3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
人教版高中数学选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
旧知回顾 求函数的导数的方法是:00f(x +Δx)-f(x )Δy =;Δx ΔxΔx →0Δy y =lim .Δx（1）求增量（2）算比值 （3）求极限0)()(0x x x f x f ='='知识要点21)(),2)(),3)(),14)(),y f x c y f x x y f x x y f x x ========'1y =；'2y x =；21'.y x =-'0y =；新课导入由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.又如我们知道函数y=1/x 2的导数是=-2/x 3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y 学习了这节课，就可以解决这些问题了！3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标知识与能力（1）掌握基本初等函数的导数公式.（2）会运用导数的运算法则及简单复合函数的复合过程.过程与方法（1）通过丰富的实例，了解求函数的导数的流程图.（2）理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．情感态度与价值观经历由实际问题中抽象出导数概念，使同学们体会到通过导数也能刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.教学重难点重点理解简单复合函数的复合过程.难点函数的积、商的求导法则的推导及复合函数的结构分析.知识要点为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：()();x f ,c x f .'01==则若()()();nx x f ,N n x x f .n 'n 12-*=∈=则若()();x cos x f ,x sin x f .'==则若3()();x sin x f ,x cos x f .'-==则若4()();a ln a x f ,a x f .x 'x ==则若5基本初等函数的导数公式()();e x f ,e x f .x 'x ==则若6()();a ln x x f ,x log x f .'a 17==则若()().x x f ,x ln x f .'18==则若例 1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有函数关系，其中 为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？()()015%t p t p =+0p 01p=()' 1.05ln1.05.tp t =()()./..ln .p ,'年元所以0800510511010≈=解：根据基本初等函数的导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.如果上式中的某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？5p当 时，，这时，求P 关于t 的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的求导问题.05p =()5 1.05t p t =⨯ 1.05t若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则1.和(或差)的导数法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 (u v)u v '''±=±1.和(或差)的导数 (u v)u v '''±=±)()()(x v x u x f y ±==证明：[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=vu ∆±∆=x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim )()(''x v x u ±=例 2'23cos x x =+ y 求y= + sin x 的导数.3x 解：由导数的基本公式得：例 3'3'421x x =-- y 解：由导数的基本公式得： 求的导数. 42y =x -x -x +32.积的导数法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即请同学们自己证明()()()()()()f x g x =f x g x +f x g x ⨯⎡⎤⎣⎦′′′知识拓展推论(:=')CCu'u例422求的导数y=2x-3x+5x-4？解：由导数的基本公式得：'4655=-+=-y x x x例 52y =(2x +3)(3x -2)求的导数？'2223(4)(32)(23)3128691889y x x x x x x x x =-++⨯=-++=-+解：由导数的基本公式得：3.商的导数法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即 []0000020'()()()()f(x)[]'|g(x)()x x f x g x fx g x g x ='-=2x y =sinx 的导数.例62'2''2()sin (sin )sin x x x x y x⋅-⋅=解：222sin cos sin x x x xx-=例7 2x +3y =x =3x +3求在点处的导数.2'221(3)(3)2(3)x x x y x ⋅+-+⋅=+解：22263(3)x x x --+=+'329183241|(93)1446x y =--+-∴===-+()()()()()()()()()2f x f x g x f x g x 3.g x 0.g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′导数的运算法则1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′;2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=x+2（x>-2），则y=ln u.即y=㏑（x+2）可以看成是由y=ln u和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.名词解释一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 x u x y =y u ′′′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.()()x u x 13 y =y u =lnu 3x +2=3=u 3x +2⨯⨯ ′′′′′ 问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x 的导数等于y= ㏑u 对u 的导数与u=3x+2对x 的导数的乘积，即)(x f 例8()2y =2x +3求函数的导数.'''x u x y y u =⋅()()''223u x =⋅+4812.u x ==+解：函数可以看作函数 和 的复合函数.由复合函数求导法则有 ()223y x =+3y u =23u x =+课堂小结1.由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.导数的运算法则 ()()()()()()()()()2f x f x g x -f x g x3.=g x 0g x g x ⎡⎤≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′3.复合函数的复合过程利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.高考链接 (2008海南、宁夏文)设 ，若()ln f x x x = ，则 （ ）A. B.C. D. 0'()2f x =0x =2e e ln 22ln 2B2ax y =a 062=--y x =a 121-21-(2008全国Ⅱ卷文)设曲线 在点（1, )处的切线与直线 平行,则A ．1B ．C ．D ． ( ) A随堂练习()()()()''3'''32323y x x x x =-+=-+解因为23 2.x =-1、 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数. 323y x x =-+随堂练习()()()()0.0511;2sin ,.x y ey x πϕπϕ-+==+其中均为常数2、 求下列函数的导数u -0.05x+1=-0.05e =-0.05e .x u x y =y u ⨯′′′()()u=e -0.05x +1⨯′′（1）函数 可以看做函数 和的复合函数.由复合函数的求导法则有 -0.05x+1y =e u y =e u =-0.05x +1()()2y =sin πx +φy =sinu u =πx +φ.函数可以看作函数和的复合函数由复合函数求导法则有().φx πcos πu cos π+=='x 'u 'x u y y ⋅=()()''φx πu sin +⋅=习题答案练习（第18页）''''1.()27,(2)3,(6) 5.12.(1);ln2f x x f fyx=-=-==所以，'(2)2;xy e='4(3)106;y x x=-'(4)3sin 4cos ;y x x =--''1(5)sin;331(6).21x y y x =-=-。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(第1课时)
托克旗高级中学高二年级数学科导学案 文科选修1-1 第三章导数及其应用§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 苏海霞 编写 第20周 第 1页(共 2 页) 第 2页(共 2 页)主动 自信 合作 探究 发展自己 成就未来 安全是幸福家庭的保证，事故是人生悲剧的祸根姓名： 班级： 小组： 小组评价： 教师评价：§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第1 课时 上课时间：【教学目标】1. 熟练的记忆导数的计算公式；学会用导数的计算公式计算的函数的导数.2.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 3理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 【重点难点】1.导数的计算公式，导数的计算公式的应用2.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；3.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 一、知识链接1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数；3.函数1()y f x x==的导数； 4.函数2()y f x x ==的导数二、独立预习1.基本初等函数的导数公式：①='C ②=)'(nx ③=)'(sin x ④=)'(cos x⑤=')(x a ⑥=')(x e ⑦='][log x a ⑧=')(ln x2.导数的运算法则：①()()[]=±'x g x f ②()()[]='x g x f③()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x g x f ④ ()[]='x cf 三、合作交流探究任务一、基本初等函数的导数公式： 根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y =（3）21y x =（4）y =四、探究展示探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'=； 例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.变式：（1）522354y x x x =-+-； （2）3cos 4sin y x x =-.五、反馈总结1、 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2xy e =； （3）32log y x x =+； （4）n xy x e =； （5）31sin x y x-=2、（1）323y x x =-+ （2）sin y x x =⋅； （3）2(251)x y x x e =-+⋅； （4）4xx y =；3. 函数1y x x =+的导数是（ ） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+4. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ） A ．cos 2cos x x - B ．cos 2sin x x + C ．cos 2cos x x + D ．2cos cos x x +5. cos xy x =的导数是（ ）A ．2sin x x-B ．sin x -C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +- 6. 函数2()138f x x =-，且0()4f x '=，则0x =7. 已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．9［小结］ 六、课后反思。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）基本初等函数的导数公式表x y x y xy x y y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5)2()1(125======、求下列函数的导数例 例处的切线方程。
在、求函数2cos 2π==x x y（二）导数的四则运算法则：（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y = （3）sin ln y x x x =⋅⋅；（4）4x x y =； （5）1ln 1ln x y x -=+． （6）2(251)x y x x e =-+⋅；三．课堂练习1、求下列函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 2、已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；3、处的导数。
在求3332=++=x x x y 4、处的切线方程。
，在点求曲线)20(1P e y x += ______________________1216______________)42()04(4522处的切线方程为垂直，则过点的切线与直线上的点，若过点是曲线、的坐标为，则于处的切线恰好平行，若曲线上一点，、，上两点、曲线P x y P x y P P AB P B A x x y +-==-= 7、曲线3()2f x x x =+-在0P 点处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为 ．8、已知抛物线2y x bx c =++上的点（1，2）处的切线与直线2y x =-平行，求b ，c 的值。
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt1 人教课标版
今后我们可 以直接使用下 面的基本初等 函数的求导公 式
1 7 .若 f ( x ) lo g a x , 则 f '( x ) ( a 0 , 且 a 1) ; x ln a 1 可以在理解的基础 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) ; x 上背下来呀！
2
)处的切线的斜率为
___________. 2
复合函数及其求导法则：
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果 通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为 函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为
yf(g (x ))
复合函数的导数：
g (x ))的导数和函数 y f (u) 复合函数 yf( u g(x)的导数间的关系为
5284 2 100 x
' 90 (1)因为 c
5284 52 . 84 ， 所以，纯净度为 100 90
5284 1321 ，所以，纯净度 2 100 98
90﹪时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
' 98 （2）因为 c
为98﹪时，费用的瞬时变化率是1321元/吨.
( 1 ) 求函数的增量 y f ( x x ) f ( x ); (2 ) 求函数的增量与自变量 的增量的比值 : y f(x x ) f(x ) ; x x y f ( 3 ) 求极限，得导函数 y ( x ) lim . x 0 x
1 (3) y ; 2 cos x
(4) y
6x3 x 1 x
2
;
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程. 3 解： y cos x , y sin x , y | sin x . x 2 3
常用函数的导数计算
导函数
f′(x)＝ 0 f′(x)＝ 1 f′(x)＝ 2x f′(x)＝ －x12
1
f′(x)＝ 2 x
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x
计算.
跟踪训练 3 点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y ＝x 的最小距离. 解 根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的 点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1， 即 y xx0 ＝1.∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，得 y0＝1，即 P(0,1).
求 y＝cos x 在 x＝π3处的导数，过程如下：
y′|
x
π 3
＝cosπ3
′＝－sin
π3＝－
3 2.
解 错误.应为 y′＝－sin x，
∴y′| x π ＝－sin 3
π3＝－
3 2.
小结 函数 f(x)在点 x0 处的导数等于 f′(x)在点 x＝x0 处的函数 值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函 数，再将 x0 代入导函数求解，不能先代入后求导.
3．2.1 几个常用函数的导数
3．2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(一)
学习目标
1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y ＝1x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求 简单函数的导数.
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
原创1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数.
1.本课重点是掌握基本初等函数的导数公式及应用. 2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数与导数公式的简单应用.
基本初等函数的导数公式
9
27
此时公切线的斜率为k=2x1=64 .
27
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，2674 ③. …………………………………………………………………12分
1.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=( ) （A）1 （B）3 （C）2 （D）4 【解析】选B.∵y′=nxn-1,∴n×2n-1=12,可得n=3.所以选B.
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_n_x_n_-1_；
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=__c_o_sx_；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=__-_si_n_x_;
（5）若f(x)=ax，则f′(x)=_a_x_ln_a_(a>0)；
…………………………………………………………………4分
②当x=2 时，2x=3x2=4
3
3
.此时C1的切线方程为y-
4=
9
4(x-
3
)，2
3
而C2的切线方程为y- 8 = (4x- ).2显然两者不是同一条
27 3 3
切线，所以x= 2舍去.………………………………………6分
3
(2)当公切线切点不同时①，在曲线C1，C2上分别任取一点A
1 x；-23 1 1
选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1．2 导数的计算1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一), [学生用书P 11])1．问题导航(1)函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2，y ＝x 1的导数分别是什么？能否得出y ＝x n 的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式分别是什么？如何应用这些公式？2．例题导读通过对P 14例1的学习，应注意以下两个问题： (1)用导数公式直接求函数的导数．(2)变化率的实际意义及利用导数知识解决实际问题的优越性．1．几个常用函数的导数(1)若y ＝f (x )＝c ，则f ′(x )＝0． (2)若y ＝f (x )＝x ，则f ′(x )＝1． (3)若y ＝f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ．(4)若y ＝f (x )＝1x ，则f ′(x )＝－1x2＝－x －2．(5)若y ＝f (x )＝x ，则f ′(x ).2．基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝0．(2)若f (x )＝x α(α∈Q *)，则f ′(x )＝αx α－1． (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos_x ． (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin_x ． (5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝a x ln_a ． (6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ．(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a ．(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( )(2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( )(3)若y ＝2x，则y ′＝x ·2x －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．余弦曲线y ＝cos x 在(0，1)处的切线的斜率为( ) A ．1 B ．0 C.π2D ．－1 答案：B3．若y ＝25，则y ′＝________． 答案：04．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α＝________． 答案：41．对常数函数导数的几何意义与物理意义的两点说明(1)常数函数的导数为0，其几何意义为f (x )＝c 在任意点处的切线平行于x 轴或与x 轴重合，其斜率为0.(2)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．2．函数y ＝kx (k 为常数)的导数值k 与该函数增减快慢之间的关系(1)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．(2)函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．利用导数公式求函数的导数[学生用书P 12]求下列函数的导数： (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝()x 35′＝35x －25＝355x2.(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 2－1＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (5)y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝－sin x .用公式求函数导数的方法：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1．(1)已知函数f (x )＝1x3，则f ′(－3)＝( )A ．81B ．243C ．－243D ．－127解析：选D.∵f (x )＝x －3，∴f ′(x )＝－3x －4＝－3x 4，∴f ′(－3)＝－3（－3）4＝－127. (2)已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．解析：∵f (x )＝ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1x，∴f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，∴x 0＝1. 答案：1导数的几何意义(1)求曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程． [解] ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率为e 0＝1， 又∵切线过点(0，1)，∴切线方程为y －1＝x －0， 即x －y ＋1＝0.(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解] 由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， 所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0， k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直， 必有cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．利用导数的几何意义解决曲线切线问题的方法：2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于________．解析：∵y ′＝－12x －32，∴切线的斜率k ＝－12a －32，∴切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12，令y ＝0，得x ＝3a ，∴三角形的面积S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.答案：64导数几何意义的综合应用[学生用书P 12](1)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A.1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1 [解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k ＝n ＋1， ∴在点(1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)，令y ＝0，则x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.[答案] B (2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．[解析] ∵ f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴ f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴ 切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵ 切线过点(2，7)，∴ 7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. [答案] 1利用导数的几何意义求解曲线的切线与坐标轴所围成的三角形的面积问题，切线与数列的交汇问题，公切线问题等，首先要熟记导数公式，对函数能够正确求导，再注意转化思想，数形结合思想及构造法、配方法的运用．3．已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线弧AOB ︵上求一点P ，使△ABP 的面积最大．解：如图所示，|AB |为定值，要使△P AB 面积最大，只要使P 到AB 的距离最大，所以点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点．设P (x ，y )，由图知，点P 在x 轴下方的图象上，所以y ＝－2x .由导函数的定义不难求得y ′＝－1x. 因为k AB ＝－12，所以－1x＝－12，即x ＝2，x ＝4.由y 2＝4x (y <0)，得y ＝－4，所以P (4，－4)．下列结论：①若y ＝3x ，则y ′＝133x ；②若y ＝x 3，则y ′＝3x 2；③若f (x )＝x 2，则f ′(3)＝9.其中正确的序号是________．[解析] y ＝3x ，y ′＝(3x )′＝()x 13′ ＝13x －23＝133x 2. ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，则f ′(3)＝2×3＝6. [答案] ② [错因与防范](1)求导时易出现的错误是解析式化简出错，符号处理不清，理解不到位，从而出错． (2)对用根式形式表示的函数要化商成指数式，能够化商后变为基本初等函数的函数求导问题是易错点．4．求下列函数的导数． (1)y ＝7x 3； (2)y ＝lg x ；(3)y ＝cos t (t 为常数)． 解：(1)∵y ＝7x 3＝x 37，∴y ′＝(7x 3)′＝(x 37)′＝37x －47＝377x 4.(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(cos t )′＝0.1．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是( )A.π3B.π6C.23πD.56π 解析：选A.∵f (x )＝sin x ，∴f ′(x )＝cos x .又∵f ′(α)＝cos α＝12，∴α＝2k π±π3(k ∈Z )．当k ＝0时，α＝π3，故选A.2．(2015·广州高二检测)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为( ) A.13B ．eln 3C ．log 3 eD ．e 解析：选B.设切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝3x ln 3， 所以k ＝3x 0ln 3， 所以y ＝3x 0ln 3·x ，又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上， 所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0，所以x 0＝1ln 3＝log 3 e.所以k ＝eln 3. 3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，且a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________．解析：在点(a k ，a 2k )处的切线方程为：y －a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，∴a k ＋1＝a k2，∵a 1＝16，∴a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：21[A.基础达标]1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1解析：选B.A 、D 显然正确；对于B ，y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x 3，不正确；对于C ，y ′＝(x )′＝12x －12＝12x.正确．2．曲线y ＝12x 2在点⎝⎛⎭⎫1，12处的切线的倾斜角为( ) A ．－π4 B ．1C.π4D.34π 解析：选C.y ′＝x ，∴切线的斜率k ＝tan α＝1，∴α＝π4.3．曲线y ＝x 过点(1，1)的切线方程为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝12x ＋12C ．y ＝－12x ＋32D ．y ＝x解析：选 B.∵y ′＝12x，∴在点(1，1)处的切线的斜率为12，由点斜式得过点(1，1)的切线方程为y ＝12x ＋12.4．下列结论中不正确的是( ) A ．若f (x )＝x 4，则f ′(2)＝32B ．若f (x )＝1x，则f ′(2)＝－22C ．若f (x )＝1x 2·x，则f ′(1)＝－52D ．若f (x )＝x －5，则f ′(－1)＝－5解析：选B.对于A ，∵f ′(x )＝4x 3，∴f ′(2)＝4×23＝32，正确；对于B ，∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32，∴f ′(2)＝－12×2－32＝－12×123＝－142＝－28，不正确；对于C ，∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 52′＝(x －52)′＝－52x －72，∴f ′(1)＝－52，正确；对于D ，∵f ′(x )＝－5x －6，∴f ′(－1)＝－5，正确． 5．曲线f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条解析：选C.f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＝1.解得切点坐标为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39.∴切线有2条． 6．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：法一：∵ y ＝x ＋ln x ，∴ y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴ 曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵ y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴ a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵ y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴ y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：87．质点的运动方程是s ＝1t4(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．则质点在t ＝3s 时的速度是________．解析：∵s ＝t －4，∴s ′＝－4t －5，∴质点在t ＝3 s 时的速度是(－4)×135＝－4243(m/s)．答案：－4243m/s8．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________． 解析：∵f (x )＝a 2(a 为常数)， ∴f ′(x )＝0.又∵g (x )＝ln x (x >0)，∴g ′(x )＝1x，∴2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，即2x －1x＝1，解之得x ＝1. 答案：19．(2015·长沙高二检测)求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．解：因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32，所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3.即y ＝233x －239π＋12.10．(2015·苏州高二检测)设曲线y ＝e x (x ≥0)在点M (t ，e t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S (t )，求S (t )的解析式．解：对y ＝e x 求导可得f ′(x )＝(e x )′＝e x ， 故切线l 在点M (t ，e t )处的斜率为f ′(t )＝e t ， 故切线l 的方程为y －e t ＝e t (x －t )． 即e t x －y ＋e t (1－t )＝0，令y ＝0可得x ＝t －1.令x ＝0可得y ＝e t (1－t )，所以S (t )＝12|(t －1)·e t (1－t )|＝⎪⎪⎪⎪－12（t －1）2e t ＝12(t －1)2e t .(t ≥0) [B.能力提升]1．曲线y ＝x n在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.∵y ′＝n ·x n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3. 2．(2015·北京高二检测)已知曲线y ＝x 3在点(2，8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( )A ．4B ．－4C ．28D ．－28解析：选C.∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2， y ′|x ＝2＝12，∴在点(2，8)处的切线方程为y ＝12x －16， ∴k ＝12，b ＝－16. ∴k －b ＝28. 3．若质点P 的运动方程是s ＝3t 2(s 单位为m ，t 单位为s)，则质点P 在t ＝8时的瞬时速度是________．解析：∵s ′＝(3t 2)′＝(t 23)′＝23t －13，∴当t ＝8时，s ′＝23×8－13＝23×2－1＝13.∴质点P 在t ＝8时的瞬时速度为13m/s.答案：13m/s4．设直线l 1与曲线y ＝x 相切于点P ，直线l 2过点P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于点Q ，又作PK 垂直于x 轴于点K ，则KQ 的长为________．解析：如图所示，设P (x 0，y 0)，∵y ′＝12x ，∴kl 1＝12x 0.∵直线l 1与l 2垂直，则kl 2＝－2x 0，∴直线l 2的方程为y －y 0＝－2x 0(x －x 0)． ∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 上，∴y 0＝x 0.在直线l 2的方程中令y ＝0，则－x 0＝－2x 0(x －x 0)．∴x ＝12＋x 0，即x Q ＝12＋x 0.又x K ＝x 0，∴|KQ |＝x Q －x K ＝12＋x 0－x 0＝12.答案：125．(2015·淮南高二检测)已知 P (－1，1)，Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1，1)，Q (2，4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4， 过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)， 即：2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程：y －14＝x －12，即：4x －4y －1＝0.6.如图，已知曲线f (x )＝2x 2＋a (x ≥0)与曲线g (x )＝x (x ≥0)相切于点P ，且在点P 处有相同的切线l .求点P 的坐标及a 的值．解：设切点P (x 0，y 0)，由直线l 与曲线f (x )相切于点P ，得切线l 的斜率为f ′(x 0)＝4x 0， 由直线l 与曲线g (x )相切于点P ，得切线l 的斜率为g ′(x 0)＝12x 0，由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得4x 0＝12x 0，解得x 0＝14.所以y 0＝x 0＝12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，12. 由点P ⎝⎛⎭⎫14，12在曲线f (x )上，得2×⎝⎛⎭⎫142＋a ＝12，解得a ＝38.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，12，a 的值为38.。
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、常见函数的导数公式：1.常数函数的导数公式：若f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数公式：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数公式：若f(x) = a^x（a为正常数且a≠1），则f'(x) = ln(a)・a^x。
4. 对数函数的导数公式：若f(x) = log_a(x)（a为正常数且a≠1），则f'(x) = 1 / (x • ln(a))。
5.三角函数的导数公式：a) 正弦函数的导数公式：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
b) 余弦函数的导数公式：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
c) 正切函数的导数公式：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
d) 余切函数的导数公式：f(x) = cot(x)，则f'(x) = -csc^2(x)。
二、基本初等函数的导数公式：1.(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（求和法则）2.(a・f)'(x)=a・f'(x)（常数倍法则）3.(f・g)'(x)=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)（乘积法则）4.(f/g)'(x)=(f'(x)・g(x)-f(x)・g'(x))/(g(x))^2（商法则）5.(fⁿ)'(x)=n・f'(x)・f^(n-1)(x)（幂法则）其中，f'表示f的导数，fⁿ表示f的n次幂，f^(n-1)表示f的n-1次导数。
三、导数的运算法则：1.和差法则：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
题型一： 题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y = x − 2 x + 3 1 2 (2) y = − 2 ; x x x (3) y = ; 2 1− x (4) y = tan x;
3 2
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
答案: 答案 (1) y′ = 3x2 − 2;
1 4 + 3; 2 x x 1 + x2 (3) y′ = ; 2 2 (1 − x ) (2) y′ = −
1 (4) y ′ = ; 2 cos x
2
(5) y = (2 x − 3) 1 + x ; 1 (6) y = 4 ; x (7) y = x x ;
(5) y′ =
6 x3 + x 1+ x
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ′ ′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ′ ′ ′ ′ 4 2 ＝5x －9x －10x. 2 2 法一： 解：(2)法一：y′＝(2x ＋3)′(3x－2)＋(2x ＋3)(3x－2)′ 法一 ′ ′ － ＋ － ′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 － ＋ ＝18x2－8x＋9. ＋ (2)法二 ∵ ＝ 法二： 解： 法二： y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， － ＝ － ，
( Cu )′ = C u ′.
u u′v − uv′ 法则3 )′ = ( (v ≠ 0) 2 v v
u(x + ∆x) u(x) − ∆y v(x + ∆x) v(x) = ∆x ∆x u ( x + ∆ x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆ x ) = v ( x + ∆ x )v ( x )∆ x u(x + ∆x) − u(x) v(x + ∆x) − v(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = v ( x + ∆ x )v ( x )
基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则(一)_2022年学习资料
例用导数公式求下列函数的导数-1fx=x-2fx=-3fx=-sin x-4fx=Vx3-5fx=-cos -6fx=3x-7fx=21nx-8fx=1og3x-9fx=2e1-10fx=1gx-2fx=x2-6i到-7fx=l0g1x-朝-4f=2fx=1gx-湖
比比赛赛：-1y=fx=3-求在点M2,3处切线的方程-2y=fx=x,-求在点M2,2处切线的方程-3y fx=x2,-求在点M2,4处切线的方程-4yfx=-X-求在点M1,1/2处切线的方程
2.求函数y=的图象上点2，处的切线方程-X-3曲线y=x2的一条切线方程为6x-y-9=0,-求切点的坐 -4.求曲线y=3上过点1,3的切线方程.-陶
导数的运法则-1、和（差）的导数：[fx±g]=f'x±g'x-2、积的导数：[fx:gx]=f'·8x+ x8'x-推论：[cfx=c·f'-C为常数-f'x8x-fx8'x-8x≠0-[8x]
例题讲解-例题1：求下列函数的导数-1y=2x5-3x2+8-2y=x4+2xx3-2-3y=sinxco x-潮-4y=-2ex+1
练习：求下列函数的导数-1y=3x3-2x2+5-3y=x3x2-4-4y=2x-123x+2e-5y-1 2-2x+1-7y=2*Inx-6y=5*cosx-8y =tanx
作业-1、求下列函数的导数-1y=2x2+1-31nx-2-2y=e*.sinx-3y=-x+210gsx x2+3-x3-coS x-2.课本Ps5A组4,5,6,7
3.2,2基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式：-1、若fx=c,则f'x=0-常函数-2、-若∫x=x”,则f'x=nx”-一幂 数-3、若fx=sinx,则f'x=cosx-三角函数-4-若fx=cosx,则f'x=-sinx-5、若 x=a,则f'x=a.lna-指数函数-6、-若fx=e,则f'x=e-7、若fx=log。,则f'x=lna-对数函数-8、若fx=lnx,则f'x=二-X
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(x 2) (x 1) 2x 3
sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)'
(3) y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x sin cos2 x
2
x
1 cos2
x
sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sin x) cos x (cxo)ssixn
(ax)' ax lna,(ex)' ex
(loga
x)'
1 ,(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函 数 和 （ 差 ） 的 导 数 等 于 它 们 导 数 的 和 （ 差 ） .
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'(g(x)0)
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、知识点归纳：1、几个常用函数的导数公式的解释：（1）函数()y f x c ==的导数0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．(2)函数()y f x x ==的导数1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．(3)函数2()y f x x ==的导数2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．2、常见函数的导数公式：(1) '____C =(C 为常数)；(2)()'________n x =, n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =;(7)(ln )'______x =; (8) (log )'a x =3、可导函数的四则运算法则法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 ()[]_______________(()0)()u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)4、复合函数：（1）定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数 和 的复合函数，记作（2）复合函数的求导法则复合函数(())y f gx =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为 ，即y 对x 的导数等于 的乘积。
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(1) (a ) a ln a(a 0, a 1).
x x
(2) (e ) e .
x x
注意: f (x)=a x 和 f (x)=xa 是两 个不同的函数,例如:
(1)(3 ) 3 ln 3
x
x
(2)(x ) 3 x
3
2
公式六:对数函数的导数
1 (1) (log a x) (a 0, a 1). x ln a 1 (2) (ln x) . x
3.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则（一）
我们今后可以直接使用的基本初等函 数的导数公式：
公式一: C = 0 (C为常数)
公式二:
( x ) x
1
( 是常数)
公式三:
(sin x) cos x
公式四:(cos x) 来自sin x公式五:指数函数的导数
例 4： 求下列函数的导数：
(1) (2) y＝(3x5－ 4x3)(4x5＋ 3x3)； y＝ 3 x4＋ 4 x3. 3
[解析] (2)∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5. 4 3 3 4 3 (3)y′＝(3 x ＋4 x )′ ＝(3x3)′＋(4x2)′
• 1.对基本初等函数的导数公式的理解：
• (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的 形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导 不要求掌握． • (2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别， 这是易错点．
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos (为常数） B （ . cos x )' sin x C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
练习1：求下列函数的导数
（1）y
(3x 2)( x 5) y 9 x 30 x 2
2
'
2
（ 2）
y (5 x 7)(3x 8)
3
y 60 x 120 x 21
2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′ 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′ x g x - f x g′ x 3. = g x 0 ′ 2 g x g x
应用2:求下列函数的导数
1. y 2 x
2
(3)y=(2x2+3)(3x-2)
2. y 3 sin x (4)y=(1+x6)(2+sinx)
法则3:
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log a x)' = x ln10 B.(log a x)' = x x C.(3 )' = 3x D.(3 )' = 3 ln3
x x
法则1:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
简记为：和差的导数等于导数的和差。
应用1: 求下列函数的导数 2 (1)y=x3+sinx y ' 3x cos x (2)y=x4-x2-x+3.
注意：商的导数分子中间是“－”，先子导再母导， 分母平方要记牢。
应用3:求下列函数的导数
sin x cos 2 x sin 2 x 1 y' ( )' 2 2 cos x cos x cos x
(1)y=tanx
x +3 2 x 6x 3 (2)y = x 2 + 3 y ' ( x 2 3) 2
' 3 2
x （ 3） y 2 x 1
（ 4）
1 x y 2 2 ( x 1)
' 2
sin x y x
x cos x sin x y 2 x
'
课堂小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数
经加、减、乘运算得到的简单的函数
均可利用求导法则与导数公式求导， 而不需要回到导数的定义去求此类简 单函数的导数 .
y' 4 x 2 x 1
3
和差导数可推广到任意有限个
法则2:
推论： [cf(x)]′＝cf′(x)
' ' '
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函 数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数． 简记为：前导后不导加上后导前不导。