2013届高考解答题及附加题模拟训练

2013届高考解答题及附加题适应性模拟训练（3）15、如图，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，单位圆与坐标轴交于点(1,0)A -，点(0,1)B -，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ，设PO xPM yPN =+（x 、y R ∈）. （1）用角θ表示点M 、点N 的坐标； （2）求x y +的最小值.（1）设)sin ,(cosθθP ，),,0(t N P 、N 、A 共线，设AP AN λ=,R ∈λ …①，又)0,1(-A ，所以),1(t =，)sin ,1(cos θθ+=，代入①解得θθcos 1sin +=t ，∴)cos 1sin ,0(θθ+N ，同理)0,sin 1cos (θθ+M ；（2）由（1）知)sin ,cos (θθ--=，)sin ,sin 1cos sin ()sin ,cos sin 1cos (θθθθθθθθ-+-=--+=PM ， )cos 1cos sin ,cos ()sin cos 1sin ,cos (θθθθθθθθ+--=-+-=，代入y x +=，得y x )cos (sin 1cos sin cos θθθθθ-++-=-，y x θθθθθcos 1cos sin sin sin +-⋅-=-，整理得θθθsin 1)sin 1(sin +=++⋅y x …②，θθθcos 1cos )cos 1(+=⋅++y x …③，②+③解得)4sin(2111cos sin 111cos sin 1cos sin 2πθθθθθθθ+++=+++=++++=+y x ，由点P 在第一象限得20πθ<<，所以y x +的最小值为2．16、2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在(0,170]，第二类在(170,260]，第三类在(260,)+∞（单位：千瓦时）．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示． ⑴ 求该小区居民用电量的中位数与平均数；⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设X 为获奖户数，求X 的数学期望()E X 与方差()D X .图4MDCBAPON MDCBAP(1) 因为在频率分布直方图上，中位数的两边面积相等，可得中位数为155，平均数为1200.005201400.075201600.020201800.00520⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2000.003202200.00220156.8+⨯⨯+⨯⨯=；(2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为11822101645C C C =； (3) 由题可知，该小区内第一类用电户占0.8，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数X 的数学期望100.88EX np ==⨯=，方差(1)100.80.2 1.6DX np p =-=⨯⨯=17、如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60BCD ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的中点.（1）求证:PA //平面BMD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若2AB PD ==，求点A 到平面BMD 的距离.（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）(1)证明:连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点 ∵M 为PC 的中点，∴MO AP //. ∵PA ⊄平面BMD ,MO ⊂平面BMD ,∴PA //平面BMD .(2)∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD .∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =，∴222260BD AB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+-22AB AD =-. ∴22AB AD =2BD +.∴AD BD ⊥.∵PD BD D = ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ， ∴AD ⊥平面PBD . ∵PB ⊂平面PBD ，∴AD PB ⊥.（3）取CD 的中点N ，连接MN ，则MN PD //且12MN PD =.∵PD ⊥平面ABCD ，2PD =，∴MN ⊥平面ABCD ，1MN =.在Rt PCD ∆中，2CD AB PD ===，1122DM PC ===∵BC AD //,AD PB ⊥，∴BC PB ⊥.在Rt PBC ∆中，12BM PC ==BMD ∆中，BM DM =，O 为BD 的中点,∴MO BD ⊥.Rt ABD ∆中，602BD AB sin ︒=⋅=⨯=在Rt MOB ∆中，MO ==∴12ΔABD S AD BD =⨯⋅=，12ΔMBD S BD MO =⨯⋅=. 设点A 到平面BMD 的距离为h ，∵M ABD A MBD V V --=，∴13MN ⋅⋅13ΔABD S h =⋅⋅ΔMBD S . 即13⨯1⨯13h =⨯⨯，解得5h =. ∴点A 到平面BMD的距离为5. 18、已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图7，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点,M N 是直线l 上的两点，且l M F ⊥1，l N F ⊥2． 求四边形12F MNF 面积S 的最大值．（本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想．）解：（1）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=，1122PF FF PF 、、构成等差数列，∴112222a PF PF F F =+== 2a =．又1c = ，23b ∴=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=． (2) 将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得01248)34(222=-+++m kmx x k ．由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知， 2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，化简得2243m k =+，设11d F M ==22d F M ==（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，12d d MN k-∴=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+m m m m 1814322+=+-=， 2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，3343131=+>+m m ，32<S ．当0=k 时，四边形12F MNF是矩形，S =以四边形12F MNF 面积S的最大值为（法二）222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+====++．MN ∴===12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=，22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S 12)211(41622≤-+-=k ．当且仅当0k =时，212,S S ==max S =12F MNF 的面积S的最大值为19、已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立； （Ⅲ）已知b a <<0，求证：222ln ln b a aa b a b +>--.（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ，∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='，12424)(22)1(-===-+=-'b b a b a f ，解得2,2-==b a .∴122)(2+-=x x x f .（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立，化简22ln )1(2-≥+x x x ，即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立，设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ，∵1≥x ，∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ，∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ，∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立；（Ⅲ）∵b a <<0，∴1b a >，由（Ⅱ）知有222ln ()1b ba a a->+，整理得222ln ln b a a a b a b +>--，∴当ba <<0时，222ln ln b a aa b a b +>--.20、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式；（3）求n k k k +++ 21的值． （1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ，又21=a 382=⇒a ； （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n n n 32)1(1n a a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ， 所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ． 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅= 即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k ，因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q 最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．（3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ， N t t ∈≥,2，所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k n n n附加题21、如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线ADE 、CFD ，CGE 都是O 的割线，已知AC AB =.(1)求证：AC FG ；的值.(Ⅰ)因为AB 为切线，AE 为割线，2AD AE AB ⋅=，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=，所以AD ACAC AE=，又因为 EAC DAC ∠=∠，所以ADC ∆∽ACE ∆，所以ADC ∠=ACE ∠，又因为ADC ∠=EGF ∠， 所以EGF ACE ∠=∠，所以AC FG //；(Ⅱ)由题意可得：G 、E 、D 、F 四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.CGF ∆∴∽ CDE ∆.CG CD GF DE =∴，又 1CG =、4CD =，4DEFG=． 22、在极坐标系Ox 中，O 为极点，点)2,2(πA 、)4,22(πB ．（1）求经过O 、A 、B 的圆C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=θθsin 1cos 1a y a x （θ是参数，a 为半径），若圆C 与圆D 相切，求半径a 的值．23、选聘高校毕业生到村任职，是党中央作出的一项重大决策，这对培养社会主义新农村建设带头人、引导高校毕业生面向基层就业创业，具有重大意义．为了响应国家号召，某大学决定从符合条件的6名（其中男生4人，女生2人）报名大学生中选择3人，到某村参加村委会主任应聘考核． （Ⅰ）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．解（Ⅰ）ξ的所有可能取值为0、1、2，依题意得3436C 1(0)C 5P ξ===，214236C C 3(1)C 5P ξ===，124236C C 1(2)C 5P ξ===．∴ξ的分布列为∴0121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==，∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25. 24、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A -，P 是动点，且POA ∆的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且()0PQ OA λλ=>，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA ∆和PAM ∆的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（1）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PAk k k +=得1111y y x x -+=-+，整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-）．（2）设221122(,),(,),P x x Q x x 由()0PQ OA λλ=> 可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x =--，直线OP 方程为：1y x x =……①；直线QA 的斜率为：2111(1)1211x x x ---=----+，∴直线QA 方程为：11(2)(1)y x x -=--+， 即11(2)1y x x x =-+--…… ②，联立①②得12x =-，∴点M 的横坐标为 定值12-．由2PQA PAM S S ∆∆=，得到2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM =，得11x =，∴P 的坐标为(1,1)．∴存在点P 满足2PQA PSM S S ∆∆=，P 的坐标为(1,1)．。