三角形中的边角关系

三角形中的边角关系知识点梳理

一、边

1、基本概念（三角形、边、顶点的定义；三角形的符号表示）

2、按边对三角形的分类：≠

⎧

⎪

⎨⎧

⎨

⎪⎩⎩

不等边三角形

三角形腰底

等腰三角形

等边三角形

☆3、三边关系：

（1）任意两边之和大于第三边（2）任意两边之差小于第三边

验证：两条较短边之和与第三边的关系

二、角

1、基本概念（角、外角）

2、按角对三角形的分类：

⎧⎧

⎪⎨

⎩

⎨

⎪⎩

锐角三角形

斜三角形

三角形钝角三角形

直角三角形

3、三角形的角和

（1）三角形三个角和等于180°；（2)直角三角形的两个锐角互余；

（3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角。

三、线

1、中线

(1) 定义（2）重心（3）中线是线段（4）表示方法

2、高线

（1）定义（2）垂心(3）高是线段，垂线是直线（4）表示方法

（5）钝角三角形高的画法

3、角平分线

（1）定义(2)外心（3）画法（4）表示方法

四、方法技能

归纳法在规律探索中的应用。

基础练习

第1题-（1）第1题-（2）第1题-（2）

1、（1）以AB为边的三角形有______________；含∠ACB的三角形有；在△BOC中，OC的对角是___________；∠OCB的对边是___________.

（2）图（1）中三角形的个数是____________;★图（2）中三角形的个数是____________。

2、三角形按角分类可以分为（）

A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；

C ．直角三角形、等边直角三角形；

D ．以上答案都不正确

3、一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是___________________________

4、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值围是_________________________

5、有3cm,6cm,8cm,9cm 长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成_____个三角形

6、已知,,a b c 是ABC 的三条边，且()()0a b c a b ++-=，则ABC 是__________三角形

7、下列说确的是_____________________

（1）等边三角形是等腰三角形； （2）三角形的两边之差大于第三边；

（3）有两边相等的三角形一定是等腰三角形； （4）一个钝角三角形一定不是等腰三角形。

8、若一个三角形的三个角之比为2:3:4，那么这个三角形是____________三角形。 9、已知△ABC 的面积是182

cm ,AD 是△ABC 的中线，则△ADC 的面积是___________

（第10题） （第11题） （第12题）

10、作出图中三角形的所有的高。

11、如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 比△ACD 的周长大6cm ，则AB 与AC 的差为________cm. 12、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，GC ⊥BC ，CF ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、C 、F 、E ，则:

（1）在△ABC 中BC 边上的高是 ，AB 边上的高是 ;AC 边上的高是 ； （2）CF 还是哪些三角形的高？

提升练习

专题训练一 三角形的三边关系

1、若,,a b c 是ABC 的三边长，请化简a b c b c a c a b --+--+--

2、设三角形的三条边长为整数,c a b ，

，且a b c ≤≤，当4b =，满足条件的三角形共有多少个？其中等腰三角形有多少个？等边三角形有多少个？

3、有A、B、C、D4个村庄位置如图所示，现在要建一个供水站H，试问H建在何处，才能使得它到4

个村庄的距离之和HA+HB+HC+HD最小，结合简图简要说明理由。

专题训练二三角形的角和

第1题第2题第3题

1、如图，已知动点P在射线ON向右移动，那么

（1）△AOP可能是三角形（按角分类的三角形类型）；

（2）∠AON=30°，当∠A=______时，△AOP为直角三角形；

（3）当∠A满足_____________时，△AOP为钝角三角形．

2、在折纸活动中，小明制作了一△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上的点，将△ABC沿着DE折叠

压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=

3、如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向折叠之后（3个顶点不重合），那么图中

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是

专题训练三中线与周长和面积

第1题第3题第4题

1、如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是________________

2、在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各

边长分别为多少？

3、如图，在△ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD上的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEC的值为_________

4、如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为18cm2，则△BEF的面积为_____________

探究练习

三角形三边之间的不等关系

图1 图2 图3

1、如图1，D为△ABC的边AC上任意一点，连接BD，E为BD上的任意一点，连接CE

（1）用不等号填空

AB+AC_____________DB+DC DB+DC_____________EB+EC

2、如图2所示，P是三角形部的任意一点，探索AB+AC与PB+PC的大小

3、如图3所示，M, N是△ABC任意两点，试探索AB+AC与BM+MN+NC的大小关系，并写出探索过程。

、

探究三、与角平分线相关的探究题

1、如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O、

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=_________________

（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=________________

（3）若∠A=76°，则∠BOC=____________

（4）若∠BOC=120°，则∠A=______________

（5）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？