高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：9.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 Word版含答案

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

两个原理

分类加法计数原理、分步乘法计数原理

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．

(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．

知识点两个原理

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．

(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的．

[自测练习]

1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()

A．30 B．20 C．10 D．6

解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶

数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．

答案：D

2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()

A．243 B．252 C．261 D．279

解析：0,1,2…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，

∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．

答案：B

考点一分类加法计数原理|

1．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是()

A．20B．16

C．10 D．6

解析：当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．

答案：B

2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()

A．8种B．9种

C．10种D．11种

解析：法一：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A 监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9(种)．

法二：班级按a，b，c，d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：

∴共有9种不同的监考方法．

答案：B

3．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()

A．6种B．12种

C．18种D．20种

解析：分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6(种)情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12(种)情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．答案：D

利用加法原理解决问题时的注意点

(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；

(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．

考点二分步乘法原理|

有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有()

A．1 260种B．2 025种

C．2 520种D．5 040种

[解析]第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；

第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；

第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步乘法计数原理，知选法为C210·C18·C17＝2 520种．

[答案] C

利用分步乘法计数原理解决问题时应注意

(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．

从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．

解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个偶函数．

答案：18 6

考点三两个原理的应用|

两个原理的应用类型主要有：

1．涂色问题．

2．几何问题．

3．集合问题．

探究一涂色问题

1.(2015·湖南十二校联考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

12 3

45 6

789

解析：第一步，从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“1、5、9”的小正方形，涂法有3种；

第二步，涂标号为“2、3、6”的小正方形，若“2、6”同色，涂法有2×2种，若“2、6”不同色，涂法有2×1种；

第三步：涂标号为“4、7、8”的小正方形，涂法同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样．

因此符合条件的所有涂法共有3×(2×2＋2×1)×(2×2＋2×1)＝108(种)．

答案：108

探究二几何问题

2．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()

A．60B．48

C．36 D．24

解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，6个对角面构成的“平