1.3 垂直平分线2
1.3线段的垂直平分线(2)
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且
这一点到三角形三个顶点的距离相等．
点拨：要证明三条直线相交于一
怎样证明这个 结论呢? 点，只要证明其中两条直线的交
点在第三条直线上即可
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三 角形三个顶点的距离相等． 已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P, 求证：点P也在AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC
这样的等腰三角形只有两个，并且它 们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 所以满足这一条件的三角形是唯一确 定的。 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
例3.已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作 这个等腰三角形
a
点和直线的位置关系有几种？
①点在直线上 ②点在直线外 Nhomakorabea过一点作已知直线的垂线：
①过直线上一点作已知直线的垂线 ②过直线外一点作已知直线的垂线
1.3 线段的垂直平分线 (2)
回顾
思考
C
1.线段的垂直平分线的性质定理和
判断定理。
2.线段的垂直平分线的作法。
A D
B
1.如图，在△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°，AB的 垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E， 求证：AE=2CE．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的 垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发 现同样的结论?与同伴交流．
①经过已知直线上的一点作已知直线的垂线 已知:直线AB和AB上一点C 求作:AB的垂线,使它经过点C.
A
C
B
②经过已知直线l外一点作已知直线的垂线 已知:直线l和l外一点C 求作:l的垂线,使它经过点C.
C
l
P26 习题1.8 第2题
1.3 第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图 省优精品教案
第2课时三角形三边的垂直平分线及作图1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点) 2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．一、情境导入现在有A、B、C三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？二、合作探究探究点一：三角形三边的垂直平分线【类型一】运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF.求∠DAF的度数．解析：根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C，根据线段垂直平分线得出AD＝BD，AF ＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．解：在△ABC中，∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°.方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【类型二】运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，求MN的长．解析：首先连接AM ，AN ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，可求得∠B ＝∠C ＝30°.又由AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，易得△AMN 是等边三角形，继而求得答案．解：连接AM ，AN ，∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，∴∠C ＝∠B ＝30°.∵AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，∴AN ＝CN ，AM ＝BM ，∴∠CAN ＝∠C ＝30°，∠BAM ＝∠B ＝30°，∴∠ANM ＝∠AMN ＝60°，∴△AMN 是等边三角形，∴AM ＝AN ＝MN ，∴BM ＝MN ＝CN .∵BC ＝8cm ，∴MN ＝83cm. 方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．【类型三】 三角形三边的垂直平分线的性质的应用某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．解：如图，①连接AB ，AC ，②分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P ，则P 即为售票中心．方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．探究点二：作图已知线段c ，求作△ABC ，使AC ＝BC ，AB ＝c ，AB 边上的高CD ＝12c .解析：由题意知，△ABC 是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半． 解：作法：1.作线段AB ＝c ；2．作线段AB 的垂直平分线EF ，交AB 于D ；3．在射线DF 上截取DC ＝12c ，连接AC ，BC ，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高确定另一个顶点的位置．三、板书设计1．三角形三边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．2．作图本节课学习了用尺规作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图作出其余的图形.3．1图形的平移第1课时平移的认识1．理解并掌握平移的定义及性质；(重点)2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图．一、情境导入观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？二、合作探究探究点一：平移的定义下列各组图形可以通过平移互相得到的是()A. B.C. D.解析：根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，故选C.方法总结：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．探究点二：平移的性质【类型一】利用平移的性质进行计算如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝32，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于()A．1 B. 2 C. 3 D．2解析：设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴12×x×2x＝2，解得x＝2(舍去负值)，∴B1C＝22，∴BB1＝BC－B1C＝ 2.故选B.方法总结：本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求重叠部分的长．【类型二】平移性质的综合应用如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有()①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为552.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．①对应线段平行可得AC∥DF，正确；②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝12(AB＋EH)·BE＝12×(8＋5)×5＝652，错误．故选C.方法总结：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．探究点三：简单的平移作图将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．解析：按照题目要求：向右平移4格，再向上平移2格，先作各个关键点的对应点，再连接即可．解：方法总结：作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．三、板书设计1．平移的定义在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．2．平移的性质一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．3．简单的平移作图教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学生经历将实际问题抽象成图形问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.第2课时 一元一次不等式的应用1．会在实际问题中寻找数量关系列一元一次不等式并求解； 2．能够列一元一次不等式解决实际问题．(重点，难点)一、情境导入如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？ 二、合作探究探究点：一元一次不等式的应用 【类型一】 商品销售问题某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？解析：由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24元；若打x 折该商品获得的利润＝该商品的标价×x 10－进价，即该商品获得的利润＝180×x10－120，列出不等式，解得x 的值即可．解：设可以打x 折出售此商品，由题意得：180×x10－120≥120×20%，解得x ≥8.答：最多可以打8折出售此商品．方法总结：商品销售问题的基本关系是：售价－进价＝利润．读懂题意列出不等式求解是解题关键．【类型二】 竞赛积分问题某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？解析：设小明答对x 道题，则答错或不答的题目为(25－x )道，根据得分要超过80分，列出不等关系求解即可．解：设小明答对x 道题，则他答错或不答的题目为(25－x )道．根据他的得分要超过80分，得：4x －2(25－x )＞80，解得x ＞2123.因为x 应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题． 答：小明至少要答对22道题．方法总结：竞赛积分问题的基本关系是：得分－扣分＝最后得分．本题涉及到不等式的整数解，取整数解时要注意关键词如“至多”“至少”等．【类型三】 安全问题采石场爆破时，点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域．导火线燃烧速度是每秒1厘米，工人转移的速度是每秒5米，导火线至少要多少米？解析：根据时间列不等式，导火线燃烧时间＞工人要在爆破前转移到400米外的安全区域时间．解：设导火线的长度需要x 米，1厘米/秒＝0.01米/秒，由题意得x 0.01>4005，解得x ＞0.8.答：导火线至少要0.8米．【类型四】 分段计费问题小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？解析：当每月用水5立方米时，花费5×1.8＝9元，则可知小明家每月用水超过5立方米．设每月用水x 立方米，则超出(x －5)立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可．解：设小明家每月用水x 立方米． ∵5×1.8＝9＜15，∴小明家每月用水超过5立方米．则超出(x －5)立方米，按每立方米2元收费， 列出不等式为5×1.8＋(x －5)×2≥15， 解不等式得x ≥8.答：小明家每月用水量至少是8立方米． 方法总结：分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的费用．根据费用之间的关系建立不等式求解即可．【类型五】 调配问题有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？解析：设安排x 人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10－x )人．甲种蔬菜有3x 亩，乙种蔬菜有2(10－x )亩．再列出不等式求解即可．解：设安排x 人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10－x )人． 根据题意得0.5×3x ＋0.8×2(10－x )≥15.6， 解得x ≤4.答：最多只能安排4人种甲种蔬菜．方法总结：调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数．【类型六】 方案决策问题为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．(1)请你设计该企业有几种购买方案；(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案．解析：(1)设购买污水处理设备A 型x 台，则B 型为(10－x )台，列出不等式求解即可，x 的值取整数；(2)如图表列出不等式求解，再根据x 的值选出最佳方案．解：(1)设购买污水处理设备A 型x 台，则B 型为(10－x )台．12x ＋10(10－x )≤105，解得x ≤2.5，∵x 取非负整数，∴x 可取0，1，2，有三种购买方案：购A 型0台，B 型10台；A 型1台，B 型9台；A 型2台，B 型8台； (2)240x ＋200(10－x )≥2040，解得x ≥1， ∴x 为1或2.当x ＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)； 当x ＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元)． 答：为了节约资金，应选购A 型1台，B 型9台．方法总结：此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较．三、板书设计应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：实际问题――→找出不等关系设未知数列不等式―→解不等式―→结合实际问题确定答案本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的方法来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.3．1图形的平移第1课时平移的认识1．理解并掌握平移的定义及性质；(重点)2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图．一、情境导入观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？二、合作探究探究点一：平移的定义下列各组图形可以通过平移互相得到的是()A. B.C. D.解析：根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，故选C.方法总结：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．探究点二：平移的性质【类型一】利用平移的性质进行计算如图，将等腰直角△ABC沿BC 方向平移得到△A1B1C1，若BC＝32，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于()A．1 B. 2 C. 3 D．2解析：设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴12×x×2x ＝2，解得x＝2(舍去负值)，∴B1C＝22，∴BB1＝BC－B1C＝ 2.故选B.方法总结：本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求重叠部分的长．【类型二】平移性质的综合应用如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有()①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为552.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．①对应线段平行可得AC∥DF，正确；②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝12(AB＋EH)·BE＝12×(8＋5)×5＝652，错误．故选C.方法总结：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．探究点三：简单的平移作图将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．解析：按照题目要求：向右平移4格，再向上平移2格，先作各个关键点的对应点，再连接即可．解：方法总结：作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．三、板书设计1．平移的定义在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．2．平移的性质一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．3．简单的平移作图教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学生经历将实际问题抽象成图形问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.。
2020版八年级数学下册第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线(第2课时)课件(新版)北师大版
(2)∵MD⊥AC,NE⊥BC, ∴∠ACB=180°-∠MFN=110°, ∴∠A+∠B=70°, ∵MA=MC,NB=NC, ∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B, ∴∠MCN=40°.
【母题变式】 【变式一】(变换条件) 如图,在△ABC中,AB边的垂直 平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1 与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为6 cm, △OBC的周长为16 cm.
1.三角形三条边的垂直平分线的性质
探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置,
并测量各个交点到三角形顶点的距离.
结论:①锐角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__ __形__内___;直角三角形三边的垂直平分线交点在___斜__边__ __上___;钝角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__形__ __外___.②三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的 距离____相__等___.
【规范解答】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点, ∴PA=PC=PB,
……………………三角形三条边的垂直平分线的性质
∴∠PAC=∠PCA=20°, …………等边对等角 ∠PBC=∠PCB=30°, …………等边对等角
∵∠PAB=∠PBA, ∴∠PAB= 1(180°-2×20°-2×30°)
2
……………………三角形内角和等于180°
2
交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC 的周长为 ( C )
A.7
B.14
C.17
D.20
【学霸提醒】
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.解题时要注 意数形结合思想的应用.
垂直平分线判定步骤
垂直平分线判定步骤1.引言1.1 概述概述垂直平分线是在几何学中常见的一个概念，它是指一条直线将一条线段垂直地平分成两个相等的部分。
垂直平分线具有一些特殊的性质，因此在几何问题中具有重要的应用价值。
本文将介绍垂直平分线的定义和性质，并详细说明判定垂直平分线的步骤。
了解这些内容可以帮助读者更好地掌握几何学中的相关知识，提升解题能力。
在正文部分，我们将首先给出垂直平分线的定义和相关性质，包括垂直平分线与直线段的垂直关系、垂直平分线与等距离点的关系等。
通过了解这些性质，我们可以更清晰地认识垂直平分线的特点和作用。
接下来，我们将详细介绍判定垂直平分线的步骤。
在几何问题中，判断一条线是否为垂直平分线是很关键的一步。
我们将通过几个具体的案例，逐步介绍判定步骤，并给出详细的解题思路和方法。
最后，在结论部分，我们将对本文进行总结，并探讨垂直平分线的应用。
垂直平分线在几何学中有广泛的应用，例如在建筑设计、地图制作、光学测量等领域都可以看到其重要作用。
了解垂直平分线的性质和判定步骤，可以帮助我们更好地理解和解决与垂直平分线相关的问题。
通过阅读本文，读者将能够全面了解垂直平分线的定义、性质和判定步骤，为解决几何问题提供有力的工具和方法。
无论是学生还是专业人士，都可以从本文中获得有益的帮助。
让我们一起深入探索垂直平分线的奥秘吧！1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括如下内容：文章结构部分的主要目的是为读者提供对整篇文章的整体框架和内容安排的概览。
通过清晰地呈现文章的结构，读者可以更好地理解文章的内容，并能够更有针对性地阅读感兴趣的部分。
本篇文章共分为引言、正文和结论三个部分。
第一部分是引言，主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。
其中，概述部分简单介绍垂直平分线的判定问题，并说明其重要性和应用价值。
文章结构部分即本部分的内容，详细介绍了整篇文章的结构和目录，准确指导读者阅读。
第二部分是正文，主要包括垂直平分线的定义和性质以及垂直平分线的判定步骤两个子部分。
八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线 线段垂直平分线定理知识总结素材 (新版)北师大版
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理文字语言 符号语言 图形语言线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 因为点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以PA=PBP OBA说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如下图，在△ABC 中，AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理文字语言 符号语言 图形语言到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因为PA=PB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
P OBA证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的EDCBA直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如下图，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
2015年春学期北师大八年级数学下册同步课件1.3线段的垂直平分线(2)
三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线 段两上端点距离相等的所有点的集合．
C
B
N
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点 的距离相等． 逆命题： 到线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上．
P
点P在线段 AB的垂直 平分线上
？
PA=PB
几何语言叙述： ∵PA=PB A ∴点P在线段AB的垂直平分线上
C
B
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的 距离相等． M
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等． M 已知：如图， 直线MN⊥AB，垂足 为C， 且AC=CB， 点P在MN上. P 求证：PA=PB
证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90° 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB A PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
实际问题
2、如图，在直线L上求 作一点P，使PA=PB．
数学化
A L
实 际 问 题 2
B
p
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端 点的距离相等． 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上．
线段的垂直平分线
例 已知：如图，在ΔABC中，边AB，BC的垂直平 分线交于P ．求证：点P在AC的垂直平分线上．
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB 点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
1.3、线段的垂直平分线2
程
五、试着画一画 已知底边及底边上的高，求作等腰三角形
反馈练习： 1．如图，△ABC 中，DE 垂直平分 BC， 垂足为 E，交 AB 于 D，若 AB=10cm，
AC=6cm， 则△ACD 的周长为CDB=30° ， 若 BC=3cm， 则 AD=_________cm． 3．如图，B 在 AC 上，D 在 CE 上， AD=BD=BC， ∠ACE=25° ，∠ADE=_________．
科
目
数学 新授课 唐建花
章 节 年 级 审核人
课 型 主备人
第一章 第三节 九年级
课
题
教材版本
线段的垂直 平分线(二) 北师大版
学习 目标
1．通过折纸和作图、猜想、证明的过程，学生会证明三 角形三边垂直平分线交于一点，能够利用直尺和圆规作已 知线段的垂直平分线。 2．通过合作交流学生能够作：已知底边及底边上的高， 能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。从而学生熟练地使 用直尺和圆规作图的能力得到提高。 3．通过探索、猜测、证明的过程，学生的推理证明意识 和能力进一步拓展。 作已知线段的垂直平分线。 会说三线共点的证明方法。5 活动——探究——交流 1、通过学生的交流和练习完成学习目标一，达成率 95％。 2、通过合作交流完成学习目标二，达成率 88％。. 3、在教师的引导下解决学习目标三，达成率 85％。 线段垂直平分线的性质定理 一、动手操作： 学生折出三角形三条边的垂直平分线。 仔细观察三角形的三条垂直平分线， 思考它们之间的关系。 二、动手画： （自主解决） 拿出圆规和直尺，作一个任意的三角形，作出三边的垂直 平分线。 （注意作图的方法和步骤）
4.已知线段 a，求作以 a 为底边、以 a 为高的等腰三角形。
1 2
1.3 线段的垂直平分线(2)三角形的垂心
B
复习回顾
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. 距离相等 M 如图, 如图 ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN ⊥ 是 上任意一点(已知 已知), 上任意一点 已知 ∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点距离 相等). 相等
P
C N
B
老师提示: 老师提示 这个结论是经常用来证明两条线
引入新知
命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点 命题 三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点
基本想法是这样的:我们知道 两条直线相交只有一个交点 基本想法是这样的 我们知道,两条直线相交只有一个交点 要 我们知道 两条直线相交只有一个交点.要 想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第 想证明三条直线相交于一点 只要能证明两条直线的交点在第 三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 三条直线上即可 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 如图,在 如图 在△ABC中,设AB,BC的垂直平 中设 的垂直平 A 分线相交于点P,连接 连接AP,BP,CP. 分线相交于点 连接 在线段AB的垂直平分线上 ∵点P在线段 的垂直平分线上 在线段 的垂直平分线上, 的中点,). ∴PA=PB (或AB的中点 或 的中点 P 同理,PB=PC. 同理 B ∴PA=PC. ∴点P在线段 的垂直平分线上, 在线段AB的垂直平分线上 在线段 的垂直平分线上 的垂直平分线相交于一点. ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点 的垂直平分线相交于一点 想一想:若作出 若作出∠ 的角平分线 结论是否也可以得征? 的角平分线,结论是否也可以得征 想一想 若作出∠P的角平分线 结论是否也可以得征
北师大版八年级数学下册1.3线段的垂直平分线及作图
提示:AB是线段CD的垂直平 分线能带给我们哪些新的条 件？
合作探究
合作探究
逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上.
证明思路: 1.PA=PB能判定△PAB为何种特殊形状 2.等腰三角形 “三线合一” 3.顶角顶点P一定在线段AB的垂直平分线上
∵c，a，b分别是AB，BC，AC的垂直平分线(已知)， ∴c，a，b相交于一点P，且PA=PB=PC
aA
c
b
P
B
C
合作探究
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗? 如果能，能作出几个?所作出的三角形都全等吗? C
A
D
B
合作探究
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰 三角形吗?能作几个?
1.垂直平分线的性质定理
“
“
三
二
个 定
2.垂直平分线的判定定理
个 作
理 ”
aA
图 ”
c
b
P
B
C
合作探究 垂直平分线的判定定理
几何语言描述： 如图， ∵PA=PB(已知)，
∴点P在AB的垂直平分线上
合作探究
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.
aA
观察这三条垂直平分线，你发现了什么?
结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. c
b
如何证明这个结论呢？
P
B
C
证明思路:我们知道，两条直线相交只有一个交点。要想证明 三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上 即可.可应用垂直平分线的逆定理来证明.
北师大版八年级下册1.3 线段的垂直平分线教案设计
1.3线段的垂直平分线教学目标：1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力2．能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理，以及三角形三条边的垂直平分线相交于一点定理3．能够用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形教学重点：1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．3．理解三角形三条垂直平分线共点．教学难点：1．写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题．2．理解三条垂直平分线共点的证明方法及应用教学过程设计补充完善一、复习引入在七年级时研究过线段的性质：线段是一个轴对称图形，它的对称轴是你还记得它有什么性质吗？本节课我们将继续学习并应用线段的垂直平分线二、新课讲解1、线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．求证：P A＝PB．分析：要想证明P A=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否．例1如图，在ΔA B C中，AB=AC=32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求ΔBCN的周长。
对应训练：1、如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ΔABD的周长为13cm，则ΔABC的周长为。
2、已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的AB CMNAB CDE周长分别是60cm 和38cm ，则△ABC 的腰长和底边BC 的长分别是（ ） A ．24cm 和12cm B ．16cm 和22cm C ．20cm 和16cm D ．22cm 和16cm 3．如图7，△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，求证：AD =12DC ．2、线段的垂直平分线的判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上你能写出上面这个定理的逆命题吗?分析原命题的条件和结论：条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等． 描述得更简捷：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 它是真命题吗?已知：线段AB ，点P 是平面内一点且P A ＝PB ． 求证：P 点在AB 的垂直平分线上． 证明：证法一：过点P 作已知线段AB 的垂线PC ．证法二：取AB 的中点C ，过PC 作直线证法三：过P 点作∠APB 的角平分线.例2、如图，四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD,CB=CD(1) 小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线A C ⊥BD,垂足为E,并且BE=ED ，你同意小明的判断吗？请说明理由 (2) 设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b 的式子表示四边形ABCD 的面积3、线段的垂直平分线的尺规作图：我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢? 已知：线段AB (如图)． 求作：线段AB 的垂直平分线． 作法：A PBAB DCEA B根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗?我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．例3、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。
1.3 线段的垂直平分线(2)
A
C
N
习题1.4 3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线 交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC 的长. ∵AD=BD,DE⊥AB
A
D
E B
C
∴EA=EB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等). ∵AC=27 ∴EA+EC=27 ∴EB+EC=27 ∵ EB+EC+BC=50 ∴BC=23
A
P C
几何的三种语言
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且 这一点到三个顶点的距离相等. 在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直 c 平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且 PA=PB=PC(三角形三条边的垂直B 平分线相交于一点,并且这一点 到三个顶点的距离相等).
P
∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上
A N
C
B
常用来证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
尺规作图
用尺规作线段的垂直平分线.
也用这种方法作线段的中点. A B C
D
原理：线段垂直平分线的逆定理。
1.过直线上一点作已知直线的垂线
E
P
●
C
D
l
过直线外一点作已知直线的垂线
E
C
P
●
D
l
1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的等腰 三角形.这个等腰三角形有什么特征?能作几个?
A
C
a
O
D
B
驶向胜利 的彼岸
2、以线段AB为底边的所有等腰三角形的顶 点之间有什么关系？
M P
所有等腰三角形的顶点都 在线段AB的垂直平分线上。 理由：到一条线段两个 B 端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.
北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》教案
北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》教案一. 教材分析《线段的垂直平分线》是北师大版数学八年级下册第1章《几何图形及其性质》的第三节内容。
本节主要让学生掌握线段的垂直平分线的性质，并会运用这些性质解决实际问题。
教材通过引入线段的垂直平分线，引导学生探究其性质，从而培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了线段的基本概念，如长度、中点等，并学习了直线的性质。
但学生对线段的垂直平分线可能较为陌生，因此需要通过实例让学生直观地感受和理解线段的垂直平分线的概念和性质。
三. 教学目标1.让学生理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质。
2.培养学生运用线段的垂直平分线解决实际问题的能力。
3.培养学生的几何思维和观察、操作、推理能力。
四. 教学重难点1.线段的垂直平分线的概念及其性质。
2.如何运用线段的垂直平分线解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等，引导学生观察、操作、推理，从而让学生掌握线段的垂直平分线的性质，并能运用到实际问题中。
六. 教学准备1.教学PPT或黑板。
2.线段模型或实物。
3.练习题。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容：在一条线段上，如何找到一个点，使得该点到线段两端点的距离相等？引导学生思考并猜测这样的点可能在线段的某个特殊位置。
呈现（10分钟）教师展示线段的垂直平分线的定义和性质，引导学生观察、操作，并解释线段的垂直平分线的意义。
通过实例让学生直观地感受线段的垂直平分线的性质。
操练（10分钟）教师给出几个练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、选择题和应用题，旨在让学生巩固线段的垂直平分线的性质，并学会运用到实际问题中。
巩固（10分钟）学生分组讨论，分享各自解题的心得体会，互相提问，教师巡回指导。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出其优点和不足，并给予针对性的指导。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：线段的垂直平分线在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，并引导学生运用线段的垂直平分线解决实际问题。
1.3线段的垂直平分线(2)
2、例3：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
运用案
1.课本P26页随堂练习
2.（1）例题：已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。
教学重点
①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．
②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．
教学难点
证明三线共点。
教学内容及 过程
动态修改
预习案
知识回顾：尺规作图作三条边的垂直平分线。
探究案
探究一：例题解析
例2：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．
课题
1.3线段的垂直平分吕健生
审核
曾春生
授课
授课时间
年月日
教学目标
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点
2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．
3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．
4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
求证：P点在AC的垂直平分线上．
定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
探究二：引申拓展
1、(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
1.3 线段的垂直平分线(第2课时)
【互动探究】如果把题目的条件改为∠BAC=70°， 那么∠BPC的度数是多少？
提示：∠BPC=140°．
【总结提升】三角形三边垂直平分线的性质与应用
交点个数 性 质 交点位置
1个 锐角三角形：在三角形内部 直角三角形：为斜边的中点 钝角三角形：在三角形外部
交点性质
应用
交点到三角形三个顶点的距离相等
求角度、证明线段相等或作图
知识点 2 用尺规作等腰三角形 【例2】已知：线段a.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=a.(要求：
用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法) 【思路点拨】作BC=a→作出BC的垂直平分线
→确定点A→得到△ABC
【自主解答】如图所示： 作法： (1)作线段BC=a. (2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.
3. 线段的垂直平分线
第2课时
1.能够证明三角形三条边的垂直平分线相交于 一点.(重点) 2.已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆 规作出等腰三角形.(难点)
3.能应用三角形三边中垂线的性质解决问
题.(重点)
一、三角形三条边的垂直平分线的性质
如图，在△ABC中，边AB,BC 的垂直平分线交于点P，连接
题组一：三角形三边垂直平分线的性质应用
1.如果一个三角形三边垂直平分线的交点
在三角形外部，那么这个三角形是( A.直角三角形 B.锐角三角形 )
C.钝角三角形
D.不能确定
【解析】选C.∵锐角三角形的三边垂直平 分线的交点在三角形的内部，直角三角形
的三边垂直平分线的交点在斜边的中点上，
钝角三角形的三边垂直平分线的交点在三 角形的外部,
D.已知底边长和底边上的中线的长
【解析】选D.已知等腰三角形的两腰，顶角不 确定，作出的等腰三角形不惟一，A错误；已知
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3.2线段垂直平分线（二）
主备：刘英 审核：八年级数学组
学习目标：
1. 能够利用直尺和圆规熟练作已知线段的垂直平分线；
能力目标：发展应用知识的能力以及作图能力
学习过程：
1. 如图，A 、B 表示两个仓库，要在A 、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？尝试在图中画出来并说明理由。
达标检测1 用尺规作线段的垂直平分线
变式练习：(1)利用尺规作l 的中垂线，使它经过点P.
(2)作一个三角形三条边上的垂直平分线
B
B
B
A B
P 归纳：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
练习：如图，△ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA = 10，则PB =______，PC =______。
例1 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图，已知线段a、h.
求作：△ABC，使AB = AC，且BC = a，高AD = h.
达标检测2 书本P26 习题1.8 T1—2
作业布置
1. 如图，ABC
∆中，DE
A
AC
AB，
，
50
=
∠
=是腰AB的垂直平分线，求DBC
∠的度数。
2.（能力提升）作图题：在下图△ABC所在平面中，
（1）作距△ABC三边距离相等的点P；（2）作距△ABC三个顶点距离相等的点Q.
h
a。