高等数学上学期期末考试题和答案解析四份
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试之巴公井开创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不成导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点;(D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题(本大题10分)11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且)(0=⎰πx d x f ,cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 11.解:1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有标准答案)详解
大一上学期高数期末考试、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1 设 f ( X )cos x (x sin x ),则在 x 0 处有( (A) f(0)2(B) f (0)1 (C) f (0)° c 设(x) 1 x , (x) 3 33 x » 则当 x1 时(2. 1X(A)g 与M是同阶无穷小,但不是等价无穷小;是等价无穷小;(C)(X )是比(x)高阶的无穷小;(D)无穷小・(A) 函数F (x )必在X 0处取得极大值; (B) 函数F (x)必在x 0处取得极小值;(C) 函数F(x)在xo 处没有极值,但点(o,F (o ))为曲线yF(x)的拐点;(D)函数F”)在xO 处没有极值,点(:F (o ))也干是曲线YF(x)的拐点。
4设f (x)是连续函数,且 "X )22XX、僅產题(本夫龊右4小题'28. 斥曰二 ' 解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)exy sin(xy)19.设函数y y (x)由方程确定,求y (x)以及y (0). 求I X10.x(心3•若Ff(x)(X) 0 (2t x)f(t )dt ,其中f (x)在区间上(")二阶可导且)・(D) MX)不可导.)(B) (X)与(X)(X )是比(x)高阶的2of(t)dt,则 f(x)((D)®4分,共16分)5.lim (1 3x)办x0\/6.已知沪空是f(X)的一个原函数XI r COSX则7.limn —(cos 2— n ncos3 ) n2x arcsin x i dxx 21 V1A2xy四、解答题(本大题10分)14.已知上半平面内一曲线yy (x )(xo ),过点®),且曲线上任一点M (Xo,yo )处切线斜率 数值上等于此曲线与X 轴、y 轴、直线X X 。
所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y"x 的切线,该切线与曲线yin X 及X 轴围成平面图形D.(1 )求D 的面积A ;⑵求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数“)在“上连续且单调递减,证明对任意的q 【o, J ,q1f (x ) d x q f (x )dx 0 0f ( x ) d x 0 f (x )cos x dx 017. 设函数”x )在0,上连续,且。
高等数学上期末试卷(含答案)
一. 选择题:(每小题3分,共15分)1. 若当0x →时,arctan x x -与nax 是等价无穷小,则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数,且()f x 为奇函数,()g x 为偶函数,则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二. 填空题:(每小题3分,共15分)1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续,则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3.设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三.解下列各题:(每小题10分,共40分)1.求下列极限(1)22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解:原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 (2)()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解:原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解:s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解:1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解:2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四.解下列各题:(每小题10分,共30分)1. 设()f x 在[,]a b 上连续,且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证: (1)[,],()2;x a b F x '∀∈≥(2)()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明:(1)1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 (2)()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理,()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增,从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S(1)确定a 的值,使12S S S =+取得最小值,并求此最小值; (2)求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解:22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微,且(0)(1)0,f f ==证明:存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明:令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微, ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微,由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()(),F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
大一上学期高数期末考试试题(五套)详解答案
2010级高等数学(上)A 解答一、填空题:(每题3分,共18分)(请将正确答案填入下表,否则不给分)1.已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ,则常数b a ,的值分别是(空1)。
解:0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x111lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或:01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。
或:⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。
2.函数xx x x x f 323)(23---=的第一类间断点是(空2)。
解:f(x)在x=3,0,-1处无定义,是间断点。
121)3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim)x (f lim 3x 233x 3x =-+-=---=→→→,x=3是第一类间断点。
∞=---=-→-→x3x 2x 3x lim)x (f lim 231x 1xx=-1是第二类间断点。
∞=---=→→x3x 2x 3x lim)x (f lim 230x 0xx=0是第二类间断点。
3.设函数)(x f 可导,)(1)(2x f x g +=,则)('x g =(空3)。
大学高数期末考试题与答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案一.计算题(本题满分 35 分,共有 5 道小题,每道小题 7 分),1.求极限lim1 cos x x2 x.3 x 0 si n x解:1 cosx x x x2 1 1 c o xs 1cosx x 2x21 2lim lim lim si n 3 x x 3 x 3 x 0 x 0 x 0x ln 1 cosx x ln 1 c oxs 1 cosx ln 1 cosxe 2 1 e 2 1 xln 2 2 lim lim limlimx 3 1 cosx x 3 x 2x 0 x 0 x 0 x 0xln 2l i m s inx 1 .x 0 1 c o sx 2x 4与 x 2 3x2.设 x 0 时,fx 是等价无穷小, f t dt 与 Ax k等价无穷小,求常数 k 与 A .2 0 解:3 x3 x f t dt由于当 x 0 时, f t dt 与 Ax k等价无穷小,所以 lim 0 k 1 .而0 x 0 Ax3 x21 x 31f t dt f 3 x 2 23 3 x 2f 3 x 2 3 3 x 2x 3 x 31lim 0 lim li m li mlimAx kxx 0 Akx k 1 x 0 2Akx k 1 x 0 6Akx k 1 x 0 6Akx k 1x 32所以, lim11.因此, k 1, A 1. x 0 6 Akx k 163 x 2ax b dx 中不含有对数函数,求常数 a 与b应满足的条件.2 .如果不定积分x 1 1x 2解:x 2ax b 化为部分分式,有将2 1 x 2x 1x 2ax bA B CxD ,x 1 2 1 x 2x 1 x 1 21 x 2因此不定积分x 2ax bdx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x 1 2 x 21A C 0 .即x 2ax bB D B 1 x 2D x 1 22 22 2 .1 x 2x 1 1 x 2x 1 x 1 1 x所以,有x 2ax b B 1 x 2 D x 1 2 B D x 2 2DxB D .比较上式两端的系数,有 1 B D , a 2D , b B D .所以,得 b 1.525.计算定积分 min 1, x 2 dx . 0解:m i n1, x 2 x 2x 2 11 x2 1 1 x 12 x 1 x 2x 2 2 x .31x35521 2 2 13 所以, min 1, x 2 dx 1dx 2 x dx x 2 dx .0 0 1 2 85.设曲线 C 的极坐标方程为 r a sin 3,求曲线 C 的全长. 3解:曲线 r a sin 3一周的定义域为 0 3 ,即 03 .因此曲线 C 的全长为 3 3 2 2 3 3 3 s r r d 2 6 a 24 2 2aa s i n s i n c o s d a s i n d .0 0 3 3 3 0 3 2二.(本题满分 45 分,共有 5 道小题,每道小题 9 分),6.求出函数f x sin x lim 2n 的所有间断点,并指出这些间断点的类型. n 1 2 x解:sin x x1 21sin x x 1 2 2f x lim 2n.1 1 n12 x x 2 20 x 1 2因此 x 1 1 1 是函数 f x与 x 2 2 的间断点. 2l i m f x l i m 0 0 , lim f x lim si nx 1 ,因此 x 1x 的第一类可 是函数 f 1 x 1 x 1 1 2x 2 2 x2 2去型间断点.li mf x lim s i n x1 ,limf x lim 0 0 1 是函数 f x 的第一类可去型 ,因此 x 1 x 1x 1 x 1 2 x2 2 2 2 间断点.7.设 是函数 f x arcsin x 在区间 0, b 上使用 Lagrange (拉格朗日) 中值定理中的 “中值 ”, 求极限 lim .b 0 b 解:f x ar c s ixn 在区间0, b 上应用 Lagrange 中值定理,知存在 0, b ,使得arcsinb arcsin0 1 b 0 .1 2b 2所以, 21.因此,arcsinbb 22 12 2arcsinblim lim a r c s bin bb 2 2 lim2b 0 b 0 bb 0 b 2a r c sbin令t arcsinb,则有2lim t 2 2limt2 2lim sin t s i n tb 0b 2t 0t2 sin 2tt0 t 4lim 2t sin 2t lim 22cos2t 1 lim 1 cos2t1 lim2 s in2t 1 t 0 4t 3t 0 12t 26 t 0 t 2 6 t 0 2t 3所以, lim 1 .b 0 b31 x 18.设 fx e y 2 y dy ,求f x dx .0 0解:111f x dx xf xf x dxx 00 01 x在方程f x e y 2ydy 中,令x 1 ,得1 1 0f 1 e y 2 y dy e y 2 y dy 0 .0 0再在方程1 因此,1 xf xe1 x2f x e y 2y dy 两端对 x 求导,得,011 1f x dx xfx xf x dx xf x dx 00 0 01 11 11 x 2x 2e x2xe dx e xe dx e0 0 2 0 1e 1 .29.研究方程 e x a x2 a 0 在区间, 内实根的个数.解:设函数f x ax2 e x1, f x 2axe x ax2e x ax 2 x e x.令f x 0 ,得函数 f x 的驻点 x10, x2 2 .由于 a 0 ,所以lim fx lim ax2e x 1 ,x xlim f x lim 2ex1 a limx21 a lim2x1 a lim21 1.axe xexexx x x x x因此,得函数 f x 的性态x , 0 0 0, 2 2 2,f x 0 0f x 1 4ae 21 1⑴若 4ae 2 1 0,即 a e2时,函数f x ax2 e x1在, 0、0, 2、2, 内4各有一个零点,即方程e x a x2在, 内有 3 个实根.⑵若 4ae 2 1 0 ,即 a e2时,函数f x ax2 e x1在, 0、0, 内各有一个零4点,即方程 e x a x2在, 内有 2 个实根.⑶若 4ae 2 1 0 ,即 a e2时,函数f x ax 2e x 1 在, 0 有一个零点,即方程4e xa x 2在, 内有 1 个实根.10.设函数 f x 可导,且满足f x x f x 1 , f 0 0 .试求函数 f x 的极值.解:在方程 f x xf x 1 中令 tx ,得f t t f t 1 ,即f x x f x 1 .f x xf x x 中消去f x ,得在方程组xf x f x xf x x x2.1 x2x t 2积分,注意 f 0 0 ,得 f x f 0 t 0 1t 2 dt .即x t t 2 1 ln 1 x 2f x 2 dt x arctan x .0 1t 2由 f x x x 2f x 的驻点 x10, x21 .而f 1 2 x x 21 x 2得函数 x 1 x 22 .所以,f 0 1 0 , f1 1 0 .21ln 2所以, f0 0 是函数f x 极小值; f 1 1 是函数 f x 极大值.2 4三.应用题与证明题(本题满分20 分,共有 2 道小题,每道小题 10 分),11.求曲线 y x 的一条切线,使得该曲线与切线 l 及直线 x 0 和 x 2 所围成的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积为最小.解:设切点坐标为 t, t 1 ,可知曲线 y x 在 t , t 处的切线方程为,由 y 2 t yt11x t .x t ,或 y2 t2 t因此所求旋转体的体积为 2V1 2 82x tx dx 4 2t2 t4 3t所以, dV8 2 0 .得驻点 t2 ,舍去 t2 .由于 dt 4 3t 233d 2V16 0 ,因而函数 V 在 t 2 dt 24 3t 2 处达到极小值,而且也是最小值.因此所求切 t 2 t 3233 线方程为 y 3 x 1 .4 212.设函数 f x 在闭区间0, 1 上连续,在开区间0, 1 内可导,且2e f xarctan xdx 1, f 1 0 .2 证明:至少存在一点 0, 1 ,使得 f1.1 2arctan 解:因为 f x 在闭区间 0, 1 上连续,所以由积分中值定理,知存在20,,使得2e fx arctanxdx 2 e f arctan .0 2由于 e fx arctan xdx 1,所以, 2 e farctan 1 .再由 f 1 0 ,得 022e farctan e f1 arctan 1.4作函数 g xe f x arctan x ,则函数在区间 , 1 0, 1 上连续,在区间 , 1 内可导.所以由 Rolle 中值定理,存在, 1 0, 1 ,使得 g 0 .而 g x e fx f e fx 2 .x a r c t axnx1所以存在, 10, 1 ,使得e ff a r c t a ne f20 .1由于 e f0 ,所以 farctan 1 2 0,即 f11.12 arctan一个处处像别人表明自己优秀的,恰恰证明了他(她)并不优秀,或者说缺什么,便炫耀什么。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一:极限的概念与计算问题:计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案:根据洛必达法则,当分子分母同时趋向于0时,可以对分子分母同时求导,得到:\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二:导数的应用问题:设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\),求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案:首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处,导数值为 \(f'(1) = -1\),函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\),即 \(y = -x + 1\)。
试题三:不定积分的计算问题:计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案:这是一个基本的三角换元积分问题,令 \(x = \tan(\theta)\),\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式,\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)详解
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x+(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
高等数学上学期期末考试试题和答案解析四份
高等数学试卷(B 卷)答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:一、填空题(5153'=⨯') 1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_ 2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x e )31(lim 3=+∞→x x x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=,在3π=x 处有极值,则2=a5、34d )1(sin cos223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题(5153'=⨯')1、当0→x 时,下列变量中与2x 等价的无穷小量是( )A . x cos 1-B . 2x x +C . 1-x eD . x x sin )ln(1+ 2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。
A .h h a f a f h )()(lim0--→ B .hh a f h a f h )()(lim 0--+→C .h a f h a f h )()2(lim 0-+→ D . hh a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上( ) A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数,则以下等式中错误的是( )A. )(d )(d d x f x x f x b a=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B. x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C. ()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D. C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xex ( )A. 发散B. 收敛于1C. 收敛于21D. 收敛于21-三、算题('488'6=⨯) 1、求极限xxx x 3sin sin tan lim -→ 2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x,计算xy d d 5、求积分⎰x e x d6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积,并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。
大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
(本小题5分)第一学期期末高等数学试卷、解答下列各题(本小题5分)x 3 12x 162x 3(本小题5分)求 x 2 2 dx. (1 x )(本小题5分)(本小题5分) 求-^dx. 1 x(本小题5分)求— 1 t 2 dt .dx 0(本小题5分)求 cot 6 x esc 4 xdx.(本小题5分)求-1 1 , 求 1 p cos dx. x x(本小题5分)设X e2t cost确定了函数y y e si nt(本小题5分)求'x 1 xdx .0 ■(本小题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、 11、 12、13、求函数 y 4 2xx 2的单调区间丫(本小题5分) sin x dx.求2 2 0 8 sin 2 x (本小题5分) 设 x(t) e kt(3cos t 4sin t),求 dx .设函数y y (x )由方程y 2 in y 2 x 6所确定,求史 dx (本大题共16小题, 总计80分)求极限 limx 2 9x 212x求极限 limarctan xx.1 arcsin xy(x),求乎dx14、 (本小题5分)求函数y 2e x e x 的极值15、 (本小题5分)2 2 2 2求极限 lim & “ (2x“ (3xD d°x Dx(10x 1)(11x 1)16、 (本小题5分)cos2x .求dx.1 sin xcosx二、解答下列各题(本大题共2小题,总计14分) 1、(本小题7分)某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.(本大题6分)设f (x ) x (x 1)( x 2)( x 3),证明f (x ) 0有且仅有三个实根一学期期末高数考试(答案)、解答下列各题(本大题共16小题,总计77分) 1、(本小题3分)23x 212 26x 18x 122、(本小题3分)x 2\ 2x )1 d(1 x 2) 2(1 x 2)2c.3、(本小题3分) 因为 arctanx而 limarcsin — 02 x x2、(本小题7分)2求由曲线y -和y2三、解答下列各题所围成的平面图形绕 0X 轴旋转所得的旋转体的 体积.解:原式 limx 2lim 歿 x 212x18(19、 116 151故 limarcta n x arcs in o x x求—1 t2 dt .dx 0 '原式 2x 1 x 4cot 6 x(1 1 .7cot x 7(本小题4分) 2求1 工-x2cot x)d(cot x)1. 9cot x c.91cos^d(^) x x2(本小题4分)求 x 1 xdx.令 J 1 x ui u4、 5、(本小题3分)x .dx1 x1 x 1dx 1 x . dx dx1 xx ln 1 x(本小题3分)c.6、(本小题4分)cot 5 6 x csc 4 xd x8、1 (本小题4分) x e 2^st确定了函数y y e si nty(x),求 dy dx解:dy dxe 2t (2sin tt22e (cost 2tsin t ) e t (2 sint cost)22~(cost 2t sin t )cost)7、cos 1dx. x原式1 si n — x2u2)du 原式 2 (u41 \32(—)5 39、116 15解: dxx (t)dt13、(本小题6分)设函数y y (x )由方程y 2 ln y 2 x 6所确定,求鱼dx2yy 空 6x 5 y3yx 57厂14、(本小题6分)求函数y 2e x ex , 2x1、y 2e (e y1 1驻点:x -| n —2 2由于 y 2e x e x 0故函数有极小值,,1n "2)2 210、(本小题5分) 求函数 y 4 2x x 2的单调区间解: 函数定义域(11、 12、 设 y 当x当x 当xX)2 2x 2(1 1, y 01, y0函数单调增区间为,11, y 0函数的单调减区间为1,(本小题5分)sin x ,2— dx.8 sin x2d cosx 09 cos 2 x原式1, 3 cosx ln ---------- 6 3 cosx丄In 26(本小题x (t )6分)e kt (3cos t 4sin t),求dx .e kt (43k)cos t (4k 3 )sin t dtx的极值解.定义域),且连续V x264d(*si n2x 1) 1 丄 si n2x2 1In 1 -si n2x c2、解答下列各题(本大题共2小题,总计13分) 1、(本小题5分)某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围 沿, 另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省•512设晒谷场宽为x,则长为 ----- 米,新砌石条围沿的总长为512xL 2x —— x (x 0)L c 51222x唯— •驻点 x 16 L1024 小3x即 x 16为极小值点 故晒谷场宽为16米,长为51232米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省2、(本小题8分)15、(本小题 求极限 原式 2 2 2(x 1)(2x 1) (3x 1)2(10x 1)(10x 1)(11x 1)1 2 1 2 1 2 (1 -)2 (2 -)2 (3 -)2(10 丄)2x x x x1 1(10 -)(11 -)x x 10 11 216 10 11lim x lim x 16、(本小题7 210分) cos2x dx 1 sin xcosx cos2x 1 l sin2xdx2求由曲线y -和y2,8x 22x 3 x 10, x 1 4-)2x 32 (rdx 4x 40(匚6x)dx4J 1 5 (——x 4 5 1 1 7. -------x ) 64 7 04 1 1 512 44(—— )—5 7 35二、解答下列各题(本大题10分)设f (x) x(x 1)( x2)(x 3),证明f (x) 0有且仅有三个实根证明:f (x)在(,)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.又 f(0)f(1)f(2)f(3)则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1), 2 (1,2), 3(2,3)使f ( !) f ( 2) f ( 3)即f (x) 0至少有三个实根,又f (x) 0,是三次方程,它至多有三个实根 由上述f (x)有且仅有三个实根高等数学(上)试题及答案D 、不存在2、下列变量中,是无穷小量的为(、填空题(每小题 3分,本题共 15分)1、2、时,f (x)x e 2x在x 0处连续.3、dx ln x ,则巴dyx/x+14、 曲线yx 在点(0, 1 )处的切线方程是y=x+15、 若 f (x)dxsin2x C ,C 为常数,则 f (x)2cos2x —。
大学高数期末考试题与答案
因为懂得,人生的风景,最终是回归到心灵的本源。和谐共生,平等友爱,才是对生命的尊重和对自己的珍视。
解:
设切点坐标为 t,
t ,由 y 1 ,可知曲线 y 2t
x 在 t , t 处的切线方程为
y t 1 x t ,或 y 1 x t .
2t
2t
因此所求旋转体的体积为
2
2
V
1 xt
0 2t
2
x dx
8 4 2t
4 3t
dV
所以,
dt 4
8 3t 2
2
0 .得驻点 t
2 ,舍去 t
3
2
.由于
3
d 2V
10.设函数 f x 可导,且满足
f x x f x 1 , f 0 0.
试求函数 f x 的极值.
解:
在方程 f x x f x 1 中令 t x ,得 f t
t f t 1 ,即
f x x f x 1.
f x xf x x
在方程组
中消去 f
xf x f x x
x ,得
x x2 f x 1 x2 .
dt 2 t 2
3
16
4 3t 2 t 2
3
0 ,因而函数 V 在 t
2
处达到极小值,而且也是最小值.因此所求切
3
线方程为 y
31 x.
42
12.设函数 f x 在闭区间 0, 1 上连续,在开区间 0, 1 内可导,且
证明:至少存在一点 解:
2
e f x arctan xdx 1 , f 1 0 .
f
ef
ef
arct an
2 0.
1
由于 e f
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷一、选择题(共12分)1. (3分)若为连续函数,则的值为()。
(A)1 (B)2 (C)3 (D)—12。
(3分)已知则的值为( ).(A)1 (B)3 (C)—1 (D)3。
(3分)定积分的值为( ).(A)0 (B)—2 (C)1 (D)24。
(3分)若在处不连续,则在该点处()。
(A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题(共12分)1.(3分) 平面上过点,且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为。
2。
(3分)。
3. (3分)= 。
4. (3分)的极大值为。
三、计算题(共42分)1.(6分)求2.(6分)设求3.(6分)求不定积分4.(6分)求其中5.(6分)设函数由方程所确定,求6.(6分)设求7.(6分)求极限四、解答题(共28分)1.(7分)设且求2.(7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积。
3.(7分)求曲线在拐点处的切线方程.4.(7分)求函数在上的最小值和最大值。
五、证明题(6分)设在区间上连续,证明标准答案一、1 B; 2 C; 3 D; 4 A。
二、1 2 3 0; 4 0.三、1 解原式5分1分2解2分4分3 解原式3分2分1分4解令则2分1分1分1分1分5两边求导得2分1分1分2分6解2分4分7解原式= 4分= 2分四、1 解令则3分= 2分2分1分2解3分2分2分3解1分令得1分当时,当时, 2分为拐点, 1分该点处的切线为2分4解2分令得1分2分最小值为最大值为2分五、证明1分1分1分1分1分移项即得所证。
1分。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3.求摆线 在 处的切线的方程.
解:切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ,则 .
5.设 ,求 .
解: ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四.应用题(每小题9分,3题共27分)
1.求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题(共12分)
1.(3分) 平面上过点 ,且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. (3分) .
3. (3分) =.
4. (3分) 的极大值为.
三、计算题(共42分)
1.(6分)求
2.(6分)设 求
3.(6分)求不定积分
4.(6分)求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的(C).
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
高等数学上期末试卷(含答案)
一. 选择题:(每小题3分,共15分)1. 若当0x →时,arctan x x -与nax 是等价无穷小,则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数,且()f x 为奇函数,()g x 为偶函数,则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二. 填空题:(每小题3分,共15分)1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续,则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3.设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三.解下列各题:(每小题10分,共40分)1.求下列极限(1)22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解:原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 (2)()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解:原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解:s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解:1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解:2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四.解下列各题:(每小题10分,共30分)1. 设()f x 在[,]a b 上连续,且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证: (1)[,],()2;x a b F x '∀∈≥(2)()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明:(1)1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 (2)()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理,()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增,从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S(1)确定a 的值,使12S S S =+取得最小值,并求此最小值; (2)求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解:22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微,且(0)(1)0,f f ==证明:存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明:令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微, ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微,由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()(),F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
(完整word版)高等数学(同济第六版)上册-期末试卷及答案
高等数学(同济第六版)上册-期末试卷及答案一、填空题1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim30 . 232.曲线x xe y -=的拐点是 .)2,2(2-e3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→xx f x )(lim 0. )0(f ' 4.曲线x x y +-=22cos 1在)21,2(ππ+处的切线方程为 .1y x =+ 5.曲线122-=x x y 有垂直渐近线 和水平渐近线 . 1±=x ,1=y6.设)(u f 可导,)]([sin 2x e f y =,则=dy . dx e e f e f x x x ⋅'⋅)()]([2sin7.=⎰dx e x 40 . )1(22+e8. 若3)(0-='x f ,则=--+→hh x f h x f h )3()(lim000. 12-9. 若dx x p ⎰+∞1收敛,则p 的范围是 .1-<p 10.=+++∞→1)1232(lim x x x x. 11.设⎰+=c x F dx x f )()(,则⎰=dx x f )2( . c x F +)2(2112.设)(x f 的一个原函数是x x ln ,则⎰=dx x xf )( . c x x x ++ln 242213.设⎩⎨⎧≤>=0,0,)(2x x x x x f ,则⎰-=11)(dx x f . 61-14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 . 12+=x y15.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin )(x a x x x x f ,则当→x ∞时,函数)(x f 是无穷小;当=a 时,函数)(x f 在0=x 处连续,否则0=x 为函数的第 类间断点. 1, 一16.已知⎰+=c x F dx x f )()(,则⎰=-dx x f x)(arcsin 112.c x F +)(arcsin17.当0→x 时,1)1(312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小,则=a .2318.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰0,0,sin )(303x a x x dtt t x f x 是连续函数,则=a . 1 19.)(x f 在]1,0[上连续,且120(1)0,[()]1f f x dx ==⎰,则='⎰10)()(dx x f x xf .21- 提示:='⎰10)()(dx x f x xf ⎰⎰-=11021))(()()()()(x xf d x f x xfx df x xf⎰⎰⎰'--='+-=110210)()()()]()()[(dx x f x xf dx x f dx x f x x f x f ,移项便得.20.dx xe x x x ⎰=Φ02)(,则=Φ)1( . =Φ')1( . )1(21-e ,e 21.x dx x df 1)(2=,则=')(x f .x 21 提示:22221)(12)(xx f x x x f ='⇒=⋅' 22.曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线平行于直线13+=x y ,则=')2(f . 3 23.设x x f arctan )(=,且,00>x =-+→x x f x x f x )()(lim 000.)1(2100x x + 24.33ln2-+=xx y 的水平渐近线是 . 3-=y 25.函数x x y =的导数为 .)1(ln +x x x 26.=⎰+∞-dx xe x 02.21 27.=++⎰-dx xxx x )1sin (2211 . 1 28.广义积分=⎰+∞dx x 131 . 2129.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的曲线的方程 ______.2x y=12-30.设S 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积,则=s .)1(412+e31.⎰='dx x f )2( .c x f +)2(2132.曲线)1ln(x e y -=的渐近线为 . ex x y 1,0,1===33.曲线2x y =与x y =2所围图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积 .π103 34.设022x 1,x 0f (x)0,x 0,f (x 1)dx x ,x 0-+<⎧⎪==+⎨⎪>⎩⎰= . 56二、选择题1. 设21cos ,01(),10x x f x xxx ⎧<<⎪=⎨⎪-<≤⎩,在0=x 处( ) A .A 连续,不可导 .B 连续,可导 .C 可导,导数不连续 .D 为间断点 2.曲线x y sin 2+=π在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为( ) B2.πA 4.πB 0.C 1.D3.若032<-b a ,则0)(23=+++=c bx ax x x f ( ) B.A 无实根 .B 有唯一实根 .C 三个单实根 .D 重根 4.函数)(x f 在0x x =处取得极大值,则( ) D0)(.0='x f A 0)(.0<''x f B .C 0)(0='x f 0)(,0<''x f .D 0)(0='x f 或不存在5.设)(x f 的导函数为x sin ,则)(x f 的一个原函数为( ) Dx A sin 1.+ x x B sin .+ x C cos 1.+ x x D sin .- 6.设t t f cos )(ln =,则='⎰dt t f t f t )()(( ) A c t t t A +-sin cos . c t t t B +-cos sin . c t t t C ++)sin (cos . c t t D +sin . 7.设)(x f 连续,⎰=22)()(x dt t f x F ,则=')(x F ( ) C)(.4x f A )(.42x f x B )(2.4x xf C )(2.2x xf D8.下列广义积分收敛的是( ) Cdx x x A e⎰+∞ln . dx xx B e ⎰+∞ln 1. dx x x C e ⎰+∞2)(ln 1. dx x x D e ⎰+∞ln 1. 9.广义积分=+⎰+∞-0xx e e dx( ) C2.πA π.B 4.πC .D 发散10.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是( ) C12.2++x x A )1cos(.x B + )1(.22x x C - )1ln(.x C +11.求由曲线x y ln =,直线)0(ln ,ln ,0>>===a b b y a y x 所围图形的面积为( )Cb a A -. 22.a b B - a b C -. a b D +. 12.已知1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ,则在a x =处 ( )BA .)(x f 导数存在且0)(≠'a fB .)(x f 取极大值C .)(x f 取极小值D .)(x f 导数不存在三、计算题1.)1sin cos ln (lim 220x x x x x +→ 21-2.41cos 0ln lim x tdt t xx ⎰→ 81-3.)11(lim 22--+∞→x x x 0 4. xx x 1)(cos lim +→ 21-e5. 2tan)1(lim 1xx x π-→π26. 求xx x x x ln 1lim 0-+→ 1解1 原式1lim lim 1ln )ln 1(lim 0ln 000====++=+++→→→e e x x x x x x x x x x x , 解2 原式ln ln 001lim =1,lim ln 0,1~ln ,0ln x x x xx x e x x e x x x x x ++→→-==∴-→Q ()7.设)(x f 为连续函数,计算⎰-→x a a x dt t f a x x )(lim 2)(2a f a 8.sin(ln )x dx ⎰ [sin(ln )cos(ln )]2xx x c -+9.dx x ⎰+π02cos 1 22 10.dx x a x a2202-⎰416a π 11.设xx y cos )(sin =,求y ' . ()]sin cos sin ln sin [)(sin 2cos xxx x x x+-12.设0cos 2ln 0=+⎰⎰x yttdt dt e ,求dy . dx x x 2cos 2-13.dx x x x ⎰+--84132 c x x x +-++-22arctan 2584ln 23214.设⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π,其中f 可导,且0)0(≠'f ,求0=t dx dy. 3 15.dx x x ⎰-π042sin sin 提示:原式1cos sin cos sin 022===⎰⎰dx x x dx x x ππ16.dx x ⎰-22)1(1 发散 17.dx e x ⎰-2ln 01 )41(2π- 18.⎰-12x x dxc x +1arccos 19.xdx x 4223cos )4(+⎰-ππ π23 20.dx x x⎰3ln 21ln (3)2x c + 21.dx e x x 22ln 03-⋅⎰ 11ln 242-+ 22.⎰+)1(2xx e e dx arctan x xe e c ---+ 23.设x 1)e (f x +=',求)x (f . ln x x c + 24.⎰--+1x 1x dx33221[(1)(1)]3x x c ++-+25.⎰+)x 1(x dx10101ln ln 110x x c -++ 26.已知)(x f 的一个原函数为lnx )sinx 1(+,求⎰'dx )x (f x . cos ln 1sin (1sin )ln x x x x x x ++-+ 27.dx x 1x1xln ⎰+- 211ln (1)21x x x c x-+-++ 28.dx x)1x (ln ⎰+1)x c +- 29.dx x a x a⎰-+02214π 30.设)(x f 在]1,0[上连续,单调减且取正值,证:对于满足10<<<βα的任何βα,有f (x)dx f (x)dx ββαβα>⎰⎰.00()()()()()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx f x dxf x dx f x dx ββαββααααβαβαββαββα-=+-=+-⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰提示:31.260sin 1lim3x t xx te tdt x e →⋅=⎰四、解答题1.求函数x e x y -⋅=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线.2.设1sin ,0()200x x f x x x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩,或,求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式.01()()(cos 1),021,xx x f t dt x x x ππ<⎧⎪⎪Φ==--≤≤⎨⎪>⎪⎩⎰,3.设)(x f 在),(+∞-∞内连续,证明()()()()xa d x t f t dt f x f a dx'-=-⎰. 4.设20,,0,2:;0,2,,2:2221<<=======a a x y x y D y x a x x y D(1)试求1D 绕x 轴旋转得旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转得旋转体体积2V ; (2)问当a 为何值时+1V 2V 得最大值?并求该最值.)32(5451a V -=π,42a V π=,1=a ,+1(V π5129)max 2=V5.已知x x x f 22tan 2cos )(sin +=',求)(x f .提示:uu u u f x x x x f -+-='⇒-+-='121)(sin 1sin sin 21)(sin 2222,c x x x f +--=1ln )(26.设c y =与22x x y -=相交于第一象限(如图).(1)求使得Ⅰ与Ⅱ两区域面积相等的常数c ; (2)在(1)的情况下,求区域I 绕x 轴旋转的旋转体体积. 提示:III II III I II I s s s s ++=⇒=,202031)2(b b c dx x x cdx bb-=⇒-=⎰⎰,又22b b c -=, 43,23==⇒c b ,23,21243212==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==x x x x y y ,π24041=V . 7. 设直线b ax y +=与直线1,0==x x 及0=y 所围成的梯形面积为A ,求b a ,,使这块区域绕x 轴旋转所得体积最小.)0,0(≥≥b a提示:21220()(),3a V axb dx ab b ππ=+=++⎰1()2aA ax b dx b =+=+⎰,A b a ==,0时,体积最小. 8. 证明011302=+--⎰xx dxx 在区间)1,0(内有唯一的实根.提示:令0)1()0(113)(02<⋅⇒+--=⎰F F x dxx x F x,再证唯一性.9. 求dt e )t 2()x (f 2x 0t ⎰--=的最值. 21,1e -+最小值为最大值为 10. 0,x dt,t 1lnt )x (f x 1>+=⎰求)x 1(f )x (f +. 21(ln )2x 11. 证明211lim21=--→x x x . 分析: 当x ≠1时, |f (x )-A ||211|2---=x x =|x -1|. 12. 证明01lim =∞→xx . 分析: ||1|01||)(|x xA x f =-=-. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要ε1||>x .13. 当1→x 时,将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.(1) ;233+-x x (2)ln ;x (3).11sin )1(--x x (1)233+-x x 是比1-x 较高阶的无穷小量; (2)ln x 是关于1-x 的等价无穷小量; (3) 11sin)1(--x x 与1-x 不能比较. 111sin )1(lim1--⋅-→x x x x 11sin lim 1-=→x x 不存在. 所以,11sin )1(--x x 与1-x 不能比较.。
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高等数学试卷(B 卷)答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目: 高等数学I 班级: : 学号: 成绩:一、填空题(5153'=⨯')1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x e )31(lim 3=+∞→x x x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=,在3π=x 处有极值,则2=a5、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题(5153'=⨯')1、当0→x 时,下列变量中与2x 等价的无穷小量是( )A . x cos 1-B . 2x x +C . 1-x eD . x x sin )ln(1+ 2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。
A .h h a f a f h )()(lim0--→ B .hh a f h a f h )()(lim 0--+→C .h a f h a f h )()2(lim 0-+→ D . hh a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上( ) A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数,则以下等式中错误的是( )A.)(d )(d d x f x x f xb a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B. x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C. ()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D. C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xex ( )A. 发散B. 收敛于1C. 收敛于21D. 收敛于21-三、算题('488'6=⨯)1、求极限xxx x 30sin sin tan lim -→2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x ,计算xy d d5、求积分⎰x e x d6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积,并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。
8、计算星型线0,20,cos ,sin 33>≤≤==a t t a y t a x π的全长.四、求函数求10123+-=x x y 的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点('7)五、设)(0 ]10[)(x f x f <且上连续,,在, 证明:方程1d )( 0=+⎰xt t f x 在[0,1]上有且仅有一根('5)六、设f (x )连续, 计算t t x f t xx d )(d d 0 22⎰- ('5)七、⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=01062t tt t e t f t ,,)(设 , 计算:⎰∞-=xt t f x F d )()(('5)答案:一、填空题1、(2,3)∪(3,+∞)2、23、 e )31(lim 3=+∞→xx x4、25、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、1、D2、A3、B4、A5、C三、计算题1、解:x xx x 30sin sin tan lim -→=x x x 20sin cos 1lim-→=21 2’ 4’2、解:22)2()ln(sin lim x x x -→ππ=)2(4cos sin 1lim 2x xx x --→ππ=)2(4cos lim 2x x x --→ππ=81 3、解: 当4π=t 曲线过点)0,22(, 由于22d d 4-=πxy, 4’所以, 当4π=t处的切线方程和法线方程分别为:)22(22--=x y 1’ )22(42-=x y 1’ 4、解:)sin ln (cos )sin ln (cos d )(d d d sin ln sin ln sin x xx x x x x x x e x e x y x x x x x +=+==解: 令u u x x u d 2d ,==, 则: 1’ 解: 令u u x x u d 2d ,==, 则: 1’ 5、令u u x x u d 2d ,==,⎰x e xd=c e x c e u u e ue u ue xuu u u +-=+-=-=⎰⎰)1(2)1(2d 22d 26、解:x x eed ln 1⎰=ex x x x x x x x x x e e eeee 22d ]ln [d ]ln [d ln d ln 111111111-=-++-=+-⎰⎰⎰⎰7、解:面积⎰==π2d sin x x s 2’体积微分元x x x V d sin 2d π= 1’ 所求体积2004d cos 2]cos 2[d sin 2πππππππ=+-==⎰⎰x x x x x x x V 3’8、解: 弧微分t t a s d 2sin 23d =2’ 弧长⎰⎰===20206d 2sin 6d 2sin 23ππa t t a t t a s 4’四、解:2,2,0',123'212=-==-=x x y x y 得驻点令 1’,0'',6''3===x y x y 得点令由上可知:函数的单调增区间为: (-∞,-2),(2,+∞); 函数的单调减区间为:(-2,2)2’函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6) 1’ 凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,0) 1’拐点为:(0,10)五、证: 构造函数=)(x ϕ1d )( 0 -+⎰xt t f x , 函数在[0,1]上连续,在区间可导1’0d )()1(,1)0(1>=-=⎰x x f ϕϕ,由连续函数的零点定理知,存在ξ在(0,1)使0)(=ξϕ 2’ 又因为0)(1)('>+=x f x ϕ所以函数在(0,1)的零点唯一. 2’ 原命题得证.六、解: 令:22t x u -=, t t u d 2d -= 2’t t x f t x x d )(d d 0 22⎰-=)(]d )(21[d d 20 x 2x f x u u f x =-⎰ 七、解:当⎰∞===≤xx t e t e x F x d )(0时, 2’当⎰⎰⎰∞=∞-+=++==>x x tx t tt t e t t f x F x 36200arctan 311d 1d d )()(0时,《高等数学IV1》课程考试试卷(A 卷)学院 专业 班级学号………………………………………………………………………………………………………………一、选择题(每小题3 分,共12分)1、设2()3,f x x x x=+使()(0)n f存在的最高阶数n 为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2、函数dt e t y x t ⎰-=2 0)1( 有极大值点( )(A ) 1=x (B ) 1-=x (C ) 1±=x (D ) 0=x 3、已知函数()f x 的一个原函数是x 2sin ,则'()xf x dx =⎰( )(A) 2cos2sin 2x x x C -+ (B) 2sin 2cos2x x x C -+ (C) 2sin 2cos2x x x C ++ (D) sin 2cos2x x x C -+4、2x =是函数1()arctan 2f x x=-的 ( )(A )连续点 (B )可去间断点 (C )第一类不可去间断点 (D )第二类间断点 二、填空题(每小题3 分,共12分)1、函数x y xe -=的图形的拐点是 。
2、曲线21x ey --=的渐进线是 。
3、设dt e x f xt ⎰-=02)(,则 0()()lim h f x h f x h h→+--= 。
4、=-→xx x 20)1(lim 。
三、求下列极限(每小题6分,共12分)。
1、2301cos(1)limtan sin x x e x x→--⋅。
2、()011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭。
四、计算下列微分或导数(每小题6分,共18分)。
1、21x ln x arctan x y +-=,求dy 。
2、cos (sin ),x dy x dx=若y 求。
3、设cos sin x R ty R t =⎧⎨=⎩ ,求22d y dx 。
五、计算下列积分(每小题6分,共18分)。
1、dx )x (x ⎰+11。
2、求1(12ln )dx x x +⎰。
3、dx xx ⎰-10221。
六、若01x <<,证明不等式x e xx211-<+-(8分)。
七、,0423412所围成的平面图形与直线为曲线设=--=y x xy D 求: (1) D 的面积S ; (2) D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V 。
(10分) 八、求微分方程522(1)1dy yx dx x -=++的通解(10分)。
《高等数学IV1》统考试题(A )答案及评分标准一、选择(每题3分,共12分)1、B 2、D 3、A 4、C 二、填空(每题3分,共12分)1、)2 ,2(2-e 2、1=y 3、22x e- 4、21e三、计算下列极限(每小题6分,共12分)。
1、解:原式=4202)1(lim 2xe x x -→ (2分) 4402lim x x x →= (4分)21=(6分) 2、 解:原式=200ln(1)ln(1)limlim ln(1)x x x x x x x x x→→-+-+=+ (3分) 2121lim 2111lim00=+=+-→→x x xx x x x (3分)四、求下列导数和微分(每小题6分,共18分)。
1、解:22tan 11x x dy arc x dx x x ⎡⎤=+-⎢⎥++⎣⎦(3分) arctan xdx = (6分) 2、解:cos lnsin ()x x y e ''= (2分)cos lnsin (sin ln sin cot cos )x x e x x x x =-+ (4分)=cos (sin )(sin ln sin cot cos )xx x x x x -+ (6分)3、解:解:t dxdycot -= (3分) 2'2311(cot)sin sin t d y dx R t R t=-=-- (6分)五、计算下列积分(每小题6分,共18分)。