ( xi ) 16 u j =
i 1 6 t
f ( x ) 16(5x
为最小，其中
i 1 i
6
j 1
1
4 x2 3x3 2 x4 x5 185)
100xi ,0 xi 15 f ( xi ) 120xi 300,15 < xi 30
第5章 动态规划
运 筹 帷 幄 之 中 Dynamic Programming
决 胜 千 里 之 外
运筹学第五章动态规划
和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】 如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条 管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建 的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠 道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第 个月k 已有库存 的商品量(为方便，后面将分别依次用 ，
的 来x sk 情 代k y况 替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书） 辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【 例 5.3】 图 5.3 所 示 为 一 水 利 网 络 ， A 为 水 库 ， 分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的 最短路线。
运筹学(第五版) 习题答案
非基变量 的检验数 =0，所以有无穷多最优解。
（3）解：大M法
加入人工变量，化成标准型：
Max z=10 +15 +12 +0 +0 +0 -M
s.t. 5 +3 + + =9
-5 +6 +15 + =15
2 + + - + =5
, , , ， , ， 0
当 0，目标函数在原点最大值。
k= 时， ， 同号。
当 0时，目标函数在BC线断上任一点有最大值
当 0时，目标函数在原点最大值。
k=0时， =0
当 0时，目标函数在A点有最大值
当 0，目标函数在OC线断上任一点有最大值
（2）当 =0时，max z=
0时，目标函数在C点有最大值
0时，目标函数在OA线断上任一点有最大值
(i=1,2,3…,n)
0, 0, (i=1,2,3…n; k=1,2….,m)
M是任意正整数
初始单纯形表：
-M
-M
…
-M
…
…
…
b
…
…
…
…
-M
1
1
0
…
0
1
1
…
…
0
0
…
0
-M
1
0
1
…
0
0
…
…
0
0
…
0
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
运筹学 第五章
B1 A1 A2 1 2
B2
B3 3
3
（1）用表上作业法求解此问题 （2）把问题划成线性规划问题，用单纯形法求解。 某公司下属的 3 个分厂 A1、A2、A3 生产质量相同的工艺品，要运输到 B1、B2、B3、B4 ，4 个销售点，分厂产量、销售点销量、单位物品的运费数据如下： B1 A1 A2 A3 销量 bj 求最优运输方案。 某公司下属的 3 个分厂 A1、A2、A3 生产质量相同的工艺品，要运输到 B1、B2、B3、B4 ，4 个销售点，分厂产量、销售点销量、单位物品的运费数据如下： B1 A1 A2 A3 销量 bj 求最优运输方案。 求解如下图所示的运输问题，并将最优解在网络中表示。 1 3 s1=2 1 1 7 s2=5 2 5 3 d3=3 1 3 1 7 [0] 2 3
2
3
4
已获得最优解： x11=4，x12=14，x13=0， x14=0， x21=0，x22=0， x23=24，x24=0， x31=2，x23=0， x33=4， x34=0， x41=0，x42=0， x43=7， x44=5，min z=633 对下表所示的运输问题（表内部的数字表示 cij，表右面和下面的数字分别表示供应量和需 求量） 。 B1 A1 A2 A3 6 4 3 10 B2 2 7 1 10 B3 -1 2 2 20 B4 0 5 1 15 5 25 25 2 3 1 6 4 10 3 10 1 10 10 20 15 2 （1）用最小元素法得到初始基础可行解，这是一个退化的基础可行解： 1 2 7 2 -1 5 2 15 1 15 5 3 0 0 4 5 25 25
10 1 9
求下列运输问题的最优解 销 地 产地 A1 A2 A3
B1
《运筹学》第五章习题及答案
《运筹学》第五章习题及答案《运筹学》第五章习题1．思考题（1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。
（2）动态规划的阶段如何划分？（3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。
（4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。
（5）试述建立动态规划模型的基本方法。
（6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。
2．判断下列说法是否正确（1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
（2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
（3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
（4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
（5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。
（6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的。
3．计算下图所示的从A到E的最短路问题4．计算下图所示的从A到E的最短路问题5．计算从A到B、C、D的最短路线。
已知各线段的长度如下图所示。
6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？7．用动态规划求解下列各题（1）．222211295m a x x x x x z-+-=；???≥≤+0,52121x x x x；（2）．33221m a x x x x z=???≥≤++0,,6321321x x x x x x；8．某人外出旅游，需将3种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过10千克。
物品重量及其价值等数据见下表。
试问每种物品装多少件，使整个背包的价值最大？913千克。
物品重量及其价值的关系如表所示。
试问如何装这些物品，使整个背包价值最大？10量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？303011底交货量，该厂的生产能力为每月600件，该厂仓库的存货能力为300件，又每生产100件产品的费用为1000元。
运筹学习题答案第五章
第五章习题解答
5.11 某城市可划分为11个防火区，已设有4个消 防站，见下图所示。
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运筹学教程
第五章习题解答
上图中，虚线表示该消防站可以在消防允许时间
内到达该地区进行有效的消防灭火。问能否关闭若干 消防站，但仍不影响任何一个防火区的消防救灾工作。 (提示：对每—个消防站建立一个表示是否将关闭的01变量。)
x1, x2 0,且为整数
解：x1 1, x2 3, Z 4
min Z 5x1 x2
3x1 x2 9
(2)
st
x1 x1
x2 5 8x2 8
.
x1, x2 0,且为整数
解：x1 4, x2 1, Z 5
page 8 2 January 2024
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运筹学教程
第五章习题解答
5.12 现有P个约束条件
n
aij xij bi
j 1
i 1,2,, p
需要从中选择q个约束条件，试借助0-1变量列出 表达式。
解：设yi是0 1变量,i 1,2,, p
n
yi ( aij xij bi ) 0 j 1
i 1,2,, p
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第五章习题解答
5.1 某地准备投资D元建民用住宅。可以建住宅
的造分地价别点为建有d几j；n幢处，，：最才A多能1，可使A造建2，a造j幢…的。，住问A宅n应。总当在数在A最i哪处多几每，处幢试建住建住宅立宅的问， 题的数学模型。
解：设xi表示在Ai处所建住宅的数量, i 1,2,, n。
运筹学基础及应用第五版 胡运权第五章
2. 绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式约束或不等式
k 1 l 1 kl l kl
K
L
l
前述问题的目标规划模型可以写为：
min z p d p2 d d p d
， 2 x1 x 2 11 x x d d 2 1 1 0， 1 x1 2 x 2 d 2 d 2 10， 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56， x1 , x 2 , d i , d i 0 , i 1, 2 , 3。
1 1
2
2
3 3
s.t.
§2．目标规划的图解分析法
对于只有两个决策变量的线性目标规划的数学模型， 可以用图解法来分析求解。传统的线性规划一般只是寻求 一个点，在这个点上得到单目标的最优值，目标规划一般 是寻求一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折 衷方案。
步骤1 建立直角坐标 系，令各偏差变量为0，作 出所有的约束直线 。满足 所有绝对约束条件的区域， 用阴影标出。
相邻行，只要在起上方即可）。
§4．求解目标规划的层次算法
求解目标规划是从高优先级到低优先级逐层优化的， 求解目标规划的层次算法就是根据这样的思想构造的。
层次算法步骤：
第一步： 对目标函数中的 P1 层次进行优化，建立第 一层次的线性规划模型 LP1 并求解。 LP1的目标函数为
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时间复杂性
应用运筹学
• 若一算法的时间复杂性 f (n) O( p(n)) ，这 里 p() 为一多项式，则称它为多项式时间 算法。不能这样限制时间复杂性函数的算 法称为指数时间算法。 • 结合关于函数增长速度的比较，和算法的 实际运行效果，把多项式时间算法称为有 效算法，指数时间算法称为无效算法。
jI
jI
5
旅行售货商问题
应用运筹学
• 一推销商想在若干个城市中推销自己的产 品。计划从某个城市出发，经过每个城市 恰好一次，最后回到出发的城市。假设城 市之间距离已知，推销商应如何选择环游 路线，使他走的路程最短。该问题称为旅 行售货商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）
应用运筹学
快1000000倍
lg n n n5 2n
N N
N2
100 N
N4
10000 N
N6
1000000 N
N N
2.51N N 6.64
6.31N N 13.28
15.85 N N 19.93
/ 时间 1993.6(首届) 1998.6(11届) 2003.6(21届) 公司 TMC 计算机 CM5
划分问题
应用运筹学
• 划分问题（partition）：给定一正整数 集 A {a1 , a2 , , an } ，问是否存在子集 A1 , A2， 使得 A A1 A2，A1 A2 O / ，且满足
ai A1
ai a A ai
i 2
• 利用划分问题可以证明背包问题和整数规 划都是NP -完全的
应用运筹学
Association for Computing Machinery
ACM Turing Award
应用运筹学
Andrew Chi- Richard Stephen A. Donald Ervin Edsger Wybe Chih Yao M. Karp Cook Knuth Dijkstra (姚期智, 2000) (1985) (1982) (1974) (1972)
应用运筹学
阿姆斯特丹 柏林 日内瓦 维也纳 米兰 罗马 华沙 布拉格
最优路程：5140
VLSI设计中的TSP
• PMA343
应用运筹学
枚举
应用运筹学
• 组合优化问题通常不能通过枚举所有可能的解加 以比较来求解，其原因是可行解的数目可能是一 很大的数，以致于当前或相当长的一段时间内人 力或计算机不能承受 • 也有一些问题，如最小生成树，可以不通过枚举 找到最优解，从而使求解时间大幅下降。而对有 些问题，如TSP，目前还没有找到这样的方法 • 组合优化研究的一个重要方面是区分哪些问题是 容易求解，哪些问题是难求解的
应用运筹学 100 2秒 43.4秒 138年
n! n n
1.7 10 20 世纪 18.2天 3.3 108世纪 1.11038 世纪 1.2 10148世纪 138年 1.4 1016 世纪 1.6 1054世纪 1.4 10190世纪
函数量阶
现在的计算机 快100倍 快10000倍
• 决策变量
max
p
j 1 n
j
xj
j 1 放入第 种物品 s.t . w j x j C xj 0 其他 j 1 j 1,2, , n x j 0,1, j 1, , n
应用运筹学
P，NP，与NP－完全
P NP
NP-C
应用运筹学
P=NP=NP-C
P NP 假设下
• NP 类中的问题既不是没有多项式时间算法的问题 ，也不是最难的问题。
P NP 假设下
NP-完全问题
应用运筹学
• 1971年，Cook直接证明了可满足 SAT 性问题(SAT)是NP－完全的，这 是历史上第一个NP－完全问题 3SAT • 1972年Karp 证明了一些重要问 题的NP －完全性，这些问题与 实际优化问题的形式更为接近， 三维匹配 顶点覆盖 因而可以更方便的构造归约 • 例如，由Hamiltion 圈是NP-完 划分 Hamiltion 圈 团 全的可知，TSP 问题的判定形式 也是NP-完全的
浮点数运 算次数（ 亿次/秒）
应用运筹学 提高 倍数 22.4 600.7
597 13380 358600
Intel ASCI-Red NEC NEC Vector 天河一号
国防 2010.11(36届) 科大
25660000 42981.57
计算复杂性
• 计算复杂性（computational complexity）理论在组合优化学科 中的应用之一是将问题按难度分类 ，从而为进一步研究指明方向。 • 计算复杂性理论建立在一种名为图 灵机（ Turing machine）的理论计 算模型之上。该模型由A. Turing于 1936年提出，它能模拟目前所有的 合理计算模型。
时间复杂性
应用运筹学
• 用算法执行过程中所需的加、减、乘、比较等基 本运算次数表示算法所用的时间。 • 将在计算机中表示实例所需字节数称为实例的规 模（size） 。存储整数 k 一般需 log 2 k 个字节。 • 算法的时间复杂性（time complexity）是关于实 例规模 n 的一个函数 f (n) ，它表示用该算法求解 所有规模为 n 的实例中所需基本运算次数最多的 那个实例的基本运算次数。
在指数时间 内求最优解
在多项式时间 内求近似解
NP-难问题的求解方法
在指数时间 内求最优解
应用运筹学
在多项式时间内求近似解
近似算法 整 数 规 划 法 分 支 定 界 法 动 态 规 划 法
启发式算法
贪婪 法
线性规 局部搜 划松弛 索法
Metaheuristic
整数规划
应用运筹学
• 绝大部分NP －难组合优化问题都可写成一整数 规划。尽管整数规划也是NP－难的，但这使我 们可以借助数学软件来求解一些具体的实例 n • 背包问题的整数规划
NP -难
应用运筹学
• 若一优化问题的判定形式是NP －完全 的，则称该优化问题是NP －难（NPhard）的 • 在 P NP 的假设下，NP －难的优化问 题也没有多项式时间算法
NP-难问题的求解方法
组合优化新问题 设计多项式 时间算法 复杂性未决问题
应用运筹学
证明为NP -难
P 问题
研究特殊 可解性
枚举
20 1
应用运筹学 舍罕王 PK 西萨·班·达依尔
如果一升小麦按150000粒计算， 总计约为130万亿升小麦，按目前 的平均产量计算，是全世界生产 两千年的全部小麦
2 63 9223372036 854775808 9.22 1018
函数量阶
20 函数 10 1.30秒 ln n 1秒 n 4.34秒 8.69秒 5 n 12小时 16天 2 n 444秒 5.27天 40 1.60秒 17.37秒 514天 151世纪
2
组合优化
应用运筹学
• 组合优化与组合学（ Combinatorics）同为研究离 散对象的数学分支，但两者 侧重不同。后者着重研究满 足特定性质对象的存在性， 计数，构造等问题，前者要 Journal of Discrete 求在众多可行解中按一定标 Combinatorial Optimization 准选出最优解。 Optimization
阿姆斯特丹 685 925 1180 960 1755 柏林 1160 1105 340 1530 日内瓦 325 950 880 米兰 870 575 布拉格 1290 罗马 1235 1180 585 630 1575 1025 1495 830 625 290 1915 1130 华沙 795 维也纳
3
背包问题
• 一背包客准备参加自 助游，想要携带的物 品很多，但随身背包 的容量有限，因此希 望通过综合考虑，使 放入背包中的物品对 旅行的帮助最大
应用运筹学
背包、手表、帐篷、电筒、 头灯、手杖、瑞士军刀 、贴 身衣、火炉、凉鞋、防晒油
4
背包问题
应用运筹学
• 设需要考虑的物品共有 n 种，第 j种物品的价值 为 p j ，大小为 w j，背包容量为 C • 背包问题（knapsack）要求选择 I {1,2, , n}， 使得在 w j C 的前提下，使 p j 尽可能的大 • 由于每个物品只有放入和不放入两种可能，因此 可行解数目不超过 2 n 个
科学与研究类通识课程
应用运筹学
应用运筹学
浙江大学数学系 谈之奕
应用运筹学
第五章 组合优化 （Combinatorial Optimization）
组合优化
应用运筹学
• 通常把从有限个可行解中找出使某个目标 函数达到最优的解的优化问题称为组合优 化（Combinatorial Optimization)。 • 象Lagrange 乘子法那样在实数空间内取值 的优化问题称为连续优化（Continuous Optimization），与之相对应的就称为离散 优化（Discrete Optimization）。
应用运筹学
Alan Turing 英国计算机学家 (1912-1954)
图灵机
应用运筹学
B1 1 1 B1 1 B B1 1 B1 1 1 B
B1 B BB
ACM Turing Award
• ACM's most prestigious technical award is accompanied by a prize of $100,000. • The contributions should be of lasting and major technical importance to the computer field. • 自1966年创立至今，共有51名科学 家获此殊荣