高中数学 第三章 基本不等式课件 北师大版必修5
合集下载
高中数学必修5《不等式基本性质》PPT
不等式的性质：
性质 1 a b b a
（对称性）
证明：(1) a b a b 0
由正数的相反数是负数 ，得
(a b) 0， 即 b a 0，
ba (2) b a b a 0
由负数的相反数是正数 ，得
(b a) 0， 即 a b 0，
ab
故 a b b a
当 c 0 时，(a b)c 0，即 ac bc .
性质5：a b且c d a c b d （同向可加性）
证明： a b，
acbc.
(1)
cd，
bcbd .
(2)
由 (1)、(2) 得 a c b d
说明： 此推论可以推广到有限个同向不等式两边分别相加 .
即说，两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式 与原不等式同向。
性质 3 a b a c b c
证明： (a c) (b c) a b 而 ab ab0
即 (a c) (b c) 0
（同加性）
acbc
想一想： a b a c b c ?
根据性质1，得 a b a c b c
说明： 由性质3可以得出：
abc acb.
性质 2 a b且b c a c 或 c b且b a c a
证明： a b，b c ，
a b 0，b c 0 .
由两个正数的和仍是正 数，得
（传递性）
(a b) (b c) 0，
即 a c 0，
ac.
根据性质1，性质2还可以表示为：
c b且b a c a .
即说，不等式中任何一项改变符号后，
可以把它从一边移到另一边。
性质4 a b且c 0 ac bc a b且c 0 ac bc
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对 其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等 式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个 系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不 等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根 的大小进行分类讨论．
集
(x1，x2) ∅
∅
1．一元二次不等式的求解步骤 (1)①通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项 系数大于零；②计算出相应一元二次方程的判别式；③求出相应 一元二次方程的根(或判断相应方程没有实根)；④根据③画出相 应二次函数的图像写出解集． (2)会用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的求解的算法过程．
4．若1ax2＋bx＋a>0 的解集是{x|2<x<8}，则 a＝ ________________________________________________________ ________________.
b＝________.
解析： 由题意知 a<0，且方程1ax2＋bx＋a＝0 的两根分别为
[思路点拨] 根据已知解集和一元二次不等式解的结构，逆 向推出 a、b、c 应满足的关系，进而求解不等式．一元二次不等 式解集的两个端点值是一元二次方程的两根．
解析： ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}． ∴a<0，且－3,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
由韦达定理得－－33×＋44＝＝ac－，ba，
答案： ＞ 两 －5,1 (－∞，－5)∪(1，＋∞) (－5,1)
4．解下列不等式： (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
高中数学第三章不等式3.3.2基本不等式与最大小值课件北师大版必修5
【思路点拨】 利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三 相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解 之．
【解析】 (1)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
2．基本不等式求最值的条件 (1)x，y 必须是正数． (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足．
|自我尝试|
1．已知 x＋y＝1 且 x>0，y>0，则1x＋1y的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．6
【课标要求】 1.能应用基本不等式解决函数及实际应用问题中的最大(小)值 问题. 2.培养学生数学应用意识和数学建模思想．
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．用基本不等式求最值的结论 (1)设 x，y 为正实数，若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当 x＝y＝2s时， 积 xy 有最大值为s42. (2)设 x，y 为正实数，若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y＝ p时， 和 x＋y 有最小值为 2 p.
xy 的最大值是( )
1
1
A.4
B.8
C．4 D．.8
解析：因为 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，所以 xy＝12×2xy≤122x＋t;0，即 x＝14，y＝12时取等号，此时，xy 的最
大值是18.故选 B.
答案：B
3．已知 x>1，y>1 且 xy＝16，则 log2x·log2y( ) A．有最大值 2 B．等于 4 C．有最小值 3 D．有最大值 4
3.1《基本不等式》课件(北师大必修5)(张伟)
2 2
A 基本不等式 重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a b ≥2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
a2 b2 ab 即 2
文字叙述为: 两实数的平方和不小于它们积的2倍.
A 基本不等式
讲授新课
a b 2ab
2 2
即
a b ab 2
③、若x∈R，则 ④ 、若 x 0 ,则
其中正确的序号是
4 4 x 2 x 4 x x
1 1 x 2 x 2 x x
③
。
应用解题，巩固理解
• 例2. 设a 0, b 0, 证明不等式：
ab
2
2 1 1 a b
2 ab 证明： ab ab 1 1 （方法1） a b （作差法） a b ab(a b 2 ab ) 0 ab
A 基本不等式
课堂小结，强化认知 2 2 1. 两个不等式 a b 2ab ab ≥ ab a 0, b 0
2
a,b∈R
2. 数学思想：数形结合，转化与化归思想
作业
1. 上交：（1）课本P94 A组 3 （2）已知x、y均为正实数 求证： 2 2 3
( x y)(x y )(x y ) 8x y
a b 2ab
2 2
A 基本不等式
师生互动，总结归纳
探究4：你能给出不等式 a 2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a b 2ab (a b)
2 2
2
当a b时
当a b时
2Leabharlann (a b) 02
2
(a b) 0
A 基本不等式 重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a b ≥2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
a2 b2 ab 即 2
文字叙述为: 两实数的平方和不小于它们积的2倍.
A 基本不等式
讲授新课
a b 2ab
2 2
即
a b ab 2
③、若x∈R，则 ④ 、若 x 0 ,则
其中正确的序号是
4 4 x 2 x 4 x x
1 1 x 2 x 2 x x
③
。
应用解题，巩固理解
• 例2. 设a 0, b 0, 证明不等式：
ab
2
2 1 1 a b
2 ab 证明： ab ab 1 1 （方法1） a b （作差法） a b ab(a b 2 ab ) 0 ab
A 基本不等式
课堂小结，强化认知 2 2 1. 两个不等式 a b 2ab ab ≥ ab a 0, b 0
2
a,b∈R
2. 数学思想：数形结合，转化与化归思想
作业
1. 上交：（1）课本P94 A组 3 （2）已知x、y均为正实数 求证： 2 2 3
( x y)(x y )(x y ) 8x y
a b 2ab
2 2
A 基本不等式
师生互动，总结归纳
探究4：你能给出不等式 a 2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a b 2ab (a b)
2 2
2
当a b时
当a b时
2Leabharlann (a b) 02
2
(a b) 0
3.3.1《基本不等式》课件(北师大版必修5)
• [题后感悟] 多次使用a＋b≥2时，要注意等
号能否成立，累加法是不等式性质的应用， 也是一种常用方法，对不能直接使用基本 不等式的证明需重新组合，形成基本不等 式模型，再使用．
2.已知 a，b，c 为不全相等的正实数， 求证：a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca.
证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b≥2 ab，b＋c≥2 bc，c＋a≥2 ac， ∴2(a＋b＋c)≥2 ab＋2 bc＋2 ca， 即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ac， 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，等号不成立． ∴a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ac.
已知 a，b，c∈R＋且 a＋b＋c＝1.
1 1 1 求证：a－1b－1c－1≥8.
• [策略点睛]
[规范作答] 证法一：∵a，b，c∈R ，a＋b＋c＝1， 1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a . 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c－1≥ c . 上述三个不等式两边均为正，两边分别相乘，
1 1 1 3.已知 a， c∈R ， a＋b＋c＝1， b， 且 求证： ＋b＋c≥9. a
＋
证明： 证法一：∵a，b，c 为正实数． 1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ∴a＋b＋c＝ a ＋ b ＋ c b c a c a b ＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9.
1 1 1 bc 2 得a－1b－1c－1≥2· a ·
＋
ac 2 ab b · c ＝8，
1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3 ∴原不等式成立．
a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 证法二：左边＝ －1 －1 －1 a b c b c a c a b ＝a＋ab＋bc＋c
高中数学 第三章 基本不等式课件 北师大版必修5(1)
D
A 因为 所以
O
C
B
当且仅当C与O重合，即a=b时，等号成立
例１
设ａ，ｂ均为正数，
证明
不等式
证明 因为a,b均为正数，由基本不等式，
可知
也即
当且仅当a=b时，等号成立
下面给出这个不等式的几何解释．
C
a+b 2 Ｅ ab
A
aO
D
b
B
对基本不等式，用语言文字可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
从几何的角度可叙述为：
圆的半径不小于弦长的一半。 从数列的角度可叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
课堂作业：
课本90页练习题
想一想？
由基本不等式，例1和练习题你能给出这几式
子的大小关系吗？
小结：
1.两个重要的不等式
2.基本不等式的联系和体会 3.对基本不等式和例1及练习题的总结
当且仅当a=b时，等号成立
课后作业： 1.课本94页A组3题和B组1题 2.预习3.2节
国际数学大会（ICM2002）的会标
正方形ABCD的面积≥4个直角三角形面积之和
A
D
E F
G H
x
B
y C
如果令x=
, y=
，
则就称为
如果a,b都是非负数，那么
，
当且仅当a=b时，等号成立本不等式
（均值不等式）
称为a,b的算术平均数 称为a,b的几何平均数
令AC= a , CB= b
高中数学 第三章 不等式 3.3.1 基本不等式课件 北师大版必修5
§3 基本不等式
3.1 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导方法. 2.理解基本不等式的几何意义及其等号 成立的条件. 3.能利用基本不等式证明不等式.
思维脉络
基本不等式 (1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号 成立.我们称上述不等式为基本不等式,其中������+2������称为 a,b 的算术平均 数, ������������称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义:
lg������·lg������;
(4)若
a,b∈(0,+∞),则1������
+
1 ������
>
2������������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)正确.在基本不等式������+2������ ≥ ������������中,将 a,b 分别用 a4,b4 代换, 且 a4≥0,b4≥0,
解析:①③错,都忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一
条件;
②正确,若 x<0,则 x+4������=- (-������) +
-
4 ������
≤-2
(-������)·
-
4 ������
=-4,当且仅当
-x=-4������,即 x=-2 时,等号成立;
④错,当 ������2 + 2 = ������21+2时,x2+2=1,x2=-1(不成立).故正确的是②.
3.1 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导方法. 2.理解基本不等式的几何意义及其等号 成立的条件. 3.能利用基本不等式证明不等式.
思维脉络
基本不等式 (1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号 成立.我们称上述不等式为基本不等式,其中������+2������称为 a,b 的算术平均 数, ������������称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义:
lg������·lg������;
(4)若
a,b∈(0,+∞),则1������
+
1 ������
>
2������������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)正确.在基本不等式������+2������ ≥ ������������中,将 a,b 分别用 a4,b4 代换, 且 a4≥0,b4≥0,
解析:①③错,都忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一
条件;
②正确,若 x<0,则 x+4������=- (-������) +
-
4 ������
≤-2
(-������)·
-
4 ������
=-4,当且仅当
-x=-4������,即 x=-2 时,等号成立;
④错,当 ������2 + 2 = ������21+2时,x2+2=1,x2=-1(不成立).故正确的是②.
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 4 简单线性规划 4.2简单线性规划》公开课课件_17
复习回顾（二）：
求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的一般步骤：
(1)画：在平面直角坐标系中作出可行域； (2)移：作出直线l0:ax+by+c=0，确定l0的平移方向,依可行域
判断取得的最优解的点；
(3)求：解方程求得最优解，从而求出目标函数的最大值或最
小值。 注：设目标函数为z=ax+by+c,当b>0时,把直线l0:ax+by+c=0向 上平移时,所对应的z随之增大;把直线l0向下平移时,所对应的 z随之减小.
的解,为(2,1)
所以, zmin 3 (2) 3 9.
zmax 3 2 1 5.
例8 求z=4a-2b在约束条件
1 a b 2, 2 a b 4
下的最小值和最大值 解 作出可行域
b a+b=4
a-b=-1
a+b=2
A A
a-b=2
C
O
2、求z=3x-y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
2x+3y 24 x-y 7
y 6 x 0 y 0
Y
8
x-y=7
6
C
y=6
D
B
O
A7
12
X
3x-y=0-7
2x+3y=24
l1
l0:3x+y=0
1、解线性规划问题的步骤.
2、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取 得，也可能在边界处取得.
推进新课：
例7 在约束条件
x 2 y 4, x y 1, x 2 0
下,求目标函数z=3x-y的最小值和最大值 分析：问题转化为当点(x,y)在公共的平面区域中时,求 z=3x-y的最大值和最小值.
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
2
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
《基本不等式 》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】
OcB
随堂练习
结论：（1） 2 11 ab
ab a b 2
a2 b2 2
2 ab (a b)2
2
3 ab a2 b2
2
随堂练习
例 2 已知 x，y 都是正数，求证：
(1) y x 2 xy
(2) (x＋y)(x2＋y2 )(x3＋y3 ) 8x3 y3
证明：(1)∵x，y 都是正数，
CD AB交圆 O 上半圆于点 D ，过点 C 作
A
CE OD 交 OD 于点 E
在 RtOCD 中，由射影定理知 DC2 DE OD
即： DE DC 2 ab 2 OD a b 1 1 2 ab
由于 DC DE 得 ab 2 ，当且仅当 a b 时，等号成立 11 ab
D
E
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
基本不等式
新课学习
1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
新课学习
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，比较 4 个直角三角形的 面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
新课学习
不等式： a2 b2 2ab ,当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形 EFGH 缩为一 个点时，有 a2 b2 =2ab
新课学习
（2）总结结论：一般的，如 a,b R,那么a2 b2 2ab当且仅当a b时“=”成立
（3）推理证明：作差法。
新课学习
重要不等式：如果 a、b∈R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a＝b 时取“＝”号）
∴ x 0, y 0. y x 2 y x 2 ，即 y x 2
随堂练习
结论：（1） 2 11 ab
ab a b 2
a2 b2 2
2 ab (a b)2
2
3 ab a2 b2
2
随堂练习
例 2 已知 x，y 都是正数，求证：
(1) y x 2 xy
(2) (x＋y)(x2＋y2 )(x3＋y3 ) 8x3 y3
证明：(1)∵x，y 都是正数，
CD AB交圆 O 上半圆于点 D ，过点 C 作
A
CE OD 交 OD 于点 E
在 RtOCD 中，由射影定理知 DC2 DE OD
即： DE DC 2 ab 2 OD a b 1 1 2 ab
由于 DC DE 得 ab 2 ，当且仅当 a b 时，等号成立 11 ab
D
E
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
基本不等式
新课学习
1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
新课学习
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，比较 4 个直角三角形的 面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
新课学习
不等式： a2 b2 2ab ,当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形 EFGH 缩为一 个点时，有 a2 b2 =2ab
新课学习
（2）总结结论：一般的，如 a,b R,那么a2 b2 2ab当且仅当a b时“=”成立
（3）推理证明：作差法。
新课学习
重要不等式：如果 a、b∈R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a＝b 时取“＝”号）
∴ x 0, y 0. y x 2 y x 2 ，即 y x 2
北师大版高中数学必修五课件第三章《不等式》含参数的不等式恒成立问题的解法
练习1:
对于一切|p|≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p 恒成立，则实数x的取值范围是：——x<—-—1—或——x—>—3—。
7
例取2值、范①围若不是≤等—a1式—1＜6—x12—<l—o—g—ax—对。x（0,）12恒成立，则实数a的 ②若不等式x2-kx+2>0,对x[-3,3]恒成立，则实数k
解:分离参数得:a≥
x 2 xy xy
1 2
1
令（t>0xy） t
,则a≥（t>011）恒2t 2t成立
y x y x
恒成立
又令1+2t=m（m>1），则
f(m)=
1
m (m21)2
m2
4m 2m
5
(m
4 m5 )
2
4 2 52
5 1 2
(当且仅当m=5时等号成立)
高中数学课件
灿若寒星整理制作
北师大版高中数学必修5第三章《不 等式》
2
‹#›
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 ______C__>_0________Δ_=_b_2_-4_。ac<0
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 _____C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c。<0
15
三、课时小结：
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
对于一切|p|≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p 恒成立，则实数x的取值范围是：——x<—-—1—或——x—>—3—。
7
例取2值、范①围若不是≤等—a1式—1＜6—x12—<l—o—g—ax—对。x（0,）12恒成立，则实数a的 ②若不等式x2-kx+2>0,对x[-3,3]恒成立，则实数k
解:分离参数得:a≥
x 2 xy xy
1 2
1
令（t>0xy） t
,则a≥（t>011）恒2t 2t成立
y x y x
恒成立
又令1+2t=m（m>1），则
f(m)=
1
m (m21)2
m2
4m 2m
5
(m
4 m5 )
2
4 2 52
5 1 2
(当且仅当m=5时等号成立)
高中数学课件
灿若寒星整理制作
北师大版高中数学必修5第三章《不 等式》
2
‹#›
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 ______C__>_0________Δ_=_b_2_-4_。ac<0
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 _____C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c。<0
15
三、课时小结：
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5
第二十一页，共38页。
【解】 设每件提高x元(0<x<10)，即每件获得利润(2＋x)元，则每天可销 售(100－10x)件，每天获总利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋ 80x＋200.
∵0<x<10，∴当x＝4时，y取得最大值360元， ∴当售价定为14元时，每天所获得利润最大，为360元． 要使每天所获得的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300， 即x2－8x＋10<0，解得4－ 6<x<4＋ 6. 故每件定价在(14－ 6)元到(14＋ 6)元之间时，能确保每天的利润在300元 以上．
第十九页，共38页。
1．根据题意列出不等式是解题的关键，解完不等式后， 要将结论回归 到实际问题中．
2．解不等式应用题，一般可按以下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回扣实际问题．
第二十页，共38页。
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n)
n)
一
2.2 一元二次不等式的应用
三
阶
段 (j iē d u à
学 业 分 层 测 评
n)
二
第一页，共38页。
1．会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点) 2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)
第二页，共38页。
[基础·初探]
第七页，共38页。
(1)设f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则f(x)的图像与x轴交点的个数为________． (2)(x＋1)(x－2)(x－3)＞0的解集为________．
【解】 设每件提高x元(0<x<10)，即每件获得利润(2＋x)元，则每天可销 售(100－10x)件，每天获总利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋ 80x＋200.
∵0<x<10，∴当x＝4时，y取得最大值360元， ∴当售价定为14元时，每天所获得利润最大，为360元． 要使每天所获得的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300， 即x2－8x＋10<0，解得4－ 6<x<4＋ 6. 故每件定价在(14－ 6)元到(14＋ 6)元之间时，能确保每天的利润在300元 以上．
第十九页，共38页。
1．根据题意列出不等式是解题的关键，解完不等式后， 要将结论回归 到实际问题中．
2．解不等式应用题，一般可按以下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回扣实际问题．
第二十页，共38页。
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n)
n)
一
2.2 一元二次不等式的应用
三
阶
段 (j iē d u à
学 业 分 层 测 评
n)
二
第一页，共38页。
1．会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点) 2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)
第二页，共38页。
[基础·初探]
第七页，共38页。
(1)设f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则f(x)的图像与x轴交点的个数为________． (2)(x＋1)(x－2)(x－3)＞0的解集为________．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当且仅当a=b时，等号成立
课后作业： 1.课本94页A组3题和B组1题 2.预习3.2节
国际数学大会（ICM2002）的会标
正方形ABCD的面积≥4个直角三角形面积之和
A
D
E F
G H
x
B
y C
如果令x=
, y=
，
则就称为
如果a,b都是非负数，那么
，
当且仅当a=b时，等号成立。
我们把
称为基本
不等式
基本不等式
（均值不等式）
称为a,b的算术平均数 称为a,b的几何平均数
令AC= a , CB= b
D
A 因为 所以OC源自B当且仅当C与O重合，即a=b时，等号成立
例１
设ａ，ｂ均为正数，
证明
不等式
证明 因为a,b均为正数，由基本不等式，
可知
也即
当且仅当a=b时，等号成立
下面给出这个不等式的几何解释．
C
a+b 2 Ｅ ab
A
aO
D
b
B
对基本不等式，用语言文字可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
从几何的角度可叙述为：
圆的半径不小于弦长的一半。 从数列的角度可叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
课堂作业：
课本90页练习题
想一想？
由基本不等式，例1和练习题你能给出这几式
子的大小关系吗？
小结：
1.两个重要的不等式
2.基本不等式的联系和体会 3.对基本不等式和例1及练习题的总结