2014届高考理科学数学第一轮复习导学案16.doc
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案1
学案3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．自主梳理1．逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p 或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断3.(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x)．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x)．自我检测1.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是__________________答案∀x∈R，x2－2x＋1≥0解析因要否定的命题是存在性命题，而存在性命题的否定为全称命题．对x2－2x＋1<0的否定为x2－2x＋1≥0.2．若命题p：x∈A∩B，则綈p是________________答案x∉A或x∉B解析∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，∴綈p ：x ∉A 或x ∉B .3．(2010·苏州调研)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填“真”或 “假”)答案 假解析 其否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，为假命题．4．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2，故填[1,2)． 5．(2009·辽宁改编)下列4个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ；②∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中的真命题是________(填序号)．答案 ②④解析 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，②正确．当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13x >1，④正确．探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假例1 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断复合命题的真假．解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题．綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题．变式迁移1 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题，其中正确的是________(填序号)．答案 ①②③④解析 命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x＋2<0的解集是{x |1<x <2}也是真命题，∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．探究点二 全称(存在性)命题及真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12.(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N .(4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解题导引 判定一个全称(存在性)命题的真假的方法：(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可．(2)存在性命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立．解 (1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12.(2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4 N .(4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3符合题意．变式迁移2 (2010·江苏苏州中学阶段性测试一)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0，解得a <－1或a >3.探究点三 全称命题与存在性命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.解题导引 (1)全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可．(2)要判断“綈p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p 的真假．因为p 与綈p 的真假相反且一定有一个为真，一个为假．解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，这是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0恒成立，即p 真，所以綈p假．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0成立．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.变式迁移3(2010·深圳一模)已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________．答案(0,1)解析p为假，即“∀x∈R，x2＋2ax＋a>0”为真，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1.转化与化归思想例(14分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【答题模板】解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．[4分] 若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1. [8分]若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，[12分]综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. [14分]【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．若直接求p成立的条件困难，可转化成求綈p成立的条件，然后取补集．【易错点剖析】“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，命题q 就是方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x 0使方程成立．1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有” 的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x <6或x >9.(2)命题“非p ”就是对命题“p ”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断． 3．全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是一个存在性命题“∃x ∈M ，綈p (x )”，存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”的否定是一个全称命题“∀x ∈M ，綈p (x )”.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·常州月考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0，则綈p 为________．答案 ∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>02．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，13]解析 ∵命题綈p 是真命题，∴命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a <0，解得a >13.因此当命题p 是假命题，即命题綈p 是真命题时，实数a 的范围是a ≤13.3．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即q⇒p，而p q，条件p化简为x>1或x<－3，所以当a≥1时，q⇒p.4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0解析∀a，b∈R是大前提，在否命题中也不变，又因ab>0，a>0的否定分别为ab≤0，a≤0.5．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案④6．(2010·安徽)命题“对∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．答案∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤37．(2011·镇江模拟)已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________．答案m≤1解析命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.8．(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______________________．答案对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0解析因存在性命题的否定是全称命题，所以得：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.二、解答题(共42分)9．(14分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p ：1是奇数，q ：1是质数；(3)p ：0∈∅，q ：{x |x 2－3x －5<0}⊆R ；(4)p ：5≤5，q ：27不是质数．解 (1)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．(3分)(2)∵1是奇数，∴p 是真命题．又∵1不是质数，∴q 是假命题．因此p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．(6分)(3)∵0∉∅，∴p 为假命题．又∵x 2－3x －5<0⇒3－292<x <3＋292，∴{x |x 2－3x －5<0}＝{x |3－292<x <3＋292}⊆R 成立．∴q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．(10分)(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题， ∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题． (14分)10．(14分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.(4分)又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，∴3－2a >1，∴a <1.(6分)又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(8分)(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.(13分) 综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.(14分)11．(14分)已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解 p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4>0－m <0⇔m >2.(3分)q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．⇔Δ2＝16(m －2)2－16<0⇔1<m <3，(6分)因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反． ①当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧ m >2m ≤1或m ≥3⇒m ≥3；(10分)②当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧ m ≤21<m <3⇒1<m ≤2.(12分)综上可知，m 的取值范围为{m |1<m ≤2或m ≥3}．(14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案2
第2章函数学案4函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．自主梳理1．函数的基本概念(1)函数定义设A，B是两个非空的________，如果按某种对应法则f，对于集合A中的____________，在集合B中______________，称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的__________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)函数的三要素________、________和__________．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________.(4)函数相等如果两个函数的定义域和____________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的__________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的______，值域是各段值域的______．2．映射的概念(1)映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素，在集合B中__________确定的元素与之对应，那么这样的单值对应f：A→B叫集合A到集合B的________．(2)由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是非空数集．自我检测1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有________(填序号)．2．(2010·湖北改编)函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为________．3．(2010·湖北改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ， x ≤0，则f (f (19))＝________.4．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________(填序号)．①y ＝x 2x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log 2x .5．函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 下列对应法则是集合P 上的函数的是________(填序号)． (1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应法则f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；(2)P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应法则：f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；(3)P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应法则f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．变式迁移1 已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．探究点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f (x 2)1＋lg (x ＋1)的定义域是___________________．探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，求f (x )．变式迁移3 给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ； (2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．变式迁移4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围为______________．1．与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②y 1＝x ＋1x －1，y 2＝(x ＋1)(x －1)； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2；④f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1； ⑤f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是________． 3．(2011·南京模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为________．4．(2009·江西改编)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________． 5．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 为____________．6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数为________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1 (x ≥0)x 2 (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤1)2 (x >1)，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.二、解答题(共42分) 9．(12分)(2011·苏州期末)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；(3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(14分)某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象．11．(16分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？答案 自主梳理1．(1)数集 每一个元素x 都有惟一的元素y 和它对应 定义域 值域 (2)定义域 值域 对应法则 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应法则 (5)定义域 对应法则 并集 并集 2.(1)都有惟一 映射自我检测 1．③解析 对于题图①：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图②：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图③：符合M 到N 的函数关系；对于题图④：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．2．(34，1) 3.14 4．③5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ， 即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．答案 (2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 (1，＋∞)解析 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2] 解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋lg (x ＋1)≠0得－1<x ≤2且x ≠－910.即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．点评 本题一定要注意答案的规范性，写成：－1<x ≤2且x ≠－910是错误的．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x )等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x )＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得 2f (1x )＋f (x )＝3x ，②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x (x ≠0)．变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应法则．③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．答案 3解析 方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c ，(－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0， 解得－1<x <2－1.课后练习区 1．④解析 ①定义域不同；②定义域不同；③对应法则不同；④定义域相同，且对应法则相同；⑤定义域不同．2．0或1解析 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．3. 3解析 该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.4．(－1,1) 5．∅或{1}解析 由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}． 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 3116 8．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3. ………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，…(10分)又∵方程有唯一解， ∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， ∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 当x ＝1时，y ＝48×0.9＝43.2； 当x ＝2时，y ＝48×0.85＝40.8； 当x ＝3时，y ＝48×0.8＝38.4；当3<x ≤10，x ∈N 时，y ＝48×0.75＝36. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 43.2， x ＝1，40.8， x ＝2，38.4， x ＝3，36， 3<x ≤10，x ∈N .……………………………………………………(8分)图象如图所示．……………………………………………………………………………………………(14分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.…………………………………………………………………(8分)当x >5时，有8.2－x >0，得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．………………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6.故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(13分) 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.…………………………………………………………(15分) 所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R(4)4＝ 2.4(万元/百台)＝240(元/台)．…………………………………………………………………………（16分）。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第4章 学案16
第4章三角函数与三角恒等变换学案16 任意角、弧度及任意角的三角函数导学目标：1。
了解任意角的概念.2。
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．自主梳理1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________,按____时针方向旋转所形成的角叫做正角,按____时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个____角．（1）象限角使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就说这个角是________________角．(2）象限界角（即终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角表示为__________________；终边在y轴上的角表示为________________________;终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．（3）终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或_____________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．(4）弧度制把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__________,它的单位符号是________，读作________,通常略去不写．（5)度与弧度的换算关系360°＝______ rad；180°＝______ rad;1°＝________ rad；1 rad＝____________≈57。
30°.（6）弧长公式与扇形面积公式l＝__________,即弧长等于____________________．S扇＝________＝________.2．三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为(x,y),|OP|＝r，我们规定：①比值错误!叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝错误!；②比值错误!叫做α的余弦，记作cos α,即cos α＝错误!；③比值________（x≠0)叫做α的正切，记作tan α,即tan α＝错误!.（1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌:一全正,二正弦，三正切，四余弦．(2)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示____________,__________和__________．自我检测1．“α＝错误!”是“cos 2α＝错误!"的________条件．2．与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．3．(2010·山东青岛高三教学质量检测）已知sin α〈0且tan α>0，则角α是第________象限角．4．若α＝n·360°＋θ,β＝m·360°－θ（m，n∈Z)，则α，β终边关于直线________对称．5．已知角α的终边上一点的坐标为错误!,则角α的最小正值为________．探究点一角的概念例1 (1）如果角α是第三象限角，那么－α，π－α,π＋α角的终边落在第几象限;(2）写出终边落在直线y＝3x上的角的集合；（3)若θ＝168°＋k·360°(k∈Z）,求在[0°，360°）内终边与错误!角的终边相同的角．变式迁移1 若α是第二象限的角，试分别确定2α，错误!的终边所在位置．探究点二弧长与扇形面积例2 已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径是R。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案66
学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标： 1.理解二元柯西不等式的几种不同形式.2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3.会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式(1)如果a ，b >0，那么____________，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)如果a ，b ，c >0，那么________________，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(3)对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式(1)二维形式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥____________，当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立．3．三角形不等式设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.自我检测1．若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝s ，xy ＝p ，则下列命题中正确的序号是________．①当且仅当x ＝y 时，s 有最小值2p ；②当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24；③当且仅当p 为定值时，s 有最小值2p ；④若s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24.2．若x ，y ∈R ，且满足x ＋3y ＝2，则3x ＋27y ＋1的最小值是________．3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________．4．函数y ＝3＋3x ＋1x (x <0)的最大值为________．5．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围为______________．探究点一 利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y ，a ，b ∈R ＋，且a x ＋by ＝1，求x ＋y 的最小值．变式迁移1 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．探究点二 利用算术—几何平均不等式求最值例2 如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为h米，盖子边长为a米．(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V 的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)．探究点三不等式的证明例3(1)已知a、b、c为正数，且满足a cos2θ＋b sin2θ<c.求证：a cos2θ＋b sin2θ<c.(2)设a、b、c∈R＋，求证：(1a 2＋1b 2＋1c 2)(a ＋b ＋c )2≥27.变式迁移3 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c)≥92.1．从形式结构上看，柯西不等式可简记为“方和积大于积和方”，相比算术—几何平均不等式而言，不要求各项均是正数，从而使用更广泛，在使用柯西不等式证明不等式和求最值时，要注意与柯西不等式的一般形式比较，根据需要，构造“积和方”或“方和积”．柯西不等式等号成立的条件比较特殊，要牢记．2．应用算术—几何平均不等式求最值，要积极创造条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于“和定积最大，积定和最小”，注意满足“一正二定三相等”三个条件，缺一不可．3．利用不等式解决实际问题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型或函数模型，最终通过解不等式或算术—几何平均不等式实施解题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为________．2．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x <0)的值域是________．3．函数y ＝52x 2(25－2x )(0≤x ≤15)的最大值为_____________________________________．4．设a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值是________．5．若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为________． 6．函数y ＝12－2x ＋x －1的最大值为________．7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的最小值为________．8．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则p ＝2x ＋y 的最大值是________．二、解答题(共42分) 9．(12分)设a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .10．(14分)设x 、y 均大于0，且x ＋y ＝1，求证：(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252.11．(16分)某养殖厂需要定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小．学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用答案自主梳理1．(1)a ＋b 2≥ab (2)a ＋b ＋c 3≥3abc (3)a 1＝a 2＝…＝a n 2．(1)(ac ＋bd )2 ad ＝bc (2)|α||β| 自我检测 1．④解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴x ＋y ≥2xy ， 又x ＋y ＝s ，xy ＝p ，∴当s 一定，即x ＝y ＝s 2时，p 有最大值s 24； 当p 一定，即x ＝y ＝p 时，s 有最小值2p . 2．7解析 3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7， 当且仅当“3x ＝27y ”即x ＝3y 且x ＋3y ＝2时，上式取“＝”，此时x ＝1，y ＝13. 3．9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9， 当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立． 4．3－2 3 解析 ∵x <0，∴y ＝3＋3x ＋1x ＝3－[(－3x )＋(－1x )]≤3－2 3.当且仅当－3x ＝－1x ，即x ＝－33时取等号．∴当x ＝－33时，函数y ＝3＋3x ＋1x 有最大值3－2 3. 5．[－25，25]解析 由柯西不等式得，[12＋(－1)2](a 2＋b 2)≥(a －b )2， ∴(a －b )2≤20，∴－25≤a －b ≤25，当且仅当“b ＝－a ”时上式“＝”成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－a a 2＋b 2＝10得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5b ＝5. 课堂活动区例1 解题导引 由于a x ＋by ＝1，则可以构造x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y )2]≥(a ＋b )2的形式，从而利用柯西不等式求出最值．利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时要注意等号成立的条件是否符合题意．解 ∵x ，y ，a ，b ∈R ＋，a x ＋by ＝1，∴x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y )2] ≥(a ＋b )2.当且仅当x ·b y ＝y ·ax ， 即x y ＝ab 时取等号． ∴(x ＋y )min ＝(a ＋b )2.变式迁移1 解 由柯西不等式得：(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1.∴4x 2＋9y 2≥12. 当且仅当2x ×1＝3y ×1，即2x ＝3y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y2x ＋3y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12.例2 解题导引 运用算术—几何平均不等式解决应用问题的步骤是：(1)弄清量与量之间的关系，将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变量的函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为数学中的最值问题；(3)在定义域内求函数的最值；(4)根据实际意义写出正确答案．解 如图，设正六棱柱的底面B 1B 2B 3B 4B 5B 6的边长为x (0<x <1)，则OB 1＝B 1B 2＝x .由A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为1，得OA 1＝A 1A 2＝1，所以A 1B 1＝OA 1－OB 1＝1－x .作B 1C 1⊥A 1A 2于C 1. 在Rt △A 1B 1C 1中，∠B 1A 1C 1＝60°，则容器的高B 1C 1＝A 1B 1sin 60°＝32(1－x )．于是容器的容积为V ＝f (x )＝Sh ＝(6·34x 2)·32(1－x ) ＝94x 2(1－x )(0<x <1)．则f (x )＝94x 2(1－x )＝98·x ·x ·(2－2x ) ≤98·[x ＋x ＋(2－2x )3]3＝13. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时，V max ＝13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.变式迁移2 解 (1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4·12h ′a ＝2h 2＋14a 2＝h ′2，消去h ′.解得：a ＝1h 2＋1(h >0)． (2)由V ＝13a 2h ＝h3(h 2＋1)(h >0)，得：V ＝13(h ＋1h )，而h ＋1h ≥2h ·1h ＝2.所以0<V ≤16，当且仅当h ＝1h ，即h ＝1时取等号．故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米．例3 证明 (1)由柯西不等式可得a cos 2θ＋b sin 2θ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12 ＝(a cos 2θ＋b sin 2θ)12<c .(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc >0， 从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0， 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c 2>0，∴(1a 2＋1b 2＋1c 2)(a ＋b ＋c )2≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．变式迁移 3 证明 ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0，1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c>0， ∴(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c )≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．课后练习区 1．8解析 y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x 2＋1x ＋16xx 2＋1≥216＝8.当且仅当x 2＋1x ＝16xx 2＋1，即x ＝2＋3时等号成立．2．[－3,0)解析 y ＝3x x 2＋x ＋1＝3x ＋1x ＋1.∵x ＋1x ＝－[(－x )＋(－1x )]≤－2.∴x ＋1x ＋1≤－1.∴0>3x ＋1x ＋1≥－3，即－3≤y <0.∴原函数的值域为[－3,0)． 3.4675解析 y ＝52x 2(25－2x )＝52x ·x (25－2x )，∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0，∴y ≤52[x ＋x ＋(25－2x )3]3＝4675.当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，y max ＝4675. 4．4解析 ∵a －c a －b ＋a －cb －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2＝4，∴a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 又∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，∴4a －c ≥n a －c，又∵a >c ，∴a －c >0，∴4≥n ，即n ≤4. 5.425解析 柯西不等式(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.①不等式①中当且仅当x 3＝y 4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825. 因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425. 6.15解析 函数的定义域为[1,6]．y 2＝(12－2x ＋x －1)2＝(2×6－x ＋1×x －1)2≤[(2)2＋12]×[(6－x )2＋(x －1)2]＝3×5＝15.∴y 2≤15.∴y ≤15.当且仅当2×x －1＝1×6－x ，即x ＝83时等号成立． ∴原函数的最大值为15.7．8解析 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)．则(－2)m ＋(－1)·n ＋1＝0,2m ＋n ＝1，m ，n >0.1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4m n ＝8，(m ＝14，n ＝12时取等号)即1m ＋2n 的最小值为8.8.11解析 ∵(3x 2＋2y 2)[(23)2＋(12)2]≥(2x ＋y )2， ∴(2x ＋y )2≤116×6＝11.∴－11≤2x ＋y ≤11，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 32x ＝223y 3x 2＋2y 2＝6时，上式取“＝”． 即⎩⎨⎧ x ＝411y ＝311或⎩⎨⎧ x ＝－411y ＝－311.∴x ＝411，y ＝311时，P max ＝11. 9．证明 由算术—几何平均不等式可得：a ＋b ＋c ≥33abc ，① a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2， ②①②相乘得(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc 即为所证结论．(12分)10．证明 方法一 要证(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252，只需证x 2＋y 2＋1x 2＋1y 2＋4≥252. (3分)∵x ＋y ＝1，即要证(1－2xy )＋1－2xy x 2y 2≥172，即要证4x 3y 3＋15x 2y 2＋4xy －2≤0， (5分) 即要证(4xy －1)(x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (8分) 即要证[4xy －(x ＋y )2](x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (10分) 即要证(x －y )2(x 2y 2＋4xy ＋2)≥0.(12分)∵x 、y 均大于0，x ＋y ＝1，故上式成立．故所证不等式(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252成立． (14分)方法二 ∵x ＋y ＝1， ∴xy ≤(x ＋y 2)2＝14，∴1xy ≥4. (4分)又∵(12＋12)[(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2]≥(x ＋1x ＋y ＋1y )2 (8分)＝(x ＋y ＋x ＋y xy )2＝(1＋1xy )2≥(1＋4)2＝25.(12分)即2[(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2]≥25.∴(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252.(14分)11．解 设该厂应隔x (x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的费用为y .∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， (2分) ∴x 天饲料的保管与其他费用共是：6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)． (8分)从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417.(14分)当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值417.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小． (16分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案32
学案30 数列的通项与求和导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1. (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n 项的和 (1)公式法①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；②等比数列前n 项和S n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1， ＝ ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和：a ．1＋2＋3＋…＋n ＝________；b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝________；c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝________；d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝________；e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝____________.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的拆项公式有：①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导． 自我检测1．(原创题)已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的和为________．2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________.3．已知等比数列{a n }的公比为4，且a 1＋a 2＝20，故b n ＝log 2a n ，则b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝________.4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项的和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n 的最小值为________．5．(2010·北京海淀期末练习)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．6．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________．探究点一 求通项公式例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋1·a na n ＋2n ＋1，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．变式迁移1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．探究点二 裂项相消法求和例2 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且a n ＝7S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1，T n是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .变式迁移2 求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n 项和．探究点三 错位相减法求和例3 已知数列{a n }是首项、公比都为q (q >0且q ≠1)的等比数列，b n ＝a n log 4a n (n ∈N *)．(1)当q ＝5时，求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)当q ＝1415时，若b n <b n ＋1，求n 的最小值．变式迁移3 求和S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n .分类讨论思想例 (5分)二次函数f (x )＝x 2＋x ，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )的函数值中所有整数值的个数为g (n )，a n ＝2n 3＋3n 2g (n )(n ∈N *)，则S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋(－1)n －1a n ＝______________________.答案 (－1)n －1n (n ＋1)2解析 当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，函数f (x )＝x 2＋x 的值随x 的增大而增大，则f (x )的值域为[n 2＋n ，n 2＋3n ＋2](n ∈N *)，∴g (n )＝2n ＋3(n ∈N *)，于是a n ＝2n 3＋3n2g (n )＝n 2.当n 为偶数时，S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－3＋(2n －1)2·n 2＝－n (n ＋1)2；当n 为奇数时，S n ＝(a 1－a 2)＋(a 3－a 4)＋…＋(a n －2－a n －1)＋a n＝S n －1＋a n ＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2，∴S n ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项； (3)可化归为使用累加法、累积法；(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法； (5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明． 2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．求和时应注意的问题：(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·广东)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.2．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S nTn＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________. 3．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1且a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1a n a n ＋1(n ≥2)，则此数列的第10项为________．4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5＝________.5．(2011.南京模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，...，1＋2＋22＋ (2)－1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是________． 6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝__________.7．(原创题)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________.二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)． (1)若函数f (x )的图象的顶点的横坐标构成数列{a n }，试证明数列{a n }是等差数列；(2)设函数f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和S n .10．(14分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)证明1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.11．(16分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1) (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .答案 自主梳理 1．(4)n ＝1或n ≥2 自我检测1．22 2.32 3.15 4.8 5.919 课堂活动区例1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12. 由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2. 变式迁移1 4解析 设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．例2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．(3)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13 ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，又b 1＝3＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n2n ＋1，∵S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立． 即9n 2n ＋1<m －2 0012， 又∵9n 2n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1递增， 且9n 2n ＋1<92.∴m －2 0012≥92， 即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0， 即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．例3 解 依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500， 第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300， 依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n －300.下面构造一等比数列． 设a n ＋1＋x a n ＋x＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x .∴0.18x ＝－300.∴x ＝－5 0003，即a n ＋1－5 0003a n －5 0003＝1.18.∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 0003＝29 5003.∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1，∴a 12－5 0003＝29 5003×1.1811，∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811≈62 396.6(元)， 即到年底该职工共有资金62 396.6元． 纯收入有a 12－10 000(1＋25%)＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200，S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ， 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08， 则b n ＝400·(1.08)n －1. 由题意可知a n >0.85b n ， 即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85. 当n ＝5时，a 5<0.85b 5， 当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.课后练习区1．3＋22 2.② 3.991 4．7解析 设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.5．64解析 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2an＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.6．3解析 该题是数列知识与函数知识的综合．a n ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1－252－45， 显然当n ＝2时，a n 取得最小值，当n ＝1时，a n 取得最大值，此时x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3.7．21解析 y ′＝(x 2)′＝2x ，则过点(a k ，a 2k )的切线斜率为2a k ，则切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0，得－a 2k ＝2a k (x －a k )，∴x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k .故{a n }是a 1＝16，q ＝12的等比数列，即a n ＝16×(12)n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 8．107解析 由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第5行5个奇数，第61行61个奇数，前61行用去1＋3＋5＋…＋61＝62×312＝961个奇数．而2 009是第1 005个奇数，故应是第63行第44个数，即i ＋j ＝63＋44＝107.9．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .…………………………………………………(1分)a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227；又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ， ∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1 ＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，n ∈N *；……………………………………………………………………(3分)∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1 ＝S n ＋S n －1(n >2)，……………………………………………………………………(4分)又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.…………………………………………………………(6分)当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n ∈N *.………………………………………………………………………(8分)(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.……………………………………………(12分) 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009， ∴满足T n > 1 0002 009的最小正整数为112.…………………………………………………(14分)10．解 设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(5分)当n ≥5时，B n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫325－132－1＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫324(n －5)－400＝81n －594，………………………………………………………(10分)∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(14分)11．(1)解 令x ＝n ，y ＝1，得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，…………………………………………………………(2分)∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝(12)n .………………………………………………………………………………(5分)(2)证明 记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ，……………………………………………………………………(6分)∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ，12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1，两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1，整理得S n ＝2－(12)n －1－n (12)n <2.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2.………………………………………………………………(9分)(3)解 ∵f (n )＝(12)n ，而b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n 2.…………………………………………………………………(11分)当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0，∴n ＝8或9时，S n 取到最大值．………………………………………………………(14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案4
第1章集合与常用逻辑用语学案1 集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，则A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x ∈B}．设全集为S，则∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}；③M ＝{4,5}，N ＝{5,4}；④M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)}．答案 ③2．(2009·辽宁改编)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N ＝________.答案 {x |－3<x <5}解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2010·湖南)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m ，4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________.答案 3解析 ∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3.4．(2010·常州五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N ＝________.答案 [－1,3]解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．5．已知集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________.答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一 集合的基本概念例1 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1① 或⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解． ∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b .解 由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________． 答案 P Q解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0. ∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P Q .探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}．当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.变式迁移3 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用 例 (14分)(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；[2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ,[4分]为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.[6分]故所求集合为{0，13，－12}．[7分](2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；[9分] 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.[13分] 故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．[14分]【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y |y ＝2x }，{x |y ＝2x }，{(x ，y )|y ＝2x }表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应对A 是否为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A ∩B ≠∅时，可以利用补集思想，先研究A ∩B ＝∅.的情况,然后取补集.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·北京改编)集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则P ∩M ＝________.答案 {0,1,2}解析 由题意知：P ＝{0,1,2}，M ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P ∩M ＝{0,1,2}．2．(2011·南京模拟)设P 、Q 为两个非空集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q ＝________________.答案 {1,2,3,4,6,7,8,11}解析 P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．3．满足{1} A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________． 答案 3解析 A ＝{1}∪B ，其中B 为{2,3}的子集，且B 非空，显然这样的集合A 有3个，即A ＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．4．(2010·天津改编)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是______________． 答案 a ≤0或a ≥6解析 由|x －a |<1得－1<x －a <1，即a －1<x <a ＋1.由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．答案 {x |1<x ≤2}解析 题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M 为{x |x >2或x <－2}，集合N 为 {x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．6．(2011·泰州模拟)设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数为________．答案 4解析 由题意知B 的元素至少含有3，因此集合B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2009·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________. 答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．8．(2010·江苏)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____.答案 1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1.二、解答题(共42分)9．(14分)集合A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B .解 ∵A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}＝{x |－6≤x ≤1}．(3分)B ＝{x |x 2＋3x >0}＝{x |x <－3或x >0}．(6分) 如图所示，∴A ∪B ＝{x |－6≤x ≤1}∪{x |x <－3或x >0}＝R .(10分) A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0}＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(14分)10．(14分)(2011·南通模拟)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a >2，(6分)∴⎩⎨⎧ a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(8分)当a >0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，(11分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(13分) 综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(14分)11．(14分)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 由x －5x ＋1≤0， 所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分)(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分)所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分)(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，(12分)所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.(14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案6
学案7指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次实数方根．也就是，若x n＝a，则x叫做______________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做____________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号______表示，负的n次实数方根用符号________表示．正负两个n次实数方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t ＝________(a >0，s ，t ∈Q )． ②(a s )t ＝_______(a >0，s ，t ∈Q )． ③(ab )t ＝_______(a >0，b >0，t ∈Q )．1．下列结论中正确的有________(填序号)． ①当a <0时，322()a ＝a 3； ②na n ＝|a |；③函数y ＝12(2)x －(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a ＝________.3．如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系为____________．4．若a >1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b－a －b 的值为________． 5．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是________(填序号)．①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b<0.探究点一 有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求：(1)a －1＋b －1(ab )－1；3815a .变式迁移1(a 、b >0)的结果为____________．探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x +1|. (1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________．探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想 例 (14分)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 【答题模板】解 (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[3分] (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数， 从而y ＝a x －a －x 为增函数， 所以f (x )为增函数．[6分] 当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数， 从而y ＝a x －a －x 为减函数， 所以f (x )为增函数．[9分]故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．[10分] (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数， ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1， 故b 的取值范围是(－∞，－1]．[14分] 【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与a x－a －x 有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑aa 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ＝133()4-，b ＝143()4-，c ＝343()2-，则a 、b 、c 的大小关系为______________．2．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________．3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z |12<2x ＋1<4}，则M ∩N ＝________.4．(2011·扬州模拟)定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，则函数f (x )＝x的值域为________．5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围为________．6．(2011·镇江模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________.8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·常州模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．(14分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．(14分)函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)a 的n 次实数方根 根式 根指数 被开方数(2)①na②na－na±na③a⑤a 2.(1)①na m②1mna1na m③0(2)①a s＋t②a st③a t b t 3.R (0，＋∞)(1)(0,1)(2)y>1 0<y<1(2)0<y<1y>1(3)增函数(3)减函数自我检测1．④解析只有④正确．①中a<0时，3 22()a>0，a3<0，所以322()a≠a3；②中，n为奇数时且a<0时，na n＝a；③中定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．2．2解析∵y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a ＝2或a＝1(舍去)．3．b<a<d<c解析y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.4．2解析(a b－a－b)2＝(a b＋a－b)2－4＝4，∵a>1，b>0，∴a b>1,0<a－b<1，∴a b－a－b＝2.5．④解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.课堂活动区例1解题导引 1.指数幂的化简原则(1)化负数指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解 ∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解．a －1＋b －1(ab )－1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab1ab ＝a ＋b .∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝a 72×13·a －32×13÷(a (－83)×12·a 153×12)＝a 76－12－(－43＋52)＝a －12.∵a ＝19， ∴原式＝3.变式迁移1 ab解析 原式＝11363211233a b a bab a b-＝3111111226333ab+-++--＝ab －1＝ab .例2 解题导引 在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解 (1)方法一 由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎨⎧(13)x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x (x <0)y ＝3x ＋1(x <－1)． 如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x |的图象．②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)．(3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值． 变式迁移2 [－1,1]解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解 设t ＝a x ，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. (1)当a >1时，t ∈[a －1，a ]，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1； (2)当0<a <1时，t ∈[a ，a －1]， ∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13.变式迁移3 (1)解 由2x －1≠0⇒x ≠0， 所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x ＋12(2x －1)·x 3，则f (－x )＝2－x ＋12(2－x －1)(－x )3＝2x ＋12(2x －1)x 3＝f (x )， 所以f (－x )＝f (x )．(3)证明 当x >0时，2x >1，x 3>0，所以(12x －1＋12)x 3>0.因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0. 课后练习区 1．c <b <a解析 ∵y ＝(34)x 单调递减，且－13<－14<0， ∴(34)－13>(34)－14>(34)0，即a >b >1，又0<c <1，∴c <b <a . 2．(－1,1)解析 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.3．{－1} 4．(0,1]解析 当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x ∈(0,1)； 当x ≥0时，2x ≥1，此时f (x )＝1.所以f (x )＝x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x <0)，1 (x ≥0).其值域为(0,1]．5．(0，12)解析 方程|a x －1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12.6．[13，1)解析 据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 7．－1解析 设g (x )＝e x ＋a e －x ，则f (x )＝xg (x )是偶函数．∴g (x )＝e x ＋a e －x 是奇函数．∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. 8. 3解析 当a >1时，f (2)＝2，∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意；当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解．∴a ＝ 3.9．解 (1)∵f (x )是定义在R 上奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分)从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴a ＝2，b ＝1.……………………………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(8分)又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．…………………………………………………………………………(10分)因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围为(－∞，－13)．………………………………………………………(14分)10．解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，………………………………………………………………………(10分)即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.……………………………………………………………………………………………(14分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.……………………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0成立，………………………(10分)所以只需要λ≤2·2x 恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(14分)11．解 由题意得1＋2x ＋4x a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x在x ∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ，设t ＝(12)x ，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12)在t ＝12时，取到最大值．∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x 4x 的最大值为－34，………………………………………(12分)∴a >－34.故a的取值范围为(－34，＋∞)．………………………………………………………(14分)。
届高考理科学数学第一轮复习导学案3.doc说课讲解
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案3.d o c学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间I 上是单调________________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是单调增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为__________．(4)函数y ＝x ＋ax (a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上单调________；在(－a ，0)，(0，a )上单调________；函数y ＝x ＋ax (a <0)在____________上单调递增．2．最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)(或≥f (x 0))，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最____(或最____)值．自我检测1．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空)2．(2011·连云港模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有f (a 2＋1)________f (a )．(填“>”、“<”或“＝”)3．下列函数在(0,1)上是增函数的是________(填序号)． ①y ＝1－2x ；②y ＝x －1；③y ＝－x 2＋2x ；④y ＝5.4．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a 的取值范围是________．5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为______________________．探究点一 函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f (x )，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二 函数的单调性与最值例2 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三 抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (14分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .[2分](1)当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[5分](2)当0≤a <1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[8分](3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.[11分](4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上，(1)当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；(2)当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；(3)当1<a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；(4)当a>2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[14分]【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．总结如下：若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性．(2)f(x)与af(x)，当a>0时，具有相同的单调性，当a<0时，具有相反的单调性．(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与1f(x)具有相反的单调性．(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)·g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·泰州模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的____________条件．2．(2009·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围为________．3．(2009·宁夏，海南改编)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围为________．5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的符号为________(填“正”、“负”、“不确定”)．6．(2011·淮安调研)函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．(2011·苏州质检)设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(14分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数 减函数 (3)单调区间 (4)递增 递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.大 小自我检测1．单调减函数 2．> 3．③ 4．a ≤－35．[－43＋c,55＋c ] 课堂活动区例1 解题导引 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解 在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2＋a )(x 1＋b )－(x 2＋b )(x 1＋a )(x 1＋b )(x 2＋b )＝(b －a )(x 2－x 1)(x 1＋b )(x 2＋b ). ∵a >b >0，∴b －a <0，∴(b －a )(x 2－x 1)<0， 又∵x ∈(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)，∴只有当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，函数才单调．当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0，即Δy<0.∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1解在R上任取x1、x2，设x1<x2，∴f(x2)>f(x1)，F(x2)－F(x1)＝[f(x2)＋1f(x2)]－[f(x1)＋1f(x1)]＝[f(x2)－f(x1)][1－1f(x1)f(x2)]，∵f(x)是R上的增函数，且f(5)＝1，∴当x<5时，0<f(x)<1，而当x>5时f(x)>1；①若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1，∴0<f(x1)f(x2)<1，∴1－1f(x1)f(x2)<0，∴F(x2)<F(x1)；②若x2>x1>5，则f(x2)>f(x1)>1，∴f(x1)·f(x2)>1，∴1－1f(x1)f(x2)>0，∴F(x2)>F(x1)．综上，F(x)在(－∞，5)上为减函数，在(5，＋∞)上为增函数．例2解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，设x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1＋12x1－x2－12x2＝(x1－x2)(1－12x1x2)．∵x1<x2，∴x1－x2<0，又∵1<x1<x2，∴1－12x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax>0恒成立，等价于x2＋2x＋a>0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，∴当x＝1时，y min＝3＋a，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )恒成立， 故a >－3.方法二 f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.方法三 在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值． ∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解 设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．解 (1)方法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．方法二 设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9； 当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)， ∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}． 课后练习区 1．充分不必要解析 f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．(－2,1)解析 由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1.3．6解析 由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．(0,1]解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．正解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －3)x (x ≥0)(x －3)x (x <0). 画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析 举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确．8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4.9．(1)证明 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2) ＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．…………………………………………(6分)(2)解 由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)∵2－1x 2>0，x ∈(1，＋∞)，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．………………………………………………………(12分)故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(14分)10．解 设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a 2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．…………………………………………………………(4分)(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分)(3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.………………………………………………………………(13分)综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(14分)11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分)(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴错误!∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2.………………………………………………………(14分)。
2014高考数学(理)一轮复习学案课件 第1编 集合
考纲解读 考向预测 课前热身
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考点 五 考点 四 考点 三 考点 二 考点 一
真题再现 误区警示 规律探究
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2014届高考理科学数学第一轮复习导学案28
学案29 等比数列及其前n 项和导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝____________.3．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．(4)单调性：⎩⎨⎧a 1>0，q >1或⎩⎨⎧a 1<00<q <1⇔{a n }是________数列；⎩⎨⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1⇔{a n }是________数列；q ＝1⇔{a n } 是____数列；q <0⇔{a n }是________数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1q n q －1－a 1q －1.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测1．(2011·苏州模拟)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b ＝________.2．(2011·湖南长郡中学模拟)已知等比数列{a n}的前三项依次为a －2，a＋2，a＋8，则a n＝______________.3．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1 (n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.4．若数列{a n}的前n项和S n＝3n－a，数列{a n}为等比数列，则实数a的值为________．5．设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)＝____________.探究点一等比数列的基本量运算例1已知正项等比数列{a n}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{a n}的通项a n和前n项和S n.变式迁移1在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a2·a n－1＝128，S n ＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2已知数列{a n}的首项a1＝5，前n项和为S n，且S n＋1＝2S n ＋n＋5，n∈N*.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求{a n}的通项公式以及S n.变式迁移2设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．探究点三 等比数列性质的应用例3 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝8，且1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝2，求a 3.变式迁移3 (1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值；(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.分类讨论思想与整体思想例 (14分)设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80，它的前2n 项和为6 560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的第2n 项．【答题模板】解 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1＝2S n . ∵S 2n ＝6 560≠2S n ＝160，∴q ≠1，[4分]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝80， ①a 1(1－q2n)1－q＝6 560. ②[6分]将①整体代入②得80(1＋q n )＝6 560， ∴q n ＝81.[8分]将q n ＝81代入①得a 1(1－81)＝80(1－q )，∴a 1＝q －1，由a 1>0，得q >1， ∴数列{a n }为递增数列．[10分]∴a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ＝81·a 1q ＝54. ∴a 1q ＝23.[12分]与a 1＝q －1联立可得a 1＝2，q ＝3， ∴a 2n ＝2×32n －1 (n ∈N *)．[14分] 【突破思维障碍】 (1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时也应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．本题条件前n 项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将q n和a 1(1－q n)1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．1．等比数列的通项公式、前n 项和公式分别为a n ＝a 1q n －1，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q ， q ≠1.2．等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *) (q 是与n 值无关的常数)．(2)中项法：证明一个数列满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ∈N *且a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0)．3．等比数列的性质： (1)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l＝a m ·a n ；(3)设公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若{a n}是等比数列，且a n>0，则{lg a n}构成等差数列．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·辽宁)设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.2．(2010·浙江)设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.3．在各项都为正数的等比数列{a n}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5＝________.4．(2011·无锡模拟)等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是________．5．记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝2，S6＝18，则S10 S5＝________.6．设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}前7项的和为________．7．在等比数列{a n}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.8．(2010·福建)在等比数列{a n}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n＝________.二、解答题(共42分)9．(12分)(2010·陕西)已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项；(2)求数列{2a n}的前n项和S n.10．(14分)已知数列{log 2(a n －1)}为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5. (1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)求1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n的值．11．(16分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.答案 自主梳理 1．公比 q 2.a 1·q n －1 4.(1)q n －m (2)a k ·a l ＝a m ·a n (4)递增 递减 常 摆动 6.q n 自我检测 1．－3解析 由等比数列的性质可得ac ＝(－1)×(－9)＝9，b 2＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3.2．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 解析 因为{a n }为等比数列，所以(a ＋2)2＝(a －2)(a ＋8)，解得a＝10，a －2＝8，q ＝a ＋2a －2＝32，∴a n ＝a 1q n －1＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 3．－9解析 由题意：等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9. 4．1解析 可用特殊值法，由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18，由等比数列的性质可知a ＝1.5.27(8n ＋1－1)解析 由题意可知，f (n )即为一个以2为首项，公比q ＝23＝8，项数为n ＋1的等比数列的和．由公式可得f (n )＝S n ＋1＝a 1(1－q n ＋1)1－q＝2×(1－8n ＋1)1－8＝27(8n ＋1－1)．课堂活动区例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有a 1，a n ，q ，n ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用a 1和q 表示，转化为关于a 1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解 方法一 由已知得： ⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝100，a 21q 4－2a 21q 6＋a 21q 8＝36.①②①－②，得4a 21q 6＝64，∴a 21q 6＝16.③代入①，得16q 2＋2×16＋16q 2＝100.解得q 2＝4或q 2＝14.又数列{a n }为正项数列，∴q ＝2或12.当q ＝2时，可得a 1＝12，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12；当q ＝12时，可得a 1＝32.∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝26－n .S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝64－26－n .方法二 ∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 即⎩⎪⎨⎪⎧(a 3＋a 5)2＝100，(a 3－a 5)2＝36. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝8，a 5＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8. 当a 3＝8，a 5＝2时，q 2＝a 5a 3＝28＝14.∵q >0，∴q ＝12，由a 3＝a 1q 2＝8，得a 1＝32，∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝26－n .S n ＝32－26－n ×121－12＝64－26－n. 当a 3＝2，a 5＝8时，q 2＝82＝4，且q >0，∴q ＝2.由a 3＝a 1q 2，得a 1＝24＝12.∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.S n ＝12(2n－1)2－1＝2n －1－12.变式迁移1 解 由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a n －1＝a 1·a n ＝128，a 1＋a n＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，则S n ＝a 1－a n q 1－q ＝64－2q 1－q ＝126，解得q ＝12，此时，a n ＝2＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴n ＝6. 若⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝64，则S n ＝2－64q 1－q ＝126，∴q ＝2.∴a n ＝64＝2·2n －1.∴n ＝6. 综上n ＝6，q ＝2或12.例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法： ①a n ＋1a n ＝q (q 为与n 值无关的常数)(n ∈N *)．②a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *)．(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．解 (1)由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *， 可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1， 即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， 所以a 2＋a 1＝2a 1＋6， 又a 1＝5，所以a 2＝11， 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *，又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＝6·2n －1， 所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.变式迁移2 解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．解 由已知得1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 1＋a 5a 1a 5＋a 2＋a 4a 2a 4＋a 3a 23＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5a 23＝8a 23＝2， ∴a 23＝4，∴a 3＝±2.若a 3＝－2，设数列的公比为q ， 则－2q 2＋－2q －2－2q －2q 2＝8，即1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋122＋12＝－4.此式显然不成立，经验证，a 3＝2符合题意，故a 3＝2. 变式迁移3 解 (1)∵a 3a 11＝a 27＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝4，∵{b n }为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41q 6＝1.① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15 ＝a 41·q 54＝8.②②÷①：a 41·q 54a 41·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43 ＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10 ＝1·210＝1 024. 课后练习区 1.314解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.2．－11解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11. 3．84解析 由题可设等比数列的公比为q ，则3(1－q 3)1－q＝21⇒1＋q ＋q 2＝7⇒q 2＋q －6＝0 ⇒(q ＋3)(q －2)＝0，根据题意可知q >0，故q ＝2.所以a 3＋a 4＋a 5＝q 2S 3＝4×21＝84.4．T 17解析 a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 39，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T 17为定值．5．33解析 因为等比数列{a n }中有S 3＝2，S 6＝18，即S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝182＝9， 故q ＝2，从而S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.6．127解析 ∵公比q 4＝a 5a 1＝16，且q >0，∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127. 7.1207解析 ∵S 99＝30，即a 1(299－1)＝30，∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207. 8．4n －1解析 ∵等比数列{a n }的前3项之和为21，公比q ＝4，不妨设首项为a 1，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1＋4＋16)＝21a 1＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝1×4n －1＝4n －1.9．解 (1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，…………………………………………………………………………(4分)解得d ＝1或d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .……………………………………………………(7分)(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.………………………………………………………………………………(12分)10．(1)证明 设log 2(a n －1)－log 2(a n －1－1)＝d (n ≥2)，因为a 1＝3，a 2＝5，所以d ＝log 2(a 2－1)－log 2(a 1－1)＝log 24－log 22＝1，…………………………………………………………(3分)所以log 2(a n －1)＝n ，所以a n －1＝2n ，所以a n －1a n －1－1＝2 (n ≥2)，所以{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………(6分)(2)解 由(1)可得a n －1＝(a 1－1)·2n －1，所以a n ＝2n ＋1，…………………………………………………………………………(8分)所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝122－2＋123－22＋...＋12n ＋1－2n ＝12＋122＋ (12)＝1－12n .………………………………………………………………(14分)11．解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2(d ＝0舍)．……………………………………………………………………(2分)∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.………………………………………………………………(5分)又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n－1.………………………………………………………………………(8分)(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得：当n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2.……………………………………………(10分)∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3. ∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).………………………………………………………………(12分)∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010＝3＋6－2×32 0101－3＝3＋(－3＋32 010)＝32010.…………………………………………(16分)。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案60
学案62 二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．自主梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C nn b n (n ∈N *)，这个公式叫做__________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数__________(r ＝____________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的____________________叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项为展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝____________________________.2．二项式系数的性质(1)C m n ＝C n －mn； (2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r <n －12时，______________________；当r >n －12时，C r ＋1n <C rn ； (4)当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数______________________________、__________________________相等，且同时取得最大值；(5)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝______.自我检测 1．(2011·福建改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于________． 2．(2011·陕西改编)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．3．(2010·四川)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是______．4．(2011·山东)若(x －a x 2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．5．已知n 为正偶数，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是______．(用数字作答)探究点一 二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．变式迁移1 (2010·湖北)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．探究点二 二项式系数的性质及其应用例2 (1)求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n＝n ·2n －1； (2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．变式迁移2 (2010·上海卢湾区质量调研)求C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k2n＋…＋C 2n2n 的值．探究点三 求系数最大项 例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．变式迁移3 (1)在(x ＋y )n 的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于________．(2)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而第r ＋1项的系数为C r n a n －r b r .2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：C r n a n －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项．3．在(a ＋b )n 的展开式中，令a ＝b ＝1，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n；令a ＝1，b ＝－1，得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＝0，∴C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n＋…＝2n －1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”． 4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n 不是很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx .利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·山东实验中学模拟)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有________项．2．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．4．(2010·烟台高三一模)如果⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________．5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________．6．(2011·湖北)(x －13x)18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)7．(2010·济南高三一模)(x －12x )6的展开式中的常数项为________．8.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210的展开式中的常数项是________． 二、解答题(共42分)9．(14分)(1)设(3x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4. ①求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； ②求a 0＋a 2＋a 4； ③求a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)．10．(14分)利用二项式定理证明对一切n ∈N *，都有2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3.11．(14分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．学案62 二项式定理答案自主梳理1．(1)二项式定理 ②n ＋1 ③C r n 0,1,2，…，n ④C r n an －r b rC r n a n －r b r 2.(3)C r n <C r ＋1n (4)C n 2n C n ＋12n C n －12n (5)2n 2n －1 自我检测 1．40解析 (1＋2x )5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r，令r ＝2，得x 2的系数为22·C 25＝40.2．15解析 设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )r ·(－2－x )6－r ，即T r ＋1＝C r 6·(－1)6－r ·22rx ·2rx －6x ＝C r 6·(－1)6－r ·23rx －6x ，∴3rx －6x ＝0恒成立．∴r ＝2，∴T 3＝C 26·(－1)4＝15. 3．－160x 4．4解析 (x －a x 2)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r(－1)r ·(a )r ·x －2r ＝C r 6x6－3r (－1)r ·(a )r . 令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4.5．－52解析 n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－52.课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r ＋1＝C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项，而不是第r 项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C r n ，r ＝0,1,2，…，n ，与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x －r 3 ＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x n －2r 3， 因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0， 即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈N ，∴k 应为偶数． ∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2.变式迁移1 6解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 20·x 20－r ·(43y )r ＝C r 20·x 20－r ·y r ·3r 4. 由0≤r ≤20，r4∈Z 得r ＝0,4,8,12,16,20. 所以系数为有理数的项共有6项．例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C 0n ＝C n n ＝C n ＋1n ＋1，C k n ＝C n －k n ，k C k n ＝n C k －1n －1等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围．(1)证明 方法一 设S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋(n －1)·C n －1n ＋n C nn ， ①∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋2C 2n ＋C 1n＝n C 0n ＋(n －1)C 1n ＋(n －2)C 2n ＋…＋2C n －2n ＋C n －1n ， ②①＋②得2S ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C nn )＝n ·2n . ∴S ＝n ·2n －1.原式得证．方法二 ∵k n C k n＝kn ·n ！k ！(n －k )！＝(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝C k －1n －1，∴k C k n ＝n C k －1n －1. ∴左边＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1) ＝n ·2n －1＝右边．(2)解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1 ＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89－1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n2n x 2n .令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n2n ＝0.两式相加，再用C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n ＝22n 2－1＝22n －1－1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n 是偶数，则中间一项[第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项]的二项式系数最大；如果n 是奇数，则中间两项[第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项]的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项． 解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为 f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n . 由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫x 233(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫x 232(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.故展开式中系数最大的项为T 5＝405x 263. 变式迁移3 11,12,13(1)解析 分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11,12,13.(2)解 (ⅰ)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(ⅱ)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0. ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4≤k ≤10.4. ∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.课后练习区1．5 2.－2 3.7 4.21 5．－121解析 (1－x )5中x 3的系数为－C 35＝－10，(1－x )6中x 3的系数为－C 36＝－20，(1－x )7中x 3的系数为－C 37＝－35，(1－x )8中x 3的系数为－C 38＝－56.所以原式中x 3的系数为－10－20－35－56＝－121.6．17解析 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r (－13x)r ＝(－1)r (13)r C r18x 18－3r 2.令18－3r 2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为(－1)2(13)2C 218＝17.7．－52解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ·x －r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6·x 6－2r ， 令6－2r ＝0，得r ＝3.∴常数项为T 3＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 36＝－52. 8．4 351解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 210 ＝C 010(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2＋C 210(1＋x )81x 4＋C 310(1＋x )71x 6＋C 410(1＋x )61x 8＋…，从第五项C 410(1＋x )61x 8起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C 010×C 010，C 110×C 29，C 210×C 48，C 310×C 67.故原三项展开式中常数项为C 010C 010＋C 110C 29＋C 210C 48＋C 310C 67＝4 351.9．解 (1)①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16. (3分)②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136. (6分)③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0＝16－1＝15. (9分)(2)证明 ∵32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C n n ·1)－8n －9 (12分)＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9 ＝9×82×(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]，显然括号内是正整数，∴原式能被64整除． (14分)10．证明 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋C 3n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3＋…＋C n n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＝1＋1＋12！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋13！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋1n ！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n …⎝ ⎛⎭⎪⎫1n . (4分) 所以2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <2＋12！＋13！＋…＋1n ！(7分) <2＋11·2＋12·3＋…＋1(n －1)n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝3－1n <3， (10分)仅当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝2； (12分) 当n ≥2时，2<⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3. 故对一切n ∈N *，都有2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3. (14分) 11．解 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2， 则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101， 化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (2分)(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (4分)(2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 8·(－2)r ·x 8－r 2－2r ，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1.故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32. (8分)(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1，若第r ＋1项的系数绝对值最大， 则⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r ， 解得5≤r ≤6. (12分) 又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11.由n ＝8知第5项二项式系数最大．此时T 5＝1 120x －6.(14分)。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案52
第10章 概率与统计学案54 随机抽样导学目标： 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法．自主梳理1．简单随机抽样(1)定义：从个体数为N 的总体中____________取出n 个个体作为样本(n <N )，如果每个个体都有________的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：__________和____________．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)采用随机的方式将总体的N 个个体进行________；(2)将编号按间隔k ________，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除．这时取k ＝N ′n ，并将剩下的总体重新编号；(3)在第1段中用______________确定起始个体编号l ；(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出．3．分层抽样(1)定义：当总体由________的几个部分组成时，我们将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按__________________实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．(2)分层抽样中的抽样比＝样本容量个体总量＝各层样本容量各层个体数量. 自我检测1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①是________抽样，②是____________抽样．2．(2010·四川改编)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的为160人，具有中级职称的为320人，具有初级职称的为200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是___________________________________________________________ _____________．3．(2010·重庆改编)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．4．(2010·天津河东区一模)在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．5．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,7,13,17,23,27，…，93,97的产品进行检验，则这样的抽样方法是______________.探究点一简单随机抽样例1某车间工人加工100件某种轴，为了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？变式迁移1今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本．问：(1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少？(2)个体a不是在第1次被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少？(3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？探究点二系统抽样例2(2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为____________．变式迁移2(2009·广东)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作为样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_________________________人．探究点三分层抽样例3某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．变式迁移3某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h.1．简单随机抽样的特点：(1)样本的总体个数不多；(2)从总体中逐个不放回地抽取，是不放回抽样；(3)是一种等机会抽样，各个个体被抽取的机会均等，保证了抽样的公平性．2．系统抽样的特点：(1)适用于总体个数较多的情况；(2)剔除多余个体并在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；(3)是等可能抽样．3．对于分层抽样的理解应注意：(1)分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的情况；(2)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；(3)分层抽样充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；(4)分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·台州第一次调研)现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是①采取______________，②采用____________，③采用____________．2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是___________________________________________________________ _____________．3．(2010·宿迁模拟)某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表所示：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．4．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生的人数为________．5.(2010·随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为________． 6．一个总体有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．7．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生．为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取________名学生．8．一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为________．二、解答题(共42分)9．(14分)某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．10．(14分)(2010·潮州模拟)潮州统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？11．(14分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽(1)关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．学案54 随机抽样答案自主梳理1．(1)逐个不放回地相同(2)抽签法随机数表法2．(1)编号(2)分段(3)简单随机抽样3．(1)差异明显各部分在总体中所占的比自我检测1．系统 简单随机解析 因为①中牛奶生产线上生产的牛奶数量很大，每隔30分钟抽取一袋，这符合系统抽样；②中样本容量和总体容量都很小，采用简单随机抽样．2．8,16,10,6解析 由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×420＝8,40×820＝16,40×520＝10,40×320＝6.3．15解析 由题意知青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人，得样本容量为15.4.16解析 每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即20120＝16.5．系统抽样解析 本次质检相当于把100件产品平均分成了10组，在第一组中取了2件产品，其他组的产品是采用这两件加间隔的形式取得的，符合系统抽样的要求．课堂活动区例1 解题导引 (1)随机数表法的步骤：①将总体的个体编号；②在随机数表中选择开始数字；③读数获取样本号码．随机数表法简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数表法抽取样本仍不方便．(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键要看：①制签是否方便；②号签是否容易被搅匀．一般地，总体容量和样本容量都较小时，可用抽签法．解 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法． 方法一 (抽签法)将100件轴编号为1,2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，与这10个号签号码相同的轴的直径即为所要抽取的样本．方法二 (随机数表法)将100件轴编号为00,01，…，99，在随机数表(见教材附表)中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个数为68,34,30,13,70,55,74,77,40,44，这10个号码对应的轴的直径即为所要抽取的样本．变式迁移1 解 (1)用简单随机抽样，从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为1N ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为n N ；(2)抽签有先后，但概率都是相同的．故(1)16，(2)16，(3)13.例2 解题导引 系统抽样是一种等间隔抽样，间隔k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n (其中n 为样本容量，N 为总体容量)．预先定出规则，一旦第1段用简单随机抽样确定出起始个体的编号，那么样本中的个体编号就确定下来．从小号到大号逐次递增k ，依次得到样本全部．因此可以联想等差数列的知识结合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ营区的编号范围来求解．答案 25,17,8解析 由题意，系统抽样间隔k ＝60050＝12，故抽到的个体编号为12k ＋3 (其中k ＝0,1,2,3，…，49)．令12k ＋3≤300，解得k ≤24.∴k ＝0,1,2，…，24，共25个编号．所以从Ⅰ营区抽取25人；令300<12k ＋3≤495，解得25≤k ≤41.∴k ＝25,26,27，…，41，共17个编号．所以从Ⅱ营区抽取17人；因此从第Ⅲ营区抽取50－25－17＝8(人)．变式迁移2 37 20解析 由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5＝100(人)，则应抽取的人数为40200×100＝20(人)．例3 解题导引 分层抽样中各层抽取的个体数依各层个体数成比例分配．因此要善于利用列比例等式来解决该类问题．必要时引进字母来表示一些未知量．答案 18解析 设该单位老年职工有x 人，从中抽取y 人．则160＋3x ＝430⇒x ＝90，即老年职工有90人，则90160＝y 32⇒y ＝18.变式迁移3 1 013解析 利用分层抽样可知从3个分厂抽出的100个电子产品中，每个厂中的产品个数比也为1∶2∶1，故分别有25,50,25个．再由三个厂子算出的平均值可得100件产品的总的平均寿命为980×25＋1 020×50＋1 032×25100＝1 013(h)． 课后练习区1．简单随机抽样 系统抽样 分层抽样解析 ①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样．2．分层抽样解析 由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．3．36解析 ∵登山占总数的25，故跑步的占总数的35，又跑步中高二年级占32＋3＋5＝310. ∴高二年级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x 200得x ＝36.4．16解析 ∵二年级女生有2 000×0.19＝380(人)，∴三年级共有2 000－(373＋377)－(380＋370)＝500(人)．∴应在三年级抽取的人数为642 000×500＝16(人)．5．450解析 设这个学校高一年级人数为x ，则90x ＝20100，∴x ＝450.6．63解析 由题意知，第7组中抽取的号码的个位数与6＋7的个位数相同，即为3；又第7组中号码的十位上的数为6，所以在第7组中抽取的号码是63.7．40解析 由题知C 专业有学生1 200－380－420＝400(名)，那么C 专业应抽取的学生数为120×4001 200＝40(名)．8．120解析 分层抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，则10x ＝112⇒x ＝120.9．解 按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把295名同学分成59组，每组5人．(4分)第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生．(10分)采用简单随机抽样的方法，从第1组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l (1≤l ≤5)，那么抽取的学生编号为(l ＋5k ) (k ＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l ＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.(14分)10．解 (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15.(2分)(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2 400.(8分)(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0．000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)，再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．(14分)11．解 (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(4分)(2)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为545＝19，故大于40岁的观众应抽取27×19＝3(人)．(10分)(3)抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，记大于40岁的人为a1，a2，a3,20至40岁的人为b1，b2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)共10个，其中恰有1人为20至40岁的有6个，故所求概率为610＝35.(14分)。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案65
学案67基本算法语句导学目标：理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．自主梳理伪代码及基本算法语句伪代码是介于__________和____________之间的文字和符号．(1)在伪代码中，赋值语句用符号“____”表示，“x←y”表示______________，其中x是__________，y是一个与x同类型的____________．(2)输入语句“____________”表示输入的数据依次送给a，b，输出语句“__________”表示输出运算结果x.(3)条件语句的一般形式为If A ThenBElseC End If 或If A ThenBEnd If(4)循环语句的一般形式为：当型循环语句形式：While p循环体End While当型循环已知循环次数时，可采用“For”语句，形式如下：For I From“初值”To“终值”Step“步长”循环体End For直到型循环语句形式如下：Do循环体Until pEnd Do自我检测1．下列赋值语句正确的有________．①a ←3，b ←4，c ←5；②6←x ＋y ；③3.2←a ；④x ←y ←7； ⑤a 2－b 2←(a ＋b )(a －b )；⑥m ←m ＋2.2．当a ＝1，b ＝3时，执行完如下的一段伪代码后x 的值为________．If a <b Thenx ←a ＋b Elsex ←a －b End If3．当x ＝2时，下面的伪代码运行结果为________．i ←1s ←0While i ≤4 s ←s ×x ＋1 i ←i ＋1End While Print s4．下列伪代码执行后输出的结果为________．i ←11s ←1Dos ←s ×ii ←i －1Until i <9Print s End Do探究点一 输入、输出和赋值语句的应用例1 写出下列语句描述的算法的输出结果： (1)a←5b←3c←(a＋b)/2d←c×cPrint d(2)a←1b←2c←a＋bb←a＋c－bPrint a，b，c变式迁移1阅读下面伪代码，回答问题：①x←3y←4x←y②x←3y←4y←x(1)求上述两种伪代码输出的x和y值；(2)上述两种伪代码中的第三行有什么区别．探究点二条件语句例2已知某商店对顾客购买货款数满500元，减价3%，不足500元不予优惠，输入一顾客购物的货款数，计算出这个顾客实交的货款，画出流程图，写出伪代码．变式迁移2求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率，画出流程图并写出相应的伪代码．探究点三循环语句例3设计求满足条件1＋2＋3＋…＋n>106的最小自然数的算法．并画出流程图，写出伪代码．变式迁移3已知S＝5＋10＋15＋…＋1 500，请用流程图描述求S的算法并用伪代码表示．1．赋值语句是最重要的一种基本语句，也是一个程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，一定要注意其格式要求，如：赋值号左边只能是变量而不能是表达式；赋值号左右两边不能对换；不能利用赋值语句进行代数式计算等．利用赋值语句可以实现两个变量值的互换，方法是引进第三个变量，用三个赋值语句完成．2．要实现循环结构就要用到循环语句．循环语句有“While语句”，“Do语句”，“For语句”．“While”语句是前测试，即先判断，后执行；“Do”语句是后测试，即先执行，再判断．“For”语句选用于循环次数确定的情况．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列语句中：①m←x3－x2；②T←T×1；③32←A；④A←2×(B＋1)＝2×B＋2；⑤A←A＋2；⑥p←((7x＋3)x－5)x＋1，其中是赋值语句的个数为________．2．(2011·江苏)根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________．Read a，bIf a>b Thenm←aElsem←bEnd IfPrint m3．下面所示的伪代码执行后，a，b的值分别为___________________________________．a ←15b ←20a ←a ＋b b ←a－b a ←a －b4．(2010·莱芜一模)下面的流程图与伪代码是同一个程序的设计方案，请根据联系填空．流程图如图所示：伪代码：i ←2 S ←0 DoS ←S ＋i __②__ Until i >100End Do 输出③______上述①应填__________；②应填______；③输出结果为________． 5．(2010·苏北四市联考)某算法的伪代码如图所示，如果输出的y 值是4，那么输入的x 的所有可能的值是______________．Read xIf x < 0 Then y ←x －2Else y ←x 2－3x End If Print y6．(2010·南通调研)伪代码如下：t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×ii ←i ＋1End While Print t 以上伪代码输出的结果t 为________． 7．如图伪代码输出的结果为________．P ←1For K From 1 To 9 Step 2 P ←P ＋2×K －1End For Print P 8．以下伪代码：Read xIf x ≤2 Then y ←2x －3Else y ←log 2x End If Print y表示的函数表达式是________．二、解答题(共42分)9．(12分)编写函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤2.5x 2－1，x >2.5的算法并写出对应的伪代码，根据输入的x 的值，计算y 的值．10．(14分)根据下面的算法伪代码，绘制流程图，指出该算法的功能是什么？并将伪代码改为“For”语句的形式．伪代码S←0I←3While I≤99S←S＋I3I←I＋2End WhilePrint S11．(16分)用循环语句来书写1＋122＋132＋…＋1n2>100的最小自然数n的算法，画出算法流程图，并写出相应的伪代码．学案67 基本算法语句答案自主梳理自然语言 计算机语言 (1)← 将y 的值赋给x 一个变量 变量或表达式 (2)Read a ，b Print x自我检测 1．①⑥解析 依据赋值语句的格式与作用可知①和⑥正确，②③④⑤是错误的．2．4解析 ∵1<3，∴x ＝1＋3＝4. 3．15解析 当x ＝2时，i ＝1≤4，s ＝0×2＋1＝1； i ＝1＋1＝2≤4，s ＝1×2＋1＝3； i ＝2＋1＝3≤4，s ＝3×2＋1＝7； i ＝3＋1＝4≤4，s ＝7×2＋1＝15； i ＝4＋1＝5>4，输出s ＝15. 4．990解析 由题意s ＝11×10×9＝990. 课堂活动区例1 解题导引 (1)赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边可以是一个常量、变量或含变量的运算式．如：2←x 是错误的．(2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量．如“A ←B ”和“B ←A ”的运行结果是不同的．解 (1)∵a ＝5，b ＝3，c ＝a ＋b2＝4， ∴d ＝c 2＝16，即输出16.(2)∵a ＝1，b ＝2，c ＝a ＋b ，∴c ＝3，又∵b ＝a ＋c －b ， ∴b ＝1＋3－2＝2，∴a ＝1，b ＝2，c ＝3， 即输出1,2,3.变式迁移1 解 (1)①x ，y 的值分别为4,4； ②x ，y 的值分别为3,3.(2)伪代码①中的x ←y 是将y 的值赋给x ，赋值后的x 变为4，②中y ←x 是将x 的值赋给y ，赋值后y 的值变为3.例2 解 设购买货款数为x 元，则顾客实际应交的货款y 元为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－3%) (x ≥500)，x (0≤x <500)， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.97x (x ≥500)，x (0≤x <500).流程图如图所示：伪代码为：Read xIf x ≥500 Theny ←0.97x Else y ←x End If Print y变式迁移2 解 算法的流程图如图所示：伪代码为：Read x 1，x 2，y 1，y 2 If x 1＝x 2 ThenPrint 直线的斜率不存在例3 解题导引 由于n 的值事先不知道，又没有公式可套用，我们可借助于变量引入循环，累积变量S 初始值设定为0，计数变量i 初始值设定为1，步长为1，累加的数值为i .应该用“While ”即当型循环来实现．相应的伪代码的书写也应该用“While ”语句．解 算法如下：S1 S ←0；S2 i ←1；S3 S ←S ＋i ；S4 如果S ≤106，使i ←i ＋1，返回S3重复执行S3、S4，否则输出i －1.相应的伪代码如下： S ←0i ←1While S ≤106S ←S ＋i i ←i ＋1End WhilePrint i －1对应的流程图如图所示：Elsek ←2121y y x x -- Print kEnd If变式迁移3解流程图如图所示：从流程图可以看出是一个循环结构，我们可以运用循环语句来实现．伪代码为：S←0For I From 5 To 1 500 Step 5S←S＋IEnd ForPrint S课后练习区1．4解析正确的是①②⑤⑥，赋值语句只能将表达式或数值赋给一个变量．2．3解析∵a＝2，b＝3，∴a<b，应把b值赋给m，∴m的值为3.3．20,154．①i >100； ②i ←i ＋2； ③2 550解析 程序的功能是计算100以内的偶数和．5．－12或4解析 依据伪代码可得，当x <0时，1x 2＝4，∴x ＝－12或x ＝12.又∵x <0，∴x ＝－12.当x ≥0时，x 2－3x ＝4，∴x ＝4或x ＝－1，又∵x ≥0，∴x ＝4.综上所述，x ＝－12或x ＝4.6．24解析 依据伪代码可得，当i ＝2时，t ＝1×2＝2；当i ＝3时，t ＝2×3＝6；当i ＝4时，t ＝6×4＝24.伪代码输出的结果是24.7．468．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3 (x ≤2)log 2x (x >2)9．解 其算法步骤如下：S1 输入x ；S2 若x ≤2.5，则y ←x 2＋1，否则y ←x 2－1；S3 输出y . (6分)用伪代码可表示如下： Read xIf x ≤2.5 Theny ←x 2＋1Else y ←x 2－1End IfPrint y(12分)10．解 伪代码对应的流程图如图所示，它用的是“While ”语句，功能是求33＋53＋…＋993. (4分)(10分)利用“For ”语句伪代码可以改为： S ←0For I From 3 To 99 Step 2S ←S ＋I 3End ForPrint S(14分)11．解 算法如下：S1 S ←0；S2 n ←1；S3 S ←S ＋1n 2；S4 如果S ≤100，使n ←n ＋1，并返回S3，否则输出n －1.(4分)相应流程图如图所示．(10分)相应的伪代码S ←0n ←1While S ≤100S ←S ＋\f(1,n 2)n←n＋1End WhilePrint n－1(16分)。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案64
第12章算法初步、复数学案66算法与流程图导学目标： 1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解三种基本算法结构：顺序结构、选择结构、循环结构．自主梳理1．算法的含义一般而言，对一类问题的________、________求解方法称为算法．2．流程图流程图是由一些________和________组成的，其中________表示各种操作的类型，________中的文字和符号表示操作的内容，________表示操作的先后次序．3．流程图的三种基本结构：________、________、________.其结构形式为①________②________③________________④直到型循环结构自我检测1．下列关于算法的说法正确的有________(填序号)．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后产生确定的结果．2．如图所示的是一个算法的流程图，已知a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是________．第2题图第3题图3．(2010·课标全国改编)如果执行如图所示的流程图，输入N＝5，则输出的数为________．4．(2011·北京改编)执行如图所示的流程图，输出的s值为________．第4题图第5题图5．(2011·山东)执行如图所示的流程图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________.探究点一 算法的顺序结构例1 已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P (x 0，y 0)到直线l 的距离d ，写出其算法并画出流程图．变式迁移1 阅读右面的流程图，若输入的a 、b 、c 分别是21、32、75，则输出的a 、b 、c 分别是________________．探究点二 算法的选择结构例2函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)0 (x ＝0)2 (x <0)，写出求该函数的函数值的算法，并画出流程图．变式迁移2 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是___________________________________________________________ __．探究点三算法的循环结构例3写出求1×2×3×4×…×100的一个算法并画出流程图.变式迁移3(2010·天津和平区一模)在如图所示的流程图中，当程序被执行后，输出s的结果是______．1．流程图主要包括三部分：(1)表示相应操作的框；(2)带箭头的流程线；(3)框内外必要的文字说明，读懂流程图要从这三个方面研究．流程线反映了流程执行的先后顺序，主要看箭头方向，框内外文字说明表明了操作内容．2．两种循环结构的区别：(1)执行情况不同：当型循环是先判断条件，当条件成立时才执行循环体，若循环条件一开始就不成立，则循环体一次也不执行．而直到型循环是先执行一次循环体，再判断循环条件，循环体至少要执行一次．(2)循环条件不同：当型循环是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型循环是当条件不成立时循环，直到条件成立时结束循环．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填______________．第1题图第2题图2．(2010·福建改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的i值为________．3．(2010·浙江改编)某流程图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为________．第3题图 第4题图4．(2010·辽宁改编)如果执行下面的流程图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 为________．5．阅读下面的流程图，则输出的S 为________．第5题图 第6题图6．(2011·浙江，12)若某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．7．执行下面的流程图，输出的T ＝________.8．(2010·江苏)如图是一个流程图，则输出的S 的值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…，(1)若程序运行中输出一个数组是(9，t)，求t的值；(2)求程序结束时，共输出(x，y)的组数；(3)求程序结束时，输出的最后一个数组．10．(14分)(2010·内蒙古包头一模)对一个作直线运动的质点的运(其中a 是这8个数据的平均数)，求输出的S 的值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，观察流程图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021.(1)试求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝2a n ，求b 1＋b 2＋…＋b m 的值．学案66 算法与流程图答案自主梳理 1．机械的 统一的 2.图框 流程线 图框 图框 流程线 3.顺序结构 选择结构 循环结构 ①顺序结构②选择结构 ③当型循环结构 自我检测 1．②③④ 2．11解析 已知图形是一个顺序结构的框图，表示的算法的功能是求两数a 1、a 2的算术平均数，已知a 1＝3，输出结果为7，有a 1＋a 22＝7，解得a 2＝11.3．56解析 第一次运行N ＝5，k ＝1，S ＝0，S ＝0＋11×2，1<5成立，进入第二次运行；k ＝2，S ＝11×2＋12×3，2<5成立，进入第三次运行；k ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4，3<5成立，进入第四次运行；k ＝4，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5，4<5成立，进入第五次运行；k ＝5，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝1－16＝56，5<5不成立，此时退出循环，输出S .4．2解析 由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13→i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ， 故最终输出的s 值为2. 5．68解析 当输入l ＝2，m ＝3，n ＝5时，不满足l 2＋m 2＋n 2＝0，因此执行：y ＝70l ＋21m ＋15n ＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y ＝y －105，执行后y ＝278－105＝173，再执行一次y ＝y －105后y 的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68. 课堂活动区例1 解题导引 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．流程图中一定包含顺序结构．解 算法如下：S1 输入x 0，y 0及直线方程的系数A ，B ，C . S2 计算Z 1←Ax 0＋By 0＋C . S3 计算Z 2←A 2＋B 2.S4 计算d ←|Z 1|Z 2.S5 输出d . 流程图：变式迁移1 75、21、32解析 由流程图中的各个赋值语句可得x ＝21，a ＝75，c ＝32，b＝21，故a 、b 、c 分别是75、21、32.例2 解题导引 求分段函数函数值的流程图的画法，如果是分两段的函数，则需引入一个判断框；如果是分三段的函数，则需引入两个判断框．解 算法如下：S1 输入x ；S2 如果x >0，则y ←－2；如果x ＝0，则y ←0；如果x <0，则y ←2； S3 输出函数值y .相应的流程图如图所示．变式迁移2 3解析 本问题即求函数y ＝⎩⎨⎧ x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的值．若x ≤2，由x 2＝x 得，x ＝1或0；若2<x ≤5，由x ＝2x －3得，x ＝3；若x >5，由x ＝1x 得，x ＝±1，不符合．故符合要求的x 值有3个．例3 解题导引 数学中的累加、累乘、累差等重复性操作可以用循环结构来实现．循环结构分当型和直到型两种，二者的区别是：前者是，当满足条件时执行循环体，而后者是“直到”条件满足时结束循环．解 S1 设S 的值为1.S2 设i 的值为2.S3 如果i ≤100执行S4，否则转去执行S7.S4 计算S 乘i 并将结果赋给S .S5 计数i 加1并将结果赋给i .S6 转去执行S3.S7 输出S 的值并结束算法．根据自然语言描述，流程图如下：变式迁移3 286解析 数列{a n }：4,7,10，…为等差数列，令a n ＝4＋(n －1)×3＝40，得n ＝13，∴s ＝4＋7＋…＋40＝(4＋40)×132＝286. 课后练习区1．y ←8＋2.6(x －2)解析 根据题意可知x >2时，收费应为起步价7元＋超过2公里的里程收费2.6(x －2)元＋燃油附加费1元＝8＋2.6(x －2)．2．4解析 由框图可知i ＝1，s ＝1×21＝2；i ＝2，s ＝2＋2×22＝10；i ＝3，s ＝2＋2×22＋3×23>11，此时输出的i ＝4.3．k >4解析 当k ＝1时，k ＝k ＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝2时，k ＝k ＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝3时，k ＝k ＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝4时，k ＝k ＋1＝5，S ＝2×26＋5＝57.此时S ＝57，循环结束，k ＝5，所以判断框中应为“k >4”．4．360解析 由框图可知：当n＝6，m＝4时，第一次循环：p＝(6－4＋1)×1＝3，k＝2.第二次循环：p＝(6－4＋2)×3＝12，k＝3.第三次循环：p＝(6－4＋3)×12＝60，k＝4.第四次循环：p＝(6－4＋4)×60＝360，此时k＝m，终止循环．输出p＝360.5．30解析第一次循环：S＝12；第二次循环：S＝12＋22；第三次循环；S＝12＋22＋32；第四次循环：S＝12＋22＋32＋42＝30.6．5解析初始值：k＝2，执行“k＝k＋1”得k＝3，a＝43＝64，b ＝34＝81，a>b不成立；k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，a>b不成立；k＝5，a＝45＝1 024，b＝54＝625，a>b成立，此时输出k＝5.7．30解析按照流程图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；S＝10，n＝4，T＝2＋4＝6；S＝15，n＝6，T＝6＋6＝12；S＝20，n＝8，T＝12＋8＝20；S＝25，n＝10，T＝20＋10＝30>S，输出T＝30.8．63解析当n＝1时，S＝1＋21＝3；当n＝2时，S＝3＋22＝7；当n＝3时，S＝7＋23＝15；当n＝4时，S＝15＋24＝31；当n＝5时，S＝31＋25＝63>33.故S＝63.9．解(1)循环体运行结果如下：输出(1，0) n＝3x＝3y＝－2n<2 011输出(3，－2)n＝5x＝9y＝－4n<2 011输出(9，－4)n＝7x＝27y＝－6n<2 011……∴输出数组(9，t)中的t值是－4.(6分)(2)计数变量n的取值为：3,5,7，…，构成等差数列，由3＋(m－1)×2＝2 011，解得m＝1 005.由于当m＝1 005时，n＝2 011，循环体还要执行一遍，会输出第1 006个数组，然后n＝2 013>2 011，跳出循环体．故共输出1 006个数组．(3)程序输出的数组(x n，y n)按输出的先后顺序，横坐标x n组成一个等比数列{x n}，首项x1＝1，公比q＝3.纵坐标组成一个等差数列{y n }，首项y 1＝0，公差d ＝－2.∴x 1 006＝31 005，y 1 006＝－2×1 005＝－2 010.故程序结束时，输出的最后一个数组是(31 005，－2 010)．(14分)10．解 该流程图即求这组数据的方差，∵a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44， (5分)∴S ＝18∑8i ＝1 (a i －a )2＝18×[(40－44)2＋(41－44)2＋…＋(48－44)2]＝7. (14分)11．解 由题中框图可知S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1， ∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则有1a k a k ＋1＝1d (1a k －1a k ＋1)， ∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k－1a k ＋1) ＝1d (1a 1－1a k ＋1)． (3分) (1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021.∴⎩⎪⎨⎪⎧1d (1a 1－1a 6)＝511，1d (1a 1－1a 11)＝1021， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去)． 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (10分)(2)由(1)可得b n ＝2a n ＝22n －1，∴b 1＋b 2＋…＋b m＝21＋23＋…＋22m －1＝2(1－4m )1－4＝23(4m －1)． (14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案16
第5章 解三角形与平面向量 学案22 正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理1．三角形的有关性质(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝____； (2)a ＋b ____c ，a －b <c ；(3)a>b ⇔sin A ____sin B ⇔A ____B ；(4)三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝____________________；(5)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或______________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2. 2．正弦定理和余弦定理1．(2010·上海改编)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则a ∶b ∶c ＝________.2．(2010·天津改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.3．(2010·烟台一模)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为________．4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.探究点一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ；(2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用例2 已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .探究点三 正余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C . (1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3的值．1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·湖北改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC→＝________. 3．在△ABC 中，sin 2A2＝c －b2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________． 4．(2011·苏州调研)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为________．5．(2010·湖南改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为________．6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为______________．7．(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.8．(2010·福建龙岩高三一模)在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．二、解答题(共42分) 9．(14分)(2009·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．10．(14分)(2010·陕西)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．11．(14分)(2010·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π41－cos 2A的值．答案 自主梳理1．(1)π (2)> (3)> > (4)12bc sin A (5)A ＋B ＝π2 2.asin A ＝b sin B ＝c sin Cb 2＋c 2－2bc cos A a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2R sin A 2R sin B 2R sin C a 2R b 2R c2R sin A ∶sin B ∶sin C b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab 自我检测1．5∶11∶13 2.30° 3.13 4.π6 5．1解析 方法一 由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.方法二 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得， 3＝a 2＋a ＋1，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1，a ＝－2(舍去)． 课堂活动区例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中，已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A <a <b 时，有两解；④当a <b sin A 时，无解．若A 为直角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．解(1)由正弦定理asin A＝bsin B得，sin A＝3 2.∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝b sin Csin B＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝b sin Csin B＝6－22.综上，A＝60°，C＝75°，c＝6＋2 2，或A＝120°，C＝15°，c＝6－2 2.(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得b＝a·sin Bsin A＝46，c＝a·sin Csin A＝43＋4.∴b＝46，c＝43＋4.变式迁移1(1)102(2)60°或120°解析(1)∵在△ABC中，tan A＝13，C＝150°，∴A为锐角，∴sin A＝110.又∵BC＝1.∴根据正弦定理得AB＝BC·sin Csin A＝102.(2)由b>a，得B>A，由asin A＝bsin B，得sin B＝b sin Aa＝25650×22＝32，∵0°<B<180°，∴B＝60°或B＝120°. 例2解(1)∵a2＋c2－b2＝ac，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝12.∵0<B<π，∴B＝π3.(2)方法一将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝5714.∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ， 得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A .由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114. 又b ＝7a >a ，∴B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A .∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π3－A ，∴sin(2π3－A )＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ，∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.变式迁移2 解 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac . 又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.∴a 等于1或3.例3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解 方法一 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B ) ⇔a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ， ∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π，得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2， ∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3 (1)证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .(2)解 由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13.又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429，cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3 ＝42－7318. 课后练习区 1.63解析 根据正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得15sin 60°＝10sin B ，解得sin B ＝33， 又因为b <a ，则B <A ，故B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 2.32解析 由余弦定理得，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝3×2×14＝32.3．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc ⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理， 即△ABC 为直角三角形． 4．45°解析 ∵BC >AC ，∴A >B ，所以角B 是锐角，由正弦定理得，BC sin A ＝ACsin B ，即sin B ＝AC ·sin A BC ＝42×3243＝22，所以B ＝45°.5．a >b解析 因为C ＝120°，c ＝2a ，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C,2a 2＝a 2＋b 2－2ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.所以a 2－b 2＝ab ，a －b ＝ab a ＋b，因为a >0，b >0，所以a －b ＝aba ＋b>0，所以a >b .6．等边三角形解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac ＝a 2＋c 2－ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 7．1解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°.由正弦定理知，1sin A ＝3sin 60°，即sin A ＝12. 由a <b 知，A <B ，∴A ＝30°， C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， ∴sin C ＝sin 90°＝1. 8.π4解析 设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β，则tan α＝13，tan β＝12，∴tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1. ∴∠BAC 的大小为π4.9．解 (1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.……………………………………………………(5分)又由AB →·AC→＝3得bc cos A ＝3，所以bc ＝5， 因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.…………………………………………………………………(9分)(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165bc ＝20，所以a ＝2 5.………(14分)10．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分)∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.…………………………………………………………(8分)在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°， ∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B＝10sin 60°sin 45° ＝10×3222＝5 6.…………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝423bc .由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，……………………………………………(4分)又0<A <π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13.……………………………………………………(6分)(2)原式＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A ＋π41－cos 2A………………………………………………………(8分)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π42sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A ＋22cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A －22cos A 2sin 2A ………………(11分) ＝sin 2A －cos 2A 2sin 2A ＝－72.所以2sin (A ＋π4)sin (B ＋C ＋π4)1－cos 2A ＝－72.……………………………………………………(14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案17
学案21 二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝______________；(2)cos 2α＝________________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝____________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)． 公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝______________；升幂公式：1＋cos α＝______________，1－cos α＝______________；变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________. 自我检测1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________．2．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x ＝________. 3．函数y ＝(sin x －cos x )2－1的最小正周期为________． 4.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．5．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为________和________．探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2010·泰安一模)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2010·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．变式迁移3 求证：sin 2x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .转化与化归思想例 (14分)(2010·江西)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值． 【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x sin x sin 2x＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，[4分]所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，[5分]从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[7分] (2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x ＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[9分]由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[11分]所以35＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤45＋35(1＋m )＋12，[12分] 解得m ＝－2.[14分] 【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2，α2是α4的二倍角等．(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)＝______.2．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.3．(2011·淮安模拟)已知cos 2α＝12 (其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0)，则sin α的值为________．4．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________． 5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是________．6．(2011·镇江模拟)已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是________．7．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．8．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________． 二、解答题(共42分)9．(14分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.10．(14分)(2010·南京一模)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．答案 自主梳理(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α 2sin 2α(3)2tan α1－tan 2α(1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos 2α2 2sin 2α2 (sin α±cos α)2自我检测1．－35解析 原式＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.2．－247解析 ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，tan x ＝－34，tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 3．π解析 y ＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x －1＝－sin 2x ， ∴T ＝π. 4．－2sin 4解析 原式＝4cos 24＋2(sin 4－cos 4)2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|＝－2sin 4.5．－3 32解析 f (x )＝cos 2x －2sin x＝1－2sin 2x －2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋32， 则sin x ＝－12时，f (x )最大＝32； sin x ＝1时，f (x )最小＝－3. 课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min ＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x ) ＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，3π4， ∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2， 当x ＝0时，g (x )min ＝1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解 由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α) ＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14，∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos 5π6－2cos 5π6sin 5π6＝532.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214. (2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)， ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.又cos(α＋π4)＝35>0，故可知3π2<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角条件恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．解 (1)由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]， 即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x ，即f (x )＝x1＋2x .(3)∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0<x ≤3，设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)．故函数f (x )的值域为(0，24]． 变式迁移3 证明 因为左边＝2sin x cos x[sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2＝2sin x cos xsin 2x －cos 2x ＋2cos x －1 ＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x ＝sin x (1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x )＝sin x (1＋cos x )sin 2x＝1＋cos x sin x ＝右边． 所以原等式成立． 课后练习区1．－16解析 ∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16. 2.322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 3．－12解析 ∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴sin α＝－12. 4．8解析 f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8. 5.32解析 由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴sin B ＝32.6．－79解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－79.7．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 2.8.12解析 ∵cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12.9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(3分)∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°＝sin (180°－20°)16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(7分)(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos 22α－13＋4cos 2α＋2cos 22α－1………………………………………………………(9分)＝(1－cos 2α)2(1＋cos 2α)2＝(2sin 2α)2(2cos 2α)2＝tan 4α.………………………………………………………(14分)10．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分)(1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，………………………………………(12分)当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.…………………………………………(14分)11．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .………………………………………………………………(10分)因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.……………………………………………………(14分)。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第4章 学案17
学案17同角三角函数的基本关系式及诱导公式导学目标：1.能利用单位圆中的三角函数线推导出错误!±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x＋cos2x＝1,错误!＝tan x。
自主梳理1．同角三角函数的基本关系(1）平方关系：___________________________.（2)商数关系：___________________________.2．诱导公式(1）sin（α＋2kπ）＝____________，cos（α＋2kπ）＝____________，tan(α＋2kπ）＝__________，k∈Z.（2)sin(－α)＝__________，cos（－α）＝__________，tan（－α）＝__________。
（3）sin（π－α）＝__________,cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝__________。
(4)sin（π＋α)＝__________，cos(π＋α）＝__________,tan（π＋α)＝__________。
(5)sin错误!＝__________，cos错误!＝________.(6）sin错误!＝________，cos错误!＝__________.3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：上述过程体现了化归的思想方法．自我检测1．(2010·全国Ⅰ改编）cos 300°＝________。
2．（2009·陕西改编)若3sin α＋cos α＝0，则错误!的值为________．3．（2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角,tan α＝错误!,则sin α＝________.4．cos(－17π4）－sin（－错误!)＝________.5．已知cos(错误!－α)＝错误!,则sin(α－错误!)＝________。
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第5章解三角形与平面向量学案22正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理1．三角形的有关性质(1)在△ABC中，A＋B＋C＝____；(2)a＋b____c，a－b<c；(3)a>b⇔sin A____sin B⇔A____B；(4)三角形面积公式：S△ABC＝12ah＝12ab sin C＝12ac sin B＝____________________；(5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或______________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin(A＋B)＝sin C，sinA＋B2＝cosC2.2．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容________________＝2Ra2＝____________，b2＝____________，c2＝____________变形形式①a＝________，b＝________，c＝________；②sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________；③a∶b∶c＝________；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝____________________；cos B＝____________________；cos C＝____________________1．(2010·上海改编)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则a ∶b ∶c ＝________.2．(2010·天津改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.3．(2010·烟台一模)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为________．4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.探究点一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ；(2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用例2 已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .探究点三 正余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C . (1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3的值．1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·湖北改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC→＝________. 3．在△ABC 中，sin 2A2＝c －b2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________． 4．(2011·苏州调研)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为________．5．(2010·湖南改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为________．6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为______________．7．(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.8．(2010·福建龙岩高三一模)在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．二、解答题(共42分) 9．(14分)(2009·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．10．(14分)(2010·陕西)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．11．(14分)(2010·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π41－cos 2A的值．答案 自主梳理1．(1)π (2)> (3)> > (4)12bc sin A (5)A ＋B ＝π2 2.asin A ＝b sin B ＝c sin Cb 2＋c 2－2bc cos A a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2R sin A 2R sin B 2R sin C a 2R b 2R c2R sin A ∶sin B ∶sin C b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab 自我检测1．5∶11∶13 2.30° 3.13 4.π6 5．1解析 方法一 由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.方法二 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得， 3＝a 2＋a ＋1，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1，a ＝－2(舍去)． 课堂活动区例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中，已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A <a <b 时，有两解；④当a <b sin A 时，无解．若A 为直角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．解(1)由正弦定理asin A＝bsin B得，sin A＝3 2.∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝b sin Csin B＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝b sin Csin B＝6－22.综上，A＝60°，C＝75°，c＝6＋2 2，或A＝120°，C＝15°，c＝6－2 2.(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得b＝a·sin Bsin A＝46，c＝a·sin Csin A＝43＋4.∴b＝46，c＝43＋4.变式迁移1(1)102(2)60°或120°解析(1)∵在△ABC中，tan A＝13，C＝150°，∴A为锐角，∴sin A＝110.又∵BC＝1.∴根据正弦定理得AB＝BC·sin Csin A＝102.(2)由b>a，得B>A，由asin A＝bsin B，得sin B＝b sin Aa＝25650×22＝32，∵0°<B<180°，∴B＝60°或B＝120°. 例2解(1)∵a2＋c2－b2＝ac，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝12.∵0<B<π，∴B＝π3.(2)方法一将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝5714.∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ， 得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A .由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114. 又b ＝7a >a ，∴B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A .∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π3－A ，∴sin(2π3－A )＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ，∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.变式迁移2 解 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac . 又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.∴a 等于1或3.例3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解 方法一 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B ) ⇔a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ， ∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π，得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2， ∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3 (1)证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .(2)解 由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13.又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429，cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3 ＝42－7318. 课后练习区 1.63解析 根据正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得15sin 60°＝10sin B ，解得sin B ＝33， 又因为b <a ，则B <A ，故B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 2.32解析 由余弦定理得，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝3×2×14＝32.3．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc ⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理， 即△ABC 为直角三角形． 4．45°解析 ∵BC >AC ，∴A >B ，所以角B 是锐角，由正弦定理得，BC sin A ＝ACsin B ，即sin B ＝AC ·sin A BC ＝42×3243＝22，所以B ＝45°.5．a >b解析 因为C ＝120°，c ＝2a ，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C,2a 2＝a 2＋b 2－2ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.所以a 2－b 2＝ab ，a －b ＝ab a ＋b，因为a >0，b >0，所以a －b ＝aba ＋b>0，所以a >b .6．等边三角形解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac ＝a 2＋c 2－ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 7．1解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°.由正弦定理知，1sin A ＝3sin 60°，即sin A ＝12. 由a <b 知，A <B ，∴A ＝30°， C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， ∴sin C ＝sin 90°＝1. 8.π4解析 设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β，则tan α＝13，tan β＝12，∴tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1. ∴∠BAC 的大小为π4.9．解 (1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.……………………………………………………(5分)又由AB →·AC→＝3得bc cos A ＝3，所以bc ＝5， 因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.…………………………………………………………………(9分)(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165bc ＝20，所以a ＝2 5.………(14分)10．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分)∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.…………………………………………………………(8分)在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°， ∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B＝10sin 60°sin 45° ＝10×3222＝5 6.…………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝423bc .由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，……………………………………………(4分)又0<A <π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13.……………………………………………………(6分)(2)原式＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A ＋π41－cos 2A………………………………………………………(8分)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π42sin 2A＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A ＋22cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A －22cos A 2sin 2A ………………(11分) ＝sin 2A －cos 2A 2sin 2A ＝－72.所以2sin (A ＋π4)sin (B ＋C ＋π4)1－cos 2A＝－72.……………………………………………………(14分)。