传热学圆柱圆球导热微分方程的推导
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疑问
解答：面积是关于r的表达式，而我们要求的是某一特定面积内热量关于r的变化率，而不是单位面积圆柱：
r方向：
经r 表面导入热量：r r q rd dzd φτΦ=
对于r 与r+dr 表面，有关系式：
()()r d r r
r q r d d q r r d rd d zd d rd d zd d r
r r r λφτφτ+∂∂-Φ-Φ∂∂Φ∂===∂∂∂
r 方向净热量
:
()r r dr t r r d d dr drd dzd r r λφτ+∂∂∂Φ∂∴Φ-Φ=-=∂∂ φ经方向：
φ经方向导入热量：
=q drdzd φφτ
Φ 1()((13)d d d t
q drdzd P drdzd d r φφφ
φτλτ
φφφφφ+Φ-Φ∂Φ
∂
∂
∂===-∂∂∂∂ 书上有公式）11=()()d t
t
d d rdrdzd d drdzd d r r φφφφλφτλφτ
φφφφ+∴∂
∂∂
∂Φ-Φ=∂∂∂∂方向净热量：
经Z 方向：
经Z 方向导入热量：
z z d q rd drd φτΦ= ()
()()z dz z
z z z dz d d q rd drd dz z z t
t
d d r d drdzd rd drdzd z z z z z φτλφτλφτ
++Φ-Φ∂Φ
∂
==∂∂∂∂∂
∂Φ-Φ==∂∂∂∂∴ 方向的净热量为：
对于整个微元：
21()+()()11()+()()
cm t t
q
t t c rd drdzd r drd dzd drdzd d rd drdzd r r
r z z t
q
t t
c r r r r r z z τρφτλφτλφτλφτ
τφφρλλλτφφ∆∆∂∂
∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂⇓∂∂
∂∂
∂∂
∂=+∂∂∂∂∂∂∂（）
圆柱导热微分方程：
圆球：
r 方向:
2sin s r d d θϕθ=
沿r 方向导入的热量为：
2
sin r r d q r d d d θϕθτΦ= 22(-(sin )()sin r dr r
r
r dr r
r r dr d d d r dr r
r t
t
d d dr r d d d dr r drd d d r r r r r λθθϕτλθθϕτ
Φ+ΦΦ+Φ+-∂Φ=∂∴∂Φ∂∂∂
∂Φ-=-=-=∂∂∂∂∂ 为微元方向导出热量）经方向导入与导出净热量为：
ϕ在方向上：
S rd dr θ=
d q rd drd ϕϕθτΦ= (13)1
1=-=--))sin sin P d d d d q d t t d d d rd drd d d drd d r ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕλθτϕλθτϕϕϕθ
ϕϕθϕ+Φ
+Φ-Φ∂=∂∂Φ∂∂∂∂Φ-Φ=∂∂∂∂∂ 沿方向的净导热量为：（（
θ在方向：
sin d q r d drd θθθϕτΦ=
1
(sin )
=-(sin )(sin )d d d d t
r d drd d r t
t
d d d drd d d d drd θθθ
θ
θθθλθϕτθθθθθλθϕτθλθθϕτθθθθ++Φ-Φ∂Φ∂
∂==-∂∂∂∴∂
∂∂
∂Φ-Φ-=∂∂∂∂ 沿方向的净热量为：
对于整个微元：
2sin r dv S dr r d d dr
θϕθ==
22222221sin ()sin )(sin )sin 1
1
1
())(sin )
sin sin t t t t c
r d d d rd r d rd d d d d rd d d d d rd r r t
t
t
t
c r r r r r r ρθϕθτλθθϕτλθτϕλθθϕτ
τϕθϕθθρλλλθτθϕϕθθθ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂⇓∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂（（