传热学圆柱圆球导热微分方程的推导
圆柱体导热微分方程式的推导
圆柱体导热微分方程式的推导引言在热传导过程中，了解物体内部的温度分布对于热工系统的分析和设计非常重要。
导热微分方程式是描述热传导的数学模型,在材料传导、热交换和热工系统模拟等领域具有广泛的应用。
本文将推导圆柱体导热微分方程式。
首先，我们将介绍圆柱体的基本几何特征以及热传导的基本假设。
然后，我们将基于热传导的一维形式和连续介质假设来推导导热微分方程式。
最后，我们将讨论方程式的物理含义和应用场景。
圆柱体的基本几何特征圆柱体是一个具有圆形截面的立体形状。
我们假设圆柱体的高度为H，半径为R。
在导热微分方程式的推导中，我们将围绕圆柱体的径向(r)和轴向(z)方向进行分析。
热传导的基本假设在导热微分方程式的推导中，我们做出以下基本假设：1.圆柱体是均匀的连续介质，其物理特性（如导热系数）在整个物体中保持不变。
2.圆柱体内部没有内部热源，热传导仅取决于不同位置之间的温度差异。
3.热传导是各向同性的，即在任何方向上传导的热量与该方向上的温度梯度成正比。
4.我们只考虑圆柱体的稳态热传导，即在不同位置和时间上热量传递均保持不变。
推导导热微分方程式为了推导导热微分方程式，我们将采用一维热传导方程式并假设圆柱体的热传导仅在径向发生。
首先，在圆柱体内建立一个以半径r和高度z为自变量的坐标系。
然后，我们考虑在坐标系中的一个微小体积元素。
这个微小体积元素的体积为dV，其内部的温度为T(r,z)。
对于微小体积元素，径向的热传导可以通过Fourier’s Law描述，即：q_r = -k * (dT/dr)其中，q_r是径向的热流密度，k是圆柱体的导热系数，dT/dr是温度在径向上的梯度。
然后，我们考虑圆柱体在径向上的热传导。
我们假设圆柱体在ρ方向上热传导流量的变化仅取决于圆柱体在ρ方向上相邻点的温度差异。
因此，可以得到一个微分形式的方程：∂q_r/∂r * dA = -ρ * c * dT/dt * dV其中，ρ是圆柱体的密度，c是圆柱体的比热容，dT/dt是温度在时间上的变化率，dA是圆柱体在ρ方向上的截面积。
传热学导热微分方程推导
传热学导热微分方程推导
摘要：
一、传热学简介
1.传热学基本概念
2.热量传递过程的分类
二、导热微分方程的推导
1.稳态传热过程的微分方程
2.非稳态传热过程的微分方程
三、圆柱坐标系下的导热微分方程推导
1.圆柱坐标系的建立
2.傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用
3.能量守恒定律的应用
正文：
传热学是一门研究热量传递规律的学科，它涉及到物体内和物体之间的热量传递过程。
根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为稳态传热过程和非稳态传热过程。
导热微分方程是传热学中的一个重要概念，用于描述热量在物体中的传递过程。
我们可以通过推导来了解其背后的原理。
首先，我们来看稳态传热过程的微分方程。
在稳态传热过程中，物体内部的温度分布不随时间变化，因此可以得到一个关于温度分布的微分方程。
接下来，我们来看非稳态传热过程的微分方程。
在非稳态传热过程中，物
体内部的温度分布随时间变化，因此需要引入时间的变量。
通过一定的推导，我们可以得到一个关于温度分布和时间的微分方程。
此外，我们还可以通过圆柱坐标系来推导导热微分方程。
首先，我们需要建立圆柱坐标系，然后根据傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用，我们可以得到关于温度分布的微分方程。
最后，根据能量守恒定律，我们可以得到一个关于热量传递过程的微分方程。
总之，传热学导热微分方程的推导是一个复杂的过程，需要我们掌握稳态传热过程和非稳态传热过程的微分方程，以及圆柱坐标系下的导热微分方程推导方法。
圆柱体导热微分方程式的推导过程是什么
圆柱体导热微分方程式的推导过程是什么导热微分方程式简介导热微分方程式用于描述物体内部的温度传导过程。
对于圆柱体的导热微分方程式，它描述了圆柱体内部各点温度随时间和空间位置的变化情况。
圆柱坐标系下的导热微分方程式圆柱坐标系（r, θ, z）下，圆柱体的导热微分方程式可以表示为：∂u/∂t = α[(∂^2u/∂r^2) + (1/ r)(∂u/∂r) + (1/ r^2)(∂^2u/∂θ^2) + (∂^2u/∂z^2)]其中，u是圆柱体内各点的温度，t表示时间，r、θ、z分别代表圆柱体的径向、角度和轴向。
推导过程为了推导圆柱体导热微分方程式，我们需要引入热传导方程和圆柱坐标系下的拉普拉斯算子。
热传导方程描述了温度随时间的变化，可表示为：∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2)在圆柱坐标系下，通过变量变换，我们可以将热传导方程转换为圆柱坐标系下的形式。
设 r = sqrt(x^2 + y^2)，θ = arctan(y/x)，z = z，则可以得到以下变换关系：x = rcosθy = rsinθz = z首先，对上述变换关系求偏导数，计算 x、y 和 z 对 r、θ 和 z 的偏导数。
∂x/∂r = cosθ∂x/∂θ = -rsinθ∂y/∂r = sinθ∂y/∂θ = rcosθ∂z/∂z = 1接下来，我们计算 u 对 x、y 和 z 的偏导数。
∂u/∂x = (∂u/∂r)(∂r/∂x) + (∂u/∂θ)(∂θ/∂x)= (∂u/∂r)(cosθ) + (∂u/∂θ)(-rsinθ/√(x^2 + y^2))∂u/∂y = (∂u/∂r)(∂r/∂y) + (∂u/∂θ)(∂θ/∂y)= (∂u/∂r)(sinθ) + (∂u/∂θ)(rsinθ/√(x^2 + y^2))∂u/∂z = (∂u/∂z)现在，我们计算 u 对 r、θ 和 z 的二阶偏导数。
导热微分方程在柱、球坐标系下的变换
传热学中研究导热问题， 当所分析的对象为轴对称 （圆柱、 圆筒或圆球） 时， 采用圆柱坐标系（r,φ，θ）更为方便。
不仅省去了直角坐标系下繁杂的计算而 且公式简单容易计算。
在此运用工科数学分析中的方法对此进行推导及应用。
1、圆柱坐标系下的导热微分方程推导假定所研究的物体是各向同性的连续介质， 其导热系数λ、 比热容 c 和密度ρ均为已知， 3 并假设物体内具有内热源，其强度为 qv(w/m ).基于上述各项假设，在柱坐标系中，从进行 导热过程的物体中分割出一个微元体。
如图１.根据能量守恒与转化定律，对微元体进行热 平衡分析：导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能 的增加（Ⅲ）下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三项：在 d τ时间内，沿 r 轴方向：τϕdzd rd q r r =Φτϕλτϕλdzd rd rt d dzd rd q r rt r ∂∂-=Φ∴-=∂∂τϕλdzd drd rt r r d d r dr d d dr r r r r dr r )(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++ ○1 在 d τ时间内，沿 ϕ轴方向：τϕλϕλτϕϕϕϕdrdzd t r t r q drdzd q ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ11 τϕϕλϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕdzd drd t r d d d )1(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++ ○2 在 d τ时间内，沿 z 轴方向：τϕλλτϕdrd rd z t ztq drd rd q z z z z ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ τϕλdzd drd zt r z z dz dz z z z z dz z )(∂∂∂∂=ΦΦ∴∂Φ∂=Φ-Φ+-+ ○3 将 r 、Φ、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :I=○1+○2+○3在 d τ时间内，微元体中内热源的发热量为Ⅱ=dzdr rdrd q v ϕ在 d τ时间内，微元体中热力学能的增量为Ⅲ=τϕτρdzd rdrd t c ∂∂ 联立I ，III ，II 可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：)()(1)(12zt z t r r t r r r r q t c v ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+=∂∂λϕλϕλτρ2、圆球坐标系下的导热微分方程推导在球坐标系中，从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。
圆柱体导热微分方程的推导
圆柱体导热微分方程的推导在热传导领域，导热微分方程是一个重要的方程，它描述了热量在固体中的传递过程。
本文将推导圆柱体导热微分方程，以理解圆柱体的热传导特性。
我们考虑一个理想的圆柱体，假设圆柱体材料均匀且导热性能不随温度变化。
设圆柱体的半径为 R，高度为 H。
我们希望推导出圆柱体内部的温度分布满足的微分方程。
首先，我们假设圆柱体内部的温度分布是关于时间 t 和半径 r 的函数，即 T(t, r)。
根据热传导的基本定律，热量沿着温度梯度的方向传播，传播速度与温度梯度成正比。
在平衡状态下，热量传导的速度与热量的损失相等。
因此，我们可以得到以下方程：\[ \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = -\alpha \cdot \frac{{\partial^2 T}}{{\partial r^2}} \]其中，\(\alpha\) 是材料的热导率。
继续推导，我们可以应用圆柱坐标系下的拉普拉斯算子 \(abla^2\)，它可以表示为：\[abla^2 = \frac{1}{{r}} \cdot \frac{{\partial}}{{\partial r}} \left( r \cdot\frac{{\partial}}{{\partial r}} \right) + \frac{{\partial^2}}{{\partial z^2}} \] 将这个算子应用于 T(t,r)，我们有：\[ \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = -\alpha \cdot \left[ \frac{1}{{r}} \cdot\frac{{\partial}}{{\partial r}} \left( r \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial r}} \right) + \frac{{\partial^2 T}}{{\partial z^2}} \right] \]为了推导圆柱体的导热微分方程，我们需要将上式进行简化。
圆柱坐标系的导热微分方程推导过程
圆柱坐标系的导热微分方程推导过程引言在热传导领域中，导热微分方程（heat conduction equation）是用来描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
圆柱坐标系是一种常用的坐标系，用来描述具有圆柱体形状的物体。
本文将对圆柱坐标系下的导热微分方程进行推导。
圆柱坐标系的基本概念在圆柱坐标系下，我们用三个坐标参数来描述空间中的点，即：•r：径向距离，表示点到坐标原点的距离•θ：极角，表示从坐标轴x轴正向逆时针旋转的角度•z：高度，表示点在坐标轴z方向上的位置圆柱坐标系下的温度场在圆柱坐标系下，假设热传导介质的温度分布为T(r, θ, z, t)，其中t表示时间。
我们将温度T分解为平均温度和扰动温度的和：T(r, θ, z, t) = T0(r, θ, z) + T1(r, θ, z, t)其中T0是平均温度，T1是扰动温度。
圆柱坐标系中的热传导模型根据热传导理论，热传导过程可以用热传导方程描述。
在圆柱坐标系下，考虑热传导方程的径向、周向和轴向三个方向的贡献。
径向热传导在径向方向上，热传导导数可以表示为：∂²T/∂r²。
周向热传导在周向方向上，圆柱坐标系的角度θ是变化的，因此需要考虑周向热传导的导数。
根据链式法则，周向热传导导数可以表示为：1/r ∂/∂θ (r ∂T/∂θ)。
轴向热传导在轴向方向上，热传导导数可以表示为：∂²T/∂z²。
综合考虑这三个方向的热传导导数，热传导方程可以表示为：∂T/∂t = α[1/r ∂/∂θ (r ∂T/∂θ) + ∂²T/∂r² + ∂²T/∂z²]其中α为热扩散系数。
推导过程为了推导出圆柱坐标系下的导热微分方程，我们需要考虑热传导方程中的每一项。
对径向项进行推导首先，我们考虑热传导方程中的径向项∂²T/∂r²。
在圆柱坐标系下，根据链式法则，我们有：∂T/∂r = (∂T/∂x) ∂x/∂r + (∂T/∂y)∂y/∂r + (∂T/∂z) ∂z/∂r利用圆柱坐标系下的坐标转换关系，可以得到：∂x/∂r = cosθ，∂y/∂r = sinθ，∂z/∂r = 0将上述关系带入∂T/∂r的表达式中，可以得到：∂T/∂r = cosθ (∂T/∂x) + sinθ (∂T/∂y)再对∂T/∂r进行r方向上的导数运算，即可得到径向项的表达式：∂²T/∂r² =cosθ (∂²T/∂x²) + sinθ (∂²T/∂y²)对周向项进行推导其次，我们来推导热传导方程中的周向项1/r ∂/∂θ (r ∂T/∂θ)。
圆柱的导热微分方程推导
圆柱的导热微分方程推导在热传导过程中，了解导热微分方程对于热学问题的分析和解决非常重要。
在本文中，我们将推导圆柱的导热微分方程，以深入了解圆柱的传热行为。
圆柱的热传导定律首先，让我们回顾一下热传导定律。
根据热传导定律，热量通过物体的传导方式传递。
对于一个静态的圆柱体，热流密度（单位面积的热量传递速率）可以由以下公式给出：$$ \\mathbf{q} = - k \ abla T $$其中，$\\mathbf{q}$ 是热流密度矢量，k是热导率，ablaT是温度的梯度。
圆柱的几何特征接下来，我们将考虑一个半径为R、高度为L的均匀圆柱体。
为了推导圆柱的导热微分方程，我们需要定义一些几何参量：•r：圆柱体内部的径向距离•$\\theta$：圆柱体内部的极角•z：圆柱体内部的高度在球坐标系下，我们可以利用这些坐标来描述圆柱体内的点。
现在，让我们来看看如何推导圆柱的导热微分方程。
圆柱的导热微分方程圆柱体的导热微分方程可以通过热传导定律和几何特征共同推导得出。
首先，我们需要将热流密度向量 $\\mathbf{q}$ 在球坐标系下的形式转换为直角坐标系下的形式。
由于圆柱体是各向同性的，我们可以假设它的导热性质在各个方向上都是一致的。
因此，我们可以写出 $\\mathbf{q}$ 的直角坐标系表示形式：$$ \\mathbf{q} = q_r \\mathbf{e}_r + q_{\\theta} \\mathbf{e}_{\\theta} + q_z \\mathbf{e}_z $$其中，$\\mathbf{e}_r$、$\\mathbf{e}_{\\theta}$ 和 $\\mathbf{e}_z$ 分别是径向、极角和轴向方向的单位向量。
接下来，我们需要计算温度梯度ablaT的球坐标系表示形式。
根据球坐标系下的梯度计算公式，我们可以得到：$$ \ abla T = \\frac{\\partial T}{\\partial r}\\mathbf{e}_r +\\frac{1}{r}\\frac{\\partial T}{\\partial \\theta}\\mathbf{e}_\\theta +\\frac{\\partial T}{\\partial z}\\mathbf{e}_z $$现在，我们可以将 $\\mathbf{q}$ 和ablaT的直角坐标系表示形式代入热传导定律的方程中，得到：$$ q_r \\mathbf{e}_r + q_{\\theta} \\mathbf{e}_{\\theta} + q_z \\mathbf{e}_z = - k \\Bigg(\\frac{\\partial T}{\\partial r}\\mathbf{e}_r +\\frac{1}{r}\\frac{\\partial T}{\\partial \\theta}\\mathbf{e}_\\theta +\\frac{\\partial T}{\\partial z}\\mathbf{e}_z\\Bigg) $$由于圆柱体是各向同性的，我们可以使该方程在各个方向上成立。
圆柱体导热微分方程式的推导公式是什么
圆柱体导热微分方程式的推导公式1. 引言导热微分方程是研究物体内部温度变化规律的重要方程之一。
在热力学和热传导领域，导热微分方程常被用于描述热传导过程中温度的变化。
圆柱体是一种常见的几何形状，在实际应用中经常会遇到。
本文将推导出圆柱体导热微分方程的具体推导公式。
2. 圆柱体导热微分方程为了推导圆柱体导热微分方程，我们需要定义一些符号和假设。
假设圆柱体具有均匀的热导率，且热传导只在圆柱体内部发生，与表面之间的热传导忽略不计。
此外，我们假设圆柱体的热传导是一维的，并且只发生在圆柱体的径向方向。
首先，我们需要定义圆柱体的物理属性： - r：圆柱体的半径； - L：圆柱体的长度； - T(r,t)：圆柱体内部的温度，其中r和t分别表示径向和时间变量。
根据热传导定律，我们知道热传导速率正比于温度梯度。
考虑圆柱体内部的热传导，可以得到以下关系式：$$ \\frac{\\partial T}{\\partial t} = k \\cdot \\frac{1}{r} \\cdot\\frac{\\partial}{\\partial r} \\left(r \\cdot \\frac{\\partial T}{\\partial r}\\right) $$其中，k表示圆柱体的热传导系数。
3. 推导过程为了推导上述方程，我们将分别对时间和径向变量进行求导。
首先，对时间变量进行求导：$$ \\frac{\\partial T}{\\partial t} $$接下来，对径向变量进行求导：$$ \\frac{\\partial T}{\\partial r} $$将上述两个求导结果带入热传导定律的关系式，可以得到圆柱体导热微分方程的推导公式：$$ \\frac{\\partial T}{\\partial t} = k \\cdot \\frac{1}{r} \\cdot\\frac{\\partial}{\\partial r} \\left(r \\cdot \\frac{\\partial T}{\\partial r}\\right) $$4. 总结圆柱体导热微分方程式的推导公式为：$$ \\frac{\\partial T}{\\partial t} = k \\cdot \\frac{1}{r} \\cdot\\frac{\\partial}{\\partial r} \\left(r \\cdot \\frac{\\partial T}{\\partial r}\\right) $$在实际应用中，该方程可用于描述圆柱体内部温度随时间和径向变化的规律。
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析柱坐标和球坐标是常见的坐标系，导热微分方程（heat conduction equation）描述了物体内部的温度分布随时间的演化规律。
本文将介绍柱坐标和球坐标下导热微分方程的推导及分析。
1.柱坐标下的导热微分方程推导：在柱坐标系下，空间点由径向坐标$r$、轴向坐标$z$和角度坐标$\theta$表示。
设物体的温度分布为$u(r,z,t)$，其中$t$为时间。
首先考虑物体内部的导热传导，可以利用热传导定律得到：$$\mathbf{q} = -k\nabla u$$其中，$\mathbf{q}$为热流密度矢量，$k$为导热系数。
将柱坐标系下的梯度算子运算展开，并考虑到$u$仅与$r$和$z$有关，导热传导方程可以表示为：$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partialr}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{k}\frac{\partial u}{\partial t}$$2.球坐标下的导热微分方程推导：在球坐标系下，空间点由径向坐标$r$、极角坐标$\theta$和方位角坐标$\phi$表示。
设物体的温度分布为$v(r,\theta,\phi,t)$。
同样考虑物体内部的导热传导，应用热传导定律可得：$$\mathbf{q} = -k\nabla u$$展开梯度算子运算后可得：$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partialr}\left(r^2\frac{\partial v}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial v}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v}{\partial \phi^2}= \frac{1}{k}\frac{\partial v}{\partial t}$$3.导热微分方程的分析：导热微分方程是一个二阶偏微分方程，描述了物体内部温度分布随时间的演化规律。
导热微分方程在柱坐标下的推导
导热微分方程在柱坐标下的推导引言导热微分方程是描述热传导现象的重要方程之一。
它可以用于分析固体、液体和气体等物质中的热传导过程。
在柱坐标系下，导热微分方程的推导与直角坐标系有所不同。
本文将介绍导热微分方程在柱坐标下的推导过程。
一、导热微分方程的基本概念导热微分方程描述了热量在物质中的传递方式。
在柱坐标系中，我们考虑一个无限长的圆柱体，其中热量只在径向方向上传导。
我们假设圆柱体的体积元素为dV，含有的热量为dQ，单位时间内通过侧面传导出的热量为Q。
根据能量守恒定律，可以得到热传导方程：\[ \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \alpha \left(\frac{{\partial^2 u}}{{\partialr^2}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\right) \]其中，u(r,t)表示圆柱体内某点的温度，$\\alpha$为热扩散系数。
二、推导过程为了推导出导热微分方程，我们需要考虑热传导的基本物理规律。
首先，根据傅里叶热传导定律，热传导的速率与温度梯度成正比。
其次，我们需要考虑柱坐标系下径向距离的变化。
根据傅里叶热传导定律，我们可以得到表达式：\[ \vec{q} = -\lambdaabla T \]其中，$\\vec{q}$为热流密度矢量，$\\lambda$为热导率，ablaT为温度梯度。
在柱坐标系下，温度梯度可以表示为：\[abla T = \frac{\partial T}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial\theta} \hat{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \hat{z} \]其中，$\\hat{r}$、$\\hat{\\theta}$和$\\hat{z}$分别为柱坐标系下的单位矢量。
圆柱坐标下的导热微分方程推导
圆柱坐标下的导热微分方程推导在研究热传导问题时，常用的坐标系之一是圆柱坐标系。
圆柱坐标系由径向坐标r、方位角坐标$\\theta$和轴向坐标z组成。
在这个坐标系下，我们可以推导出导热微分方程。
首先，考虑一个圆柱体内的微小体积元dV，其体积为$dV=r \\, dr \\, d\\theta \\, dz$。
假设该体积元内的温度为$T(r, \\theta, z, t)$，其中t为时间。
我们的目标是推导出描述温度分布随时间和空间变化的导热微分方程。
根据热传导定律，热流密度矢量$\\textbf{q}$与温度梯度ablaT成正比。
在圆柱坐标系下，热流密度矢量$\\textbf{q}$可以表示为$\\textbf{q} = - k\ abla T$，其中k为热导率。
我们可以将ablaT表达为$$\ abla T = \\frac{\\partial T}{\\partial r} \\textbf{i} +\\frac{1}{r}\\frac{\\partial T}{\\partial \\theta} \\textbf{j} + \\frac{\\partial T}{\\partial z} \\textbf{k}$$其中，$\\textbf{i}$、$\\textbf{j}$和$\\textbf{k}$是单位矢量。
由于我们考虑的是稳态情况，没有时间的变化，因此可以省略时间导数项$\\frac{\\partial T}{\\partial t}$。
根据热传导定律，热流密度的散度等于单位体积内的热源强度。
在没有热源的情况下，热流密度矢量的散度为零。
根据散度定理，我们可以得到$$\ abla \\cdot \\textbf{q} = -k \ abla \\cdot (\ abla T) = 0$$展开上述表达式并代入$\\textbf{q} = - k\ abla T$，得到$$\ abla \\cdot \\textbf{q} = -k \\left(\\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}(r\\frac{\\partial T}{\\partial r}) + \\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2 T}{\\partial \\theta^2} + \\frac{\\partial^2 T}{\\partial z^2}\\right) = 0$$继续展开，并将方程整理成一般形式，得到导热微分方程$$\\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}(r\\frac{\\partial T}{\\partial r}) + \\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2 T}{\\partial \\theta^2} + \\frac{\\partial^2T}{\\partial z^2} = 0$$这就是圆柱坐标系下的导热微分方程。
圆柱坐标系的导热微分方程推导过程
圆柱坐标系的导热微分方程推导过程引言在热传导领域，导热微分方程是非常重要的一种方程。
它描述了物质内部的热传导过程，并可以用来解决各种热传导问题。
本文将介绍在圆柱坐标系中推导导热微分方程的过程。
圆柱坐标系简介圆柱坐标系是一种常用的坐标系，适用于具有圆柱对称性的问题。
在圆柱坐标系中，我们用(r,θ,z)来表示一个点的位置，其中r表示径向坐标，θ表示极角，z表示轴向坐标。
推导导热微分方程假设我们要推导圆柱坐标系中的导热微分方程，即热传导方程。
首先，我们回顾一下热传导方程的一般形式：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)其中，u是温度场，t是时间，α是热扩散系数，x、y和z是坐标。
在圆柱坐标系中，我们需要将热传导方程转化为该坐标系下的形式。
首先，我们考虑径向坐标(r)方向上的导热微分方程。
由于存在圆柱对称性，温度场u不依赖于θ，因此∂u/∂θ = 0。
另外，由于温度场u也不依赖于时间t，∂u/∂t = 0。
这样，径向方向上的导热微分方程可以简化为：∂u/∂r = (1/r)(∂/∂r)(r∂u/∂r)接下来，我们考虑极角(θ)方向上的导热微分方程。
由于圆柱对称性，温度场u也不依赖于z，因此∂u/∂z = 0。
这样，极角方向上的导热微分方程可以简化为：(1/r²)(∂²u/∂θ²) = 0最后，我们考虑轴向坐标(z)方向上的导热微分方程。
在这个方向上，径向坐标r不变，极角θ不变，因此导热方程可以化简为：∂u/∂z = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)将上述三个方程整合起来，我们可以得到圆柱坐标系下的导热微分方程：∂u/∂t = α[(1/r)(∂/∂r)(r∂u/∂r) + (1/r²)(∂²u/∂θ²) + ∂²u/∂z²]总结本文介绍了在圆柱坐标系中推导导热微分方程的过程。
圆柱体导热微分方程式的推导过程是
圆柱体导热微分方程式的推导过程圆柱体是一种常见的几何形状，在许多实际问题中都需要进行热传导的分析和计算。
本文将介绍圆柱体导热微分方程式的推导过程。
1. 定义问题我们考虑一个圆柱体，在其中传导热量。
为了简化问题，我们假设圆柱体是均匀的，并且导热性质是各向同性的。
我们的目标是推导出描述圆柱体内部温度分布随时间变化的微分方程式。
2. 基本假设在推导过程中，我们作出以下基本假设： - 圆柱体内部的热量传导仅发生在径向方向； - 圆柱体的金属壁是均匀的，且热量沿着壁的方向传导； - 圆柱体的内外表面温度保持不变。
3. 坐标系统选择为了建立数学模型，我们需要选择一个适当的坐标系统。
对于圆柱体，我们选择圆柱坐标系。
在圆柱坐标系中，我们引入变量 r、θ 和 z，分别表示径向、弧长和轴向的距离。
其中，r 和 z 的范围分别为0 ≤ r ≤ R 和0 ≤ z ≤ L，其中 R 和 L 分别是圆柱体的半径和长度。
4. 假设温度分布形式我们假设圆柱体内部的温度分布为函数 T(r, z, t)，其中 t 表示时间。
根据以上假设，温度 T 仅依赖于径向距离 r、轴向距离 z 和时间 t。
5. 推导过程根据热传导定律，换热量与温度梯度成正比。
而温度梯度可以由温度函数的偏导数表示。
首先，我们考虑圆柱体内部的热量流动。
根据基本假设，热量传导仅发生在径向方向。
因此，在圆柱坐标系中，我们可以得到径向热流密度的表达式：q_r = -κ ∂T/∂r其中，q_r 表示径向热流密度，κ 表示圆柱体的热导率。
负号表示热量从高温区流向低温区。
其次，我们考虑圆柱体内部的热量积累。
热量积累率由热容和温度变化率决定。
我们假设圆柱体的热容为常数，记为 C。
由此，我们可以得到热量积累率的表达式：C ∂T/∂t最后，根据热量守恒定律，热量传导与热量积累相平衡。
将以上两部分整合，我们可以得到热传导微分方程式：C ∂T/∂t = 1/r ∂/∂r (rκ ∂T/∂r) + ∂^2T/∂z^26. 边界条件为了解决上述的微分方程式，我们需要给出适当的边界条件。
圆柱坐标系导热微分方程推导过程
圆柱坐标系导热微分方程推导过程在热传导问题中，导热微分方程是用来描述物体内部温度分布的数学方程。
本文将以圆柱坐标系为例，推导圆柱坐标系下的导热微分方程。
圆柱坐标系介绍圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系，它由径向（r）、极角（θ）和轴向（z）三个坐标轴构成。
在圆柱坐标系中，一个点的位置可以由这三个坐标确定。
圆柱坐标系下的热传导问题考虑一个圆柱形物体，其内部存在温度分布。
我们希望推导出描述这种温度分布的导热微分方程。
假设该物体的温度分布是一个标量函数T(r, θ, z)，表示点(r, θ, z)处的温度。
根据热传导原理，温度变化率与热通量成正比，可以得到导热微分方程。
在圆柱坐标系中，导热微分方程可以表示为：∂T/∂t = α(1/r ∂/∂r (r ∂T/∂r) + 1/r^2 ∂^2T/∂θ^2 + ∂^2T/∂z^2)其中，∂T/∂t表示温度随时间的变化率，∂T/∂r、∂2T/∂θ2和∂2T/∂z2分别表示温度分别关于径向、极角和轴向变化的速率。
α为热扩散系数，是物质的一个性质。
推导过程为了推导出上述的导热微分方程，需要将温度的变化率与热通量建立联系。
我们使用热传导定律来描述热通量的传递。
根据热传导定律，热通量（q）与温度梯度（∇T）成正比。
可以表示为：q = -k ∇T其中，k为热导率，是物体的一个性质。
根据圆柱坐标系的梯度形式，可以得到温度梯度的表达式：∇T = (∂T/∂r) er + (1/r ∂T/∂θ) eθ + (∂T/∂z) ez将上述的温度梯度表达式代入热通量表达式，可以得到：q = -k[(∂T/∂r) er + (1/r ∂T/∂θ) eθ + (∂T/∂z) ez]根据能量守恒原理，单位体积内的净热通量等于单位体积内的热能变化率。
可以用下面的方程表示：ρc ∂T/∂t = -∇·q + Q其中，ρ为物体的密度，c为物体的比热容，Q为单位体积内的热源。
将上面的热通量表达式代入能量守恒方程，可以得到：ρc ∂T/∂t = -∇·(-k[(∂T/∂r) er + (1/r ∂T/∂θ) eθ + (∂T/∂z) ez]) + Q化简上述方程中的散度项，可以得到：ρc ∂T/∂t = k(2∂^2T/∂r^2 + (1/r)∂T/∂r + (1/r^2)∂^2T/∂θ^2 + ∂^2T/∂z^2) + Q根据热扩散定律，热扩散系数α与热导率k、密度ρ和比热容c成正比。
圆柱体导热微分方程的推导过程
圆柱体导热微分方程的推导过程在热传导领域中，导热微分方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
本文将详细推导圆柱体导热微分方程。
圆柱坐标系为了推导圆柱体导热微分方程，我们需要使用圆柱坐标系。
在圆柱坐标系中，一个点由三个坐标确定：径向距离r，方位角$\\theta$ 和轴向距离z。
热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布的方程。
根据热传导方程，热量在物体内部的传导速率正比于物体温度的变化率。
在一维情况下，热传导方程可以表示为：$$\\frac{{\\partial T}}{{\\partial t}} = \\alpha \\frac{{\\partial^2T}}{{\\partial x^2}}$$其中，T是温度，t是时间，$\\alpha$ 是热扩散系数。
为了推导圆柱体导热微分方程，我们需要将一维热传导方程转化为圆柱坐标系。
圆柱坐标系中的热传导方程在圆柱坐标系中，我们可以进行坐标变换，将一维热传导方程转化为圆柱坐标系下的方程。
根据坐标变换关系，我们有：$$\\frac{{\\partial T}}{{\\partial t}} = \\alpha \\left( \\frac{{\\partial^2 T}}{{\\partial r^2}} + \\frac{1}{r} \\frac{{\\partial T}}{{\\partial r}} +\\frac{1}{r^2} \\frac{{\\partial^2 T}}{{\\partial \\theta^2}} + \\frac{{\\partial^2 T}}{{\\partial z^2}} \\right)$$这就是圆柱坐标系下的热传导方程。
我们可以将这个方程简化，以得到圆柱体导热微分方程。
圆柱体导热微分方程对于圆柱体导热微分方程，我们可以假设温度分布只在径向有变化，并且不随方位角和轴向变化。
这样，圆柱坐标系下的热传导方程可以简化为：$$\\frac{{\\partial T}}{{\\partial t}} = \\alpha \\left( \\frac{{\\partial^2 T}}{{\\partial r^2}} + \\frac{1}{r} \\frac{{\\partial T}}{{\\partial r}} \\right)$$ 这就是圆柱体导热微分方程。
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析哈尔滨工业大学市政学院摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题关键词：柱坐标球坐标导热微分方程1.柱坐标系下导热微分方程假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源。
用单位体积单位时间内所发出的热量 qv（w/m *3)表示内热源的强度。
基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体,如图.根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析,那么在dτ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量(Ⅱ）＝微元体中热力学能的增加（Ⅲ）下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三项：在 dτ时间内，沿 r 轴方向:τϕdzd rd q r r =Φτϕλτϕλdzd rd rt d dzd rd q r rt r ∂∂-=Φ∴-=∂∂ τϕλdzd drd r t r r d d r dr d d dr r r r r dr r )(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++错误! 在 dτ时间内，沿 ϕ轴方向：τϕλϕλτϕϕϕϕdrdzd t r t r q drdzd q ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ11 τϕϕλϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕdzd drd t r d d d )1(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++ 错误! 在 dτ时间内,沿 z 轴方向：τϕλλτϕdrd rd z t ztq drd rd q z z z z ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ τϕλdzd drd z t r z zdz dz z z z z dz z )(∂∂∂∂=ΦΦ∴∂Φ∂=Φ-Φ+-+ ○，3将 r 、Φ、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 ：I=错误!+错误!+错误!在 dτ时间内，微元体中内热源的发热量为Ⅱ=dzdr rdrd q v ϕ在 dτ时间内,微元体中热力学能的增量为Ⅲ=τϕτρdzd rdrd t c ∂∂ 联立I ，III ，II 可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：)()(1)(12zt z t r r t r r r r q t cv ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+=∂∂λϕλϕλτρ 2.球坐标系下导热微分方程在球坐标系中,从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。
传热学圆柱圆球导热微分方程的推导
疑问解答：面积是关于r的表达式，而我们要求的是某一特定面积内热量关于r的变化率，而不是单位面积圆柱：r方向：经r 表面导入热量：r r q rd dzd φτΦ=对于r 与r+dr 表面，有关系式：()()r d r rr q r d d q r r d rd d zd d rd d zd d rr r r λφτφτ+∂∂-Φ-Φ∂∂Φ∂===∂∂∂r 方向净热量:()r r dr t r r d d dr drd dzd r r λφτ+∂∂∂Φ∂∴Φ-Φ=-=∂∂ φ经方向：φ经方向导入热量：=q drdzd φφτΦ 1()((13)d d d tq drdzd P drdzd d r φφφφτλτφφφφφ+Φ-Φ∂Φ∂∂∂===-∂∂∂∂ 书上有公式）11=()()d ttd d rdrdzd d drdzd d r r φφφφλφτλφτφφφφ+∴∂∂∂∂Φ-Φ=∂∂∂∂方向净热量：经Z 方向：经Z 方向导入热量：z z d q rd drd φτΦ= ()()()z dz zz z z dz d d q rd drd dz z z ttd d r d drdzd rd drdzd z z z z z φτλφτλφτ++Φ-Φ∂Φ∂==∂∂∂∂∂∂Φ-Φ==∂∂∂∂∴ 方向的净热量为：对于整个微元：21()+()()11()+()()cm t tqt t c rd drdzd r drd dzd drdzd d rd drdzd r rr z z tqt tc r r r r r z z τρφτλφτλφτλφττφφρλλλτφφ∆∆∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂⇓∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂（）圆柱导热微分方程：圆球：r 方向:2sin s r d d θϕθ=沿r 方向导入的热量为：2sin r r d q r d d d θϕθτΦ= 22(-(sin )()sin r dr rrr dr rr r dr d d d r dr rr ttd d dr r d d d dr r drd d d r r r r r λθθϕτλθθϕτΦ+ΦΦ+Φ+-∂Φ=∂∴∂Φ∂∂∂∂Φ-=-=-=∂∂∂∂∂ 为微元方向导出热量）经方向导入与导出净热量为：ϕ在方向上：S rd dr θ=d q rd drd ϕϕθτΦ= (13)11=-=--))sin sin P d d d d q d t t d d d rd drd d d drd d r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕλθτϕλθτϕϕϕθϕϕθϕ+Φ+Φ-Φ∂=∂∂Φ∂∂∂∂Φ-Φ=∂∂∂∂∂ 沿方向的净导热量为：（（θ在方向：sin d q r d drd θθθϕτΦ=1(sin )=-(sin )(sin )d d d d tr d drd d r ttd d d drd d d d drd θθθθθθθλθϕτθθθθθλθϕτθλθθϕτθθθθ++Φ-Φ∂Φ∂∂==-∂∂∂∴∂∂∂∂Φ-Φ-=∂∂∂∂ 沿方向的净热量为：对于整个微元：2sin r dv S dr r d d drθϕθ==22222221sin ()sin )(sin )sin 111())(sin )sin sin t t t t cr d d d rd r d rd d d d d rd d d d d rd r r ttttc r r r r r r ρθϕθτλθθϕτλθτϕλθθϕττϕθϕθθρλλλθτθϕϕθθθ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂⇓∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂（（。
传热学圆柱导热微分方程公式
传热学圆柱导热微分方程公式在传热学中，圆柱导热微分方程是一种重要的方程，用于描述圆柱体中的热传导过程。
通过这个方程，我们可以推导出圆柱体内部温度分布的解析解，并从中了解圆柱体的热传导特性。
圆柱导热微分方程的推导假设我们研究的是一个半径为r，长度为L的圆柱体内的热传导过程。
为了简化问题，我们假设圆柱体是各向同性的，并忽略边界效应。
根据热传导的基本原理，单位时间内通过圆柱体表面的热量等于圆柱内部温度梯度的负值乘以单位面积上的热传导系数。
根据傅里叶热传导定律，这个表达式可以写为：$$ Q = -kA \\frac{dT}{dr} $$其中，Q表示通过单位时间传导到圆柱体内部的热量，k是热传导系数，A是单位面积，$\\frac{dT}{dr}$表示温度随半径的梯度。
根据热量守恒定律，单位时间内通过截面面积为A的圆柱体表面的热量等于单位时间内圆柱体内部温度的变化量乘以圆柱体的体积。
即：$$ Q = \\frac{dQ}{dt} = \\rho c_p A L \\frac{dT}{dt} $$其中，$\\rho$是圆柱体材料的密度，c p是比热容，L是圆柱体的长度，$\\frac{dT}{dt}$表示温度随时间的变化率。
将上述两个等式相等，可以得到：$$ -kA \\frac{dT}{dr} = \\rho c_p A L \\frac{dT}{dt} $$简化上述方程，可得圆柱导热微分方程：$$ \\frac{1}{r} \\frac{d}{dr}\\left(r \\frac{dT}{dr}\\right) =\\frac{1}{\\alpha}\\frac{dT}{dt} $$其中，$\\alpha = \\frac{k}{\\rho c_p}$为热扩散系数。
圆柱导热微分方程的解析解为了求解圆柱导热微分方程的解析解，我们可以引入分离变量法。
假设温度分布T(r,t)可以表示为R(r)T(t)的乘积形式。
圆柱坐标下导热微分方程式的推导
圆柱坐标下导热微分方程式的推导在物理学和工程学中，导热微分方程是描述热传导过程的方程。
在一些问题中，圆柱坐标系是更适合描述系统的一种坐标系。
本文将推导圆柱坐标下的导热微分方程。
首先考虑一个半径为r、高度为h 的圆柱体，其内部存在一个稳态的温度分布。
我们希望通过推导得到圆柱坐标下的导热微分方程来描述这一过程。
假设这个圆柱体是各向同性的，也就是说，热传导性质在各个方向上是相同的。
在圆柱坐标系下，导热方程可以写作：∂T/∂t = α(1/r)(∂/∂r)(r∂T/∂r) + α(1/r2)(∂2T/∂θ^2) + α(∂2T/∂z2)其中，T 是温度分布随时间和空间变化的函数，α 是热扩散系数，r、θ 和 z 分别代表圆柱坐标系中的径向、角度和轴向坐标。
我们现在来推导这个方程。
推导过程首先，我们假设温度分布T(t, r, θ, z) 是时间 t 和空间坐标 r、θ、z 的函数。
接下来，我们对这个函数进行偏导数操作。
首先对时间 t 求偏导数：∂T/∂t接下来，对东直按照径向坐标 r 求偏导数：∂T/∂r然后，将这个结果乘以 1/r：(1/r)(∂T/∂r)接下来，我们对这个结果再次对 r 求偏导数：(∂/∂r)(1/r)(∂T/∂r)接下来，我们考虑角度坐标θ。
由于我们假设了各向同性，角度方向不会影响热传导，因此方程中只存在(∂2T/∂θ2) 一项，乘上 (1/r^2) 后，成为：(1/r2)(∂2T/∂θ^2)最后，我们考虑轴向坐标 z，对 T 求二阶偏导数得到：(∂2T/∂z2)综合以上结果，我们得到圆柱坐标下的导热微分方程：∂T/∂t = α(1/r)(∂/∂r)(r∂T/∂r) + α(1/r2)(∂2T/∂θ^2) + α(∂2T/∂z2)这个方程描述了圆柱坐标下的导热过程，并且考虑了径向、角度和轴向的影响。
总结本文通过推导，得到了圆柱坐标下导热微分方程。
这个方程描述了圆柱体内部的温度分布随时间和空间变化的规律。
圆柱坐标导热微分方程推导
圆柱坐标导热微分方程推导在热传导问题中，导热微分方程是一个重要的数学工具，用于描述热量如何随着时间和空间分布而传递。
本文将推导圆柱坐标下的导热微分方程。
热传导是指物体内部的热量从高温区域自发地流向低温区域的过程。
热传导是由分子间的热运动引起的，分子的热运动导致了热量的传输。
导热微分方程描述了热量的传导速率和传导方向。
在圆柱坐标系中，我们将考虑圆柱体内部的热传导问题。
首先，考虑一个无限长的圆柱体，其轴向位置记为z，径向位置记为r，角度位置记为θ。
我们定义温度分布函数为T(r, θ, z)，表示位置(r, θ, z)处的温度。
为了推导导热微分方程，我们需要考虑热量的传导和热源的产生。
热量的传导可以由热传导定律描述，即傅里叶定律。
根据傅里叶定律，单位面积上的热流密度正比于温度梯度，可以表示为以下方程：q = -k∇T其中，q是单位面积上的热流密度，k是热导率，∇是梯度算子。
在圆柱坐标系下，梯度算子∇可以表示为：∇T = (∂T/∂r)r̂+ (1/r)(∂T/∂θ)θ + (∂T/∂z)ẑ其中，r̂是径向单位矢量，θ是角度单位矢量，ẑ是轴向单位矢量。
将傅里叶定律中的热流密度q和梯度算子∇代入，可以得到以下方程：-k(∂T/∂r)r̂- k(1/r)(∂T/∂θ)θ - k(∂T/∂z)ẑ= 0由于等式左侧的三个项是矢量，它们需要分别等于零。
由此可得圆柱坐标系下的导热微分方程：k(∂T/∂r) = 0k(1/r)(∂T/∂θ) = 0k(∂T/∂z) = 0这三个方程描述了无限长圆柱体内部的导热过程。
第一个方程(k(∂T/∂r) = 0）表明温度改变率沿径向为零。
它表示了在稳态条件下，温度沿径向不变。
第二个方程(k(1/r)(∂T/∂θ) = 0）表明温度改变率沿圆周方向为零。
它表示了在稳态条件下，温度沿圆周方向不变。
第三个方程(k(∂T/∂z) = 0）表明温度改变率沿轴向为零。
它表示了在稳态条件下，温度沿轴向不变。
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疑问
解答：面积是关于r的表达式，而我们要求的是某一特定面积内热量关于r的变化率，而不是单位面积圆柱：
r方向：
经r 表面导入热量：r r q rd dzd φτΦ=
对于r 与r+dr 表面，有关系式：
()()r d r r
r q r d d q r r d rd d zd d rd d zd d r
r r r λφτφτ+∂∂-Φ-Φ∂∂Φ∂===∂∂∂
r 方向净热量
:
()r r dr t r r d d dr drd dzd r r λφτ+∂∂∂Φ∂∴Φ-Φ=-=∂∂ φ经方向：
φ经方向导入热量：
=q drdzd φφτ
Φ 1()((13)d d d t
q drdzd P drdzd d r φφφ
φτλτ
φφφφφ+Φ-Φ∂Φ
∂
∂
∂===-∂∂∂∂ 书上有公式）11=()()d t
t
d d rdrdzd d drdzd d r r φφφφλφτλφτ
φφφφ+∴∂
∂∂
∂Φ-Φ=∂∂∂∂方向净热量：
经Z 方向：
经Z 方向导入热量：
z z d q rd drd φτΦ= ()
()()z dz z
z z z dz d d q rd drd dz z z t
t
d d r d drdzd rd drdzd z z z z z φτλφτλφτ
++Φ-Φ∂Φ
∂
==∂∂∂∂∂
∂Φ-Φ==∂∂∂∂∴ 方向的净热量为：
对于整个微元：
21()+()()11()+()()
cm t t
q
t t c rd drdzd r drd dzd drdzd d rd drdzd r r
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q
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c r r r r r z z τρφτλφτλφτλφτ
τφφρλλλτφφ∆∆∂∂
∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂⇓∂∂
∂∂
∂∂
∂=+∂∂∂∂∂∂∂（）
圆柱导热微分方程：
圆球：
r 方向:
2sin s r d d θϕθ=
沿r 方向导入的热量为：
2
sin r r d q r d d d θϕθτΦ= 22(-(sin )()sin r dr r
r
r dr r
r r dr d d d r dr r
r t
t
d d dr r d d d dr r drd d d r r r r r λθθϕτλθθϕτ
Φ+ΦΦ+Φ+-∂Φ=∂∴∂Φ∂∂∂
∂Φ-=-=-=∂∂∂∂∂ 为微元方向导出热量）经方向导入与导出净热量为：
ϕ在方向上：
S rd dr θ=
d q rd drd ϕϕθτΦ= (13)1
1=-=--))sin sin P d d d d q d t t d d d rd drd d d drd d r ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕλθτϕλθτϕϕϕθ
ϕϕθϕ+Φ
+Φ-Φ∂=∂∂Φ∂∂∂∂Φ-Φ=∂∂∂∂∂ 沿方向的净导热量为：（（
θ在方向：
sin d q r d drd θθθϕτΦ=
1
(sin )
=-(sin )(sin )d d d d t
r d drd d r t
t
d d d drd d d d drd θθθ
θ
θθθλθϕτθθθθθλθϕτθλθθϕτθθθθ++Φ-Φ∂Φ∂
∂==-∂∂∂∴∂
∂∂
∂Φ-Φ-=∂∂∂∂ 沿方向的净热量为：
对于整个微元：
2sin r dv S dr r d d dr
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1
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