广东深圳一模数学(理)试题

绝密★启用前 试卷类型：A2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 2010.3本试卷共6页，21小题，满分150分。

注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为=13V Sh一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{11}A =-，，{|124}xB x =≤<，则A B 等于A ．{101}-，，B ．{1}C ．{11}-，D ．{01}，2．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和G H 不相交，则甲是乙成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在A B C ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形4．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则37a a +与52a 的大小关系是 A ．37a a +＞52a B ．37a a +＜52a C ．37a a +＝52aD ．37a a +与52a 的大小与a 有关5．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是 A ．443+ B ．12 C ．43 D ．86．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是 A ．20% B ．25% C ．6% D ．80%7．已知函数()2x f x x =+，12()log g x x x =-，2()log h x x x=-的零点分别为123x x x ，，，则123x x x ，，的大小关系是 A ．1x ＞2x ＞3x B ．2x ＞1x ＞3x C ．1x ＞3x ＞2xD ．3x ＞2x ＞1x8．若双曲线过点0m n m n >>(，)()，且渐近线方程为y x =±，则双曲线的焦点A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上9．如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量：①2OA OB+；俯视图 主视图侧视图MA_频率分数0.0050.010 0.020 0.015 0.025 0.030 0.035 40 50 60 70 80 90 100组距a=a+n n= n+1开 始 是 否n= 1 a = 1 s= 0 s= s + a n ≤10 ②1123OA OB +；③3143OA OB +；④3145OA OB +； ⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是 A ．①② B ．①④ C ．①③D ．⑤10．已知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图，则f x ()的图象可能是A BC D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．11．若复数1111i i z m ii+-=+⋅-+（i 为虚数单位）为实数，则实数=m ．12．右面的程序框图给出了计算数列{}n a 的前10项和s oyxx oyxoyxoy xoy y的算法，算法执行完毕后，输出的s 为 .13．已知函数2cos 2000()31002000x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩， 则[(2010)]f f = ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）若直线:l y kx =与曲线{2cos :sin x C y θθ=+=（参数∈θR ）有唯一的公共点，则实数k = ．15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的直径6A B =，C 为圆周上一点，3B C =，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则线段C D 的长为 ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数sin 00f x x ωϕωϕπ=+>≤≤()()(，)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π． （Ⅰ）求f x ()的解析式； （Ⅱ）若32ππα∈-(，)，133f πα+=()，求5sin 23πα+()的值．lABC D O17．（本小题满分12分）一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求： （Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．18．（本小题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1CC 的延长线上，且11112CC C E BC AB ====．（Ⅰ）求证：1D E ∥平面1AC B ； （Ⅱ）求证：平面11D B E ⊥平面1DCB ； （Ⅲ）求四面体11D B AC 的体积．19．（本题满分14分）已知椭圆M ：22221 00x y a b ab+=>>(，)的面积为ab π，且M 包含于平面区域:Ω{||2||3x y ≤≤内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4．（Ⅰ）试求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点312P (，)为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论．20．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有B EADC1A 1B1C 1D12111112nn n a a a a a ++++=．（Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：12231n n a a a a a a ++++ =1n na a +（∈n N *）．21．（本小题满分14分）已知函数2ln ||f x x x =()． （Ⅰ）判断函数f x ()的奇偶性； （Ⅱ）求函数f x ()的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程1f x kx =-()有实数解，求实数k 的取值范围．2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一 选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）题号 12345678910答案 B A C A B D D A C D二 填空题（一）必做题（每小题5分，满分15分）11． 1 _ 12． 175 13． －1（二）选做题（考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分,本小题5分) 14． 33± 15．23316．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2． （Ⅰ）求()f x 的解析式 ； （Ⅱ）若 f 31)3(),2,3(=+-∈παππα，求 )352sin(πα+的值．解：（Ⅰ）图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2,π2=∴T , 则12==Tπω.)sin()(ϕ+=∴x x f . ………2分 )(x f 是偶函数, )(2Z k k ∈+=∴ππϕ, 又πϕ≤≤0，2πϕ=∴．则 x x f cos )(=． ………5分 （Ⅱ）由已知得)2,3(,31)3cos(ππαπα-∈=+ ，)65,0(3ππα∈+∴．则 322)3sin(=+πα． ………8分∴924)3cos()3sin(2)322sin()352sin(-=++-=+-=+παπαπαπα． ………12分17．（本小题满分12分）一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率． 解：（1）设连续取两次的事件总数为M ：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑）；（白1，红）（白1，白1）（白1，白2），（白1，黑）；（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑）；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以16=M ．…………………………… 2分 设事件A ：连续取两次都是白球，（白1，白1）（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个， ……………………… 4分所以，41164)(==A P 。

……………………… 6分（2）连续取三次的基本事件总数为N ：（红，红，红），（红，红，白1），（红，红，白2），（红，红，黑），有4个；（红，白1，红），（红，白1，白1），等等也是4个，如此，64=N 个； …………………………… 8分设事件B ：连续取三次分数之和为4分；因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，则连续取三次分数之和为4分的有如下基本事件：（红，白1，白1），（红，白1，白2），（红，白2，白1），（红，白2，白2）， （白1，红，白1），（白1，红，白2），（白2，红，白1），（白2，红，白2）， （白1，白1，红），（白1，白2，红），（白2，白1，红），（白2，白2，红）， （红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）， 共15个基本事件， ………………………… 10分 所以，6415)(=B P ． ………………………… 12分18．（本小题满分14分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 在棱1C C 的延长线上， 且12111====AB BC E C CC ．(Ⅰ) 求证：1D E //平面1A C B ； (Ⅱ) 求证：平面11D B E ⊥平面1D C B ；（Ⅲ）求四面体AC B D 11的体积． 解：（Ⅰ）证明：连1ADE B BC AD 111////BEADC 1A 1B1C 1D∴四边形11ED AB 是平行四边形 ………2分则11//AB E D又⊂1AB 平面C AB 1，⊄E D 1平面C AB 1∴1D E //平面1A C B ………5分（Ⅱ） 由已知得221214CE E B C B ==+则C B E B 11⊥ ………6分 由长方体的特征可知：⊥CD 平面BCE B 1而⊂E B 1平面BCE B 1， 则E B CD 1⊥ ………9分 ⊥∴E B 1平面1D C B 又⊂E B 1平面11D B E∴平面11D B E ⊥平面1D C B ………10分（Ⅲ）四面体D 1B 1AC 的体积 11111D C B A ABCDV -=111D B A A V --1ACB B V --111D C B C V --1ACD D V --32421211312=⨯⨯⨯⨯⨯-= ………14分19．（本题满分14分）已知椭圆M ：)0,0( 12222>>=+b a by ax 的面积为πab ，M 包含于平面区域:Ω⎩⎨⎧≤≤3||2||y x 内，向平面区域Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆内的概率为4π．（Ⅰ）试求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点312P (，)为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论．B EADC1A 1B1C 1DOxyPCD2-=x 2=x3=y3-=yl 'Oxy2-=x2=x3-=y3=y解：（Ⅰ）平面区域:Ω⎩⎨⎧≤≤3||2||y x 是一个矩形区域，如图所示． ………2分依题意及几何概型，可得4π38π=ab ，…………………………………3分 即 32=ab ． 因为 30,20≤<≤<b a ，所以， 3,2==b a ．……………………………………5分所以，椭圆M 的方程为13422=+yx……………………………………6分（Ⅱ）设直线l 的方程为：b x y +=21，),(),,(2211y x D y x C联立直线l '的方程与椭圆方程得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)2(134)1(2122 y x b x y （1）代入（2）得：12)21(4322=++b x x化简得：0322=-++b bx x ………（3） ……………8分当0>∆时，即，0)3(422>--b b也即，2<b 时，直线l '与椭圆有两交点，由韦达定理得：⎩⎨⎧-=⋅-=+322121b x x bx x ， ………………10分 所以，1232112311111--+=--=x b x x y k ， 1232112322222--+=--=x b x x y k则=+21k k 1232111--+x b x )1)(1(23))(2(1232121212122---++-+⋅=--++x x bx x b x x x b x0)1)(1(23))(2(3212=---+--+-=x x bb b b ……………13分所以，21k k +为定值。