2023届高考物理二轮学案：万有引力与航天

【基础知识】

定律内容图示

开普勒第一定律

(轨道定律)

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处

在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律

(面积定律)

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等

的时间内扫过相等的面积

开普勒第三定律

(周期定律)

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转

周期的二次方的比值都相等，表达式为

a3

T2＝k

（其中）

期中

2

2

3

4

G M

(

π

=

=k

k

T

R

只与中心天体质量有关）

若将椭圆轨道按圆轨道处理，

则行星绕太阳做匀速圆周运动，a为圆轨道的半径r，即

r3

T2＝k.

2．万有引力定律的基本应用

(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．

(2)解决天体圆周运动问题的两条思路

①在地面附近万有引力近似等于物体的重力(常用于“地上”问题，如赤道上的物体)，

即G

Mm

R2＝mg，整理得★★GM＝gR

2(黄金代换式，类比其他星球也适用)．

利用此关系式可求得行星表面的重力加速度g＝

GM

R2.

①天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供(常用于“天上”问题，如

卫星)，即G

Mm

r2＝m

v2

r＝mω

2r＝m

4π2

T2r＝ma.

3．万有引力与重力的区别与联系

地球对物体的万有引力F表示为两个效果：

一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．

(1)在赤道上：G

Mm

R2＝mg1＋mω

2R.

(2)在两极上：G

Mm

R2＝mg2.

(3)在一般位置：万有引力G

Mm

R2等于重力mg与向心力F向的矢量和．

越靠近南北两极g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为重力和万有引力近

似相等，即

GMm

R2＝mg.

4.人造地球卫星

(1)卫星的运行参量

卫星绕地球的运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，类比行星绕太阳的运动规律，同

样可得：G

Mm

r2＝m

v2

r＝mω

2r＝m

4π2

T2r＝ma，可推导出：

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

v＝

GM

r

ω＝

GM

r3

T＝

4π2r3

GM

a＝

GM

r2

⎩⎪

⎨

⎪⎧

⎭⎪

⎬

⎪⎫

v减小

ω减小

T增大

a减小

①高轨低速长周期

(2)同步卫星的特点

①轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面；

①运行方向一定：自西向东与地球自转同步；

①周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h；

高三年级专题一第4讲万有引力与航天

物理学案

①高度一定：由G Mm （R ＋h ）2＝m 4π2

T 2(R ＋h )，得同步卫星离地面的高度

h ＝3GMT 2

4π

2－R ＝3.6×107

m. 由同步卫星的周期T 和高度h 一定，还可以推导出同步卫星的运行速率v 、角速度ω，向心加速度a 也是确定的．但是，由于不同的同步卫星的质量不同，受到的万有引力不同． (3)三种宇宙速度

第一宇宙速度(环绕速度)：在人造卫星的发射过程中火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到贴近地面的轨道上运行的速度．故有：G Mm R 2＝m v 21

R ，v 1＝

GM

R ＝7.9 km/s ，或mg ＝

m v 21

R

，v 1＝Rg ＝7.9 km/s. 注意：第一宇宙速度的两个表达式，不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M 、R 、g 是相应星球的质量、半径和表面的重力加速度．若7.9 km/s≤v ＜11.2 km/s ，物体绕地球运行． 第二宇宙速度(脱离速度)：物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s≤v ＜16.7 km/s ，物体绕太阳运行．

第三宇宙速度(逃逸速度)：物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v ≥16.7 km/s ，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行．

【题型归纳】

一、卫星在圆轨道上运行

卫星运行参量 相关方程

结论

线速度v G Mm r 2＝m v 2

r ⇒v ＝

GM

r r 越大，v 、ω、a 越小，T 越大

（高轨低速长周期）

角速度ω G Mm

r 2＝mω2r ⇒ω＝ GM

r 3

周期T G Mm

r

2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ⇒T ＝2π r 3GM

向心加速度a

G Mm r 2＝ma ⇒a ＝GM

r

2 【典例1】（2022·广东·高考真题）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（ ） A ．火星公转的线速度比地球的大 B ．火星公转的角速度比地球的大 C ．火星公转的半径比地球的小 D ．火星公转的加速度比地球的小

针对训练1．（多选）（2022·辽宁·高考真题）如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球

—太阳连线夹角β，两角最大值分别为m α、m β。则（ ）

A ．水星的公转周期比金星的大

B ．水星的公转向心加速度比金星的大

C ．水星与金星的公转轨道半径之比为sin :sin m m αβ

D ．水星与金星的公转线速度之比为sin :sin m m αβ

针对训练2．（2022·河北·高考真题）2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b ，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为（ ）

A ．22

B ．2

C ．2

D ．2

2

二、变轨

变轨

(1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之．

(2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度． (3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长.

【典例2】(2021·江苏泰州市高三期末)2020年11月24日，长征五号遥五运载火箭顺利将嫦娥五号探测器送入预定轨道，开启了中国首次地外天体采样返回之旅．嫦娥五号飞行轨迹可以简化为如图所示：首先进入近地圆轨道①，在P 点进入椭圆轨道①，到达远地点Q 后进入地月转移轨道，到达月球附近后进入环月轨道①.已知近地圆轨道①的半径为r 1、椭圆轨道①的半长轴为a 、环月轨道①的半径为r 3，嫦娥五号在这三个轨道上正常运行的周期分别为T 1、T 2、T 3，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g.忽略地球自转及太阳引力的影响，下列说法正确的是( )

A ．r 13T 12＝a 3T 22＝r 3

3T 3

2

B ．嫦娥五号在轨道Ⅰ上运行速度大于gR

C ．嫦娥五号在椭圆轨道Ⅱ上P 点的加速度大于在圆轨道Ⅰ上P 点的加速度

D ．嫦娥五号沿椭圆轨道Ⅱ从P 点向Q 点飞行的过程中，地球对它的引力做负功

三、近地卫星、同步卫星、赤道上的物