初中数学竞赛中的轴对称

MOD C BA 21°46°OEDC B A 4321KJI H G F ED C B A 初中数学竞赛中的“轴对称”陆 腾 宇（江苏省常熟市昆承中学，215500）许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一．我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用． 1 利用轴对称计算角的度数例1 如图，在ABC V 中，44BAC BCA ∠=∠=︒，M 为ABC V 形内一点，使得30MCA ∠=︒,16MAC ∠=︒．求BMC ∠的度数．（2005，北京市中学生数学竞赛（初二））解 由44BAC BCA ∠=∠=︒，得AB AC =，92ABC ∠=︒．作BD AC ⊥于D ，延长CM 交BD 于点O ，连结OA ． 易知BD 是ABC V 的对称轴． 所以30OAC MCA ∠=∠=︒，443014BAO BAC OAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，301614OAM OAC MAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．所以BAO MAO ∠=∠．又9060AOD OAD COD ∠=︒-∠=︒=∠,所以120AOM AOB ∠=︒=∠． 又OA OA =，所以ABO V ≌AMO V ． 故OB OM =．由于120BOM ∠=︒，从而30OMB OBM ∠=∠=︒． 因此，180150BMC OMB ∠=︒-∠=︒． 例2 如图，在ABC V 中，46ABC ∠=︒，D 是BC 边上的一点，DC AB =，21DAB ∠=︒．试求CAD ∠的度数． 解 作ABD V 关于AD 的轴对称图形AED V ，则21EAD ∠=︒，AE AB =，所以DE BD =． 易知214667ADC ∠=︒+︒=︒． 故18067113ADE ADB ∠=∠=︒-︒=︒， 1136746CDE ∠=︒-︒=︒．连结CE ，因为DC AB =，所以CDE V ≌ABD V ≌AED V ．设O 为AE 与DC 的交点，则672188AOC ADC DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．因为46ODE OED ∠=∠=︒，于是OD OE =．又DC AE =，则46AO CO OCA OAC =⇒∠=∠=︒． 所以，67DAC DAE EAC ∠=∠+∠=︒． 2 利用轴对称求线段的长度、证明线段相等例3 如图，在矩形ABCD 中，已知对角线长为2，且1234∠=∠=∠=∠，则四边形EFGH 的周长为（ ）A． B ．4 C． D ．6（2010，四川省初中数学联赛（初二））解 如图，根据轴对称的性质，IJK V 的斜边是四边形EFGH 的周长．而直角边分别是矩形边长的两倍，又矩形对角线与矩形两边构成直角三角形，因此四边 形EFGH 的周长是矩形对角线长的2倍．例4 如图，在ABC V 的边AB 、AC 上IK H G FEDCA 分别取点Q 、P ，使得12PBC QCB A ∠=∠=∠． 求证：BQ CP =．证明：因为12PBC QCB A ∠=∠=∠．则11()()22BQC CPB A ACB A A ACB A ∠+∠=∠+∠-∠+∠+∠-∠180A B C =∠+∠+∠=︒．作点P 关于BC 的对称点'P ，连结'BP 、'CP ． 于是'180BQC BP C ∠+∠=︒，'PC P C =． 所以B 、'P 、C 、Q 四点共圆．于是'P BC PBC QCB ∠=∠=∠，则'//BP CQ ． 故'BQ P C =（夹在平行弦间）． 因此，BQ CP =．3 利用轴对称求图形的面积例4 如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，I 是A ∠、B ∠的平分线AD 与BE 的交点．已知ABI V 的面积为12．则四边形ABDE 的面积等于 ．（2004，北京市中学生数学竞赛（初二））解 分别作点E 、D 关于AD 、BE 的对称点F 、G ，则点F 、G 在AB 上，连结IF 、IG ．易知1901352AIB C ∠=︒+∠=︒．由轴对称的性质知，IF IE =，ID IG =， 45AIE AIF BID BIG ∠=∠=∠=∠=︒． 所以135454545FIG AIB AIF BIG BID ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒=∠．作D H BE ⊥于H ，GK IF ⊥于K ．易证IDH V ≌IGK V ．所以GK DH =． 故1122IE DH IF GK ⨯=⨯，即IDE IGF S S =V V ． 因此224AIB ABDE S S ==V 四形．例5 在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，40CD =，90ABD BDC ∠+∠=︒．求四边形ABCD 的面积．解 如图，有'ABD A BD S S =V V ，'30A D AB ==，'48A B AD ==，'A DB ABD ∠=∠，于是有''90A DC A DB BDC ABD BDC ∠=∠+∠=∠+∠=︒．故，在Rt 'A DC V中，'50A C ==． 在'A BC V 中，2222'14482500BC A B +=+= 2250'A C ==．所以'90A BC ∠=︒．因此，'''11=4814+3040=93622A BC A DC ABCD A BCD S S S S =+=⨯⨯⨯⨯V V 四形四形．4 利用轴对称探求几何最值例6 如图，45AOB ∠=︒，P 为角内一点，10PO =，两边上各有点Q 、R （均不同于O ），则PQR V 的周长的最小值为 ．NM RQPOB A图 2图 1lsB s a DC B'A'Ab s图 3l （2001年第12届“五羊杯”邀请赛试题）解 分别作P 关于OA 、OB 的对称点M 、N ， 连结MN 交OA 、OB 于Q 、R ，则△PQR 即为符合 条件的三角形．如图，由轴对称的性质知10OP OM ON ===， 而290MON AOB ∠=∠=︒，所以△ABC 的周长MN ==．例7 河岸l 同侧的两个居民小区A 、B 到河岸的距离分别为a m 、b m （即图1中所示'AA a =m ，'BB b =m ），''A B c =m ．现欲在河岸边建一个长度为s m 的绿化带CD （宽度不计），使C 到小区A 的距离与D 到小区B 的距离之和最小． （1）在图2中画出绿化带的位置，并写出画图过程； （2）求AC BD +的最小值．（2006，第20届江苏省初中数学竞赛）解 （1）如图3，作线段//AP l ，使AP s =，且点P 在点A 的右侧．取点P 关于l 的对称点'P ，连结'BP 交l 于点D ，在l 上点D 的左侧截取DC s =，则CD 即为所求的绿化带的位置．证明 如图3，设绿化带建于另一位置''C D 连结'BD 、'PD 、'AC 、''P D ．则由对称性 知，'P D PD =，'''P D PD =． 由AP CD 及AP ''C D ，知AC PD =，但'''''P D BD P B P D BD +≥=+，即''PD BD PD BD +≥+．就是''BD AC BD AC +≤+．（当且仅当'D 在线段'P B 与l 的交点时等号成立） 所以，这样画出的AC BD +最小．（2）AC BD +的最小值即为线段'P B 的长度．延长'BB ，作''P H BB ⊥于H ，，则BH =''BB B H b a+=+，'P H c s =-．所以'P B== 即AC BD +练 习 题1．（1）已知A 、B 两点在直线MN 的同侧，在MN 上求一点P ，使P A 与PB 的和最小； （2）若A 、B 两点在直线MN 的两侧，在MN 上求一点'P ，使A P '、B P '中较长一条与较短一条的差最大．提示：作法（1）如图1，作点A 关于MN 的对称点'A ，连结B A '，交MN 于点P ，则点P 即为P H O C B A E M D B C A 图2图1所求。

（2）如图2，作点B 关于MN 的对称点'B ，连结'AB 并延长，交MN 于点'P ，则'P 即为所求．2．如图，矩形ABCD 中，20AB =cm ，10BC =cm ，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使B M M N +的值最小，求这个最小值．（1998，北京市初中数学竞赛）解：如图，作点B 关于直线AC 的对称点'B ，交AC 于E ，过'B 作'B N AB ⊥于N 交AC 于点M ，则M 、N 即为所求的点． 由1122ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅V ，得BE = 所以'2BB BE ==． 易证'B NB V ∽ABC V ．所以''BN B BAB AC=． 于是'16B N == 故BM MN +的最小值为16cm ．3．在ABC V 中，AB AC =，80BAC ∠=︒，O 为形内一点，=10OBC ∠︒，30OCB ∠=︒．求BAO∠的度数．提示： 作AH BC ⊥于H ，因为AB AC =，所以AH 平分BAC ∠， 即40BAH CAH ∠=∠=︒．延长CO 交AH 于P ，则40BOP BAP ∠=︒=∠．连结BP ，由对称性知，30PBC PCB ∠=∠=︒．所以301020PBO ∠=︒-︒=︒．因此，402020APB ∠=︒-︒=︒．在ABP V 和OBP V 中，40BAP BOP ∠=∠=︒，BP BP =，20ABP OBP ∠=∠=︒． 所以ABP V ≌OBP V ．故AB OB =．因为40ABO ∠=︒， 所以70BAO BOA ∠=∠=︒．4．在ABC V 中，75A ∠=︒，35B ∠=︒，D 是边BC 上一点，2BD CD =． 求证：2()()AD AC BD AC CD =+-．（2008，我爱数学初中夏令营数学竞赛）提示：如图，延长BC 到E ，使CE AC =．由题设知70C ∠=︒，则35E B ∠=︒=∠，即ABE V 是等腰三角形．过点A 作AM BE ⊥于点M ，则M 为边BE 的中点．取BD 的中点F ，则BF FD DC ==．连结AF ． 在Rt ADM V 中，2222AD AC CD CD CM =+-⋅2(2)AC CD CD CM =+-()()AC BD AC CD =+-．5． 在矩形ABCD 中，12AB =，3AD =，E 、F 分别是AB 、DC 上的点．则折线AFEC 长的最小值为 ．（2009，全国初中数学联赛四川省初赛）提示：如图，分别作点A 、C 关于DC 、AB 的对称点1A 、1C ．连结11AC 分别交AB 、DC 于点1E 、GC 1A 1F 1E 1F ED C BA D PCB A1F ，连结11A F 、11C E ．过1A 作BC 延长线的垂线，垂足为G ．又1112,39AG AB C G AD ====，则由勾股定理知 1115AC =． 故111115AF FE EC A F FE EC AC ++=++≥=． 当点E 、F 分别与1E 、1F 重合时，取到最小值．6．在直角坐标系中，已知两点A （8-，3）、B (4-，5)以及动点C (0，n )、 D (m ，0)，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值mn为（ ） A ．23- B ．2- C ．32- D ．3-（2004，第19届江苏省初中数学竞赛（初三）） 提示：如图，设点A 关于x 轴的对称点为'A ，点B 关于y 轴的对称点为'B ，则'(8,3)A --，'(45)B ，．所以，当点C 、D 均在直线''A B 上时，四边形ABCD 的周长最小，即为''AB A B +．设直线''A B 的方程为y ax b =+，因为'A 、'B 在直线''A B 上，故有8345a b a b -+=-⎧⎨+=⎩，解得2373a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 即''A B 的方程为2733y x =+．从而知点7(0,)3C ，D (72-，0)，即72m =-，73n =．所以32m n =-．故选C ．在ABC V 中，2ABC ACB ∠=∠，形内的点P 满足AB AP =，PB PC =．证明：AP 是BAC ∠的三等分线．（1994，中国香港数学奥林匹克）解：如图，以边BC 的中垂线为轴，作ABP V 的轴对称DCP V ，连结AD 、CD 、PD ．易知四边形ABCD 为等腰梯形，则A 、B 、C 、D 四点共圆．因为2DCB ABC ACB ∠=∠=∠，所以DCA ACB ∠=∠．在上述圆中，可得»»DA AB =．于是，DA =AB =DC =AP ． 故APD V 是正三角形，且D 是APC V 的外心．此时，1122PAC PDC PAB ∠=∠=∠．故13PAC BAC ∠=∠．已知在ABC V 中，70A ∠=︒，90B ∠=︒，点A 点是'A ，点B 关于AC 的对称点是'B ，点C 关于是'C ．若ABC V 的面积是1，则'''A B C V连结'BB ，并延长交''C A 于点D ，交AC 于点E ．由题设 'C B BC =，'A B BA =，A C ∥''A C ，''AC A C =， 'BB AC ⊥，'B E BE =，得'3B D BE =． 故'''11'''33322A B C ABC S B D A C BE AC S =⋅=⨯⋅==V V ．。