2020年数学中考专题复习——《一元二次方程》过关检测(word版附答案)

《一元二次方程》 过关检测
(满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．y 2＝2 B ．1＋x 2＝(2－x )2 C ．3
x 2－1
＝0
D ．(m －1)x 2－x －1＝0
2．一元二次方程x 2＋6x ＋9＝0的根的情况是( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
3．关于y 的方程my (y －1)＝ny (y ＋1)＋2化成一般形式后为y 2－y －2＝0，则m 、n 的值依次是( )
A ．1,0
B ．0,1
C ．－1,0
D ．0，－1
4．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是( )
A ．36
B ．63
C ．36或63
D ．－36或－63
5．已知实数x 1、x 2满足x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－3，则以x 1、x 2为根的一元二次方程是( ) A ．x 2－4x －3＝0 B ．x 2＋4x －3＝0 C ．x 2－4x ＋3＝0
D ．x 2＋4x ＋3＝0
6．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋1
2＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是
( )
A ．－52
B ．12
C ．－52或12
D ．1
7．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m 2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A ．7 m
B ．8 m
C．9 m D．10 m
8．已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为()
A．7 B．10
C．11 D．10或11
9．电脑病毒传播得很快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是() A．x(x＋1)＝81 B．1＋x＋x2＝81
C．1＋x＋x(x＋1)＝81 D．1＋(x＋1)2＝81
10．汽车以10米/秒的速度匀速行驶到A地，发现前面修路，于是紧急刹车，汽车匀减速滑行10米后停下来，则汽车紧急刹车8米所用的时间是()
A．1.1秒B．2秒
C．3.1秒D．4秒
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．如图，幼儿园计划用30 m的围栏靠墙围成一个面积为100 m2的矩形小花园(墙长为15 m)，则与墙垂直的边x为____m.
12．若关于x的一元二次方程(a－1)x2－x＋1＝0有实数根，则a的取值范围为________.
13．定义运算“★”：对于任意实数a、b，都有a★b＝a2＋b，如2★4＝22＋4＝8.若(x －1)★3＝7，则实数x的值是________.
14．已知m、n是方程x2－2x－4＝0的两实数根，则m2＋mn＋2n＝________.
15．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________.
16．某县体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请________支球队参加比赛．
三、解答题(一)(每小题6分，共18分)
17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
方程一般形式二次项系数一次项系数常数项4y2＝5－3y
2x2＝0
(3x＋1)2－2x＝0
(1)x2－6x＝7；
(2)2x2－6x－1＝0；
(3)3x(x＋2)＝5(x＋2)；
(4)x(x＋5)＝5x＋10.
19．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋1)x＋1＝0(m≠0)．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值．
四、解答题(二)(每小题7分，共21分)
20．如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知x1、x2是方程x2＋4x－2＝0的两个实数根，求1
x1＋1
x2的值；
(2)已知方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为2＋1，2－1，求b、c的值；
(3)若关于x的方程x2＋(m－1)x＋m2－3＝0的两个实数根互为倒数，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
22．阅读下面的材料：
解方程x 4－7x 2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：
设x 2＝y ，则x 4＝y 2.
∴原方程可化为y 2－7y ＋12＝0， ∴a ＝1，b ＝－7，c ＝12，
∴Δ＝b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×12＝1， ∴y ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－7)±12，
解得y 1＝3，y 2＝4.
当y ＝3时，x 2＝3，x ＝±3. 当y ＝4时，x 2＝4，x ＝±2.
∴原方程有四个根，分别是x 1＝3，x 2＝－3，x 3＝2，x 4＝－2.
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：(x 2＋x )2－5(x 2＋x )＋4＝0；
(2)已知实数a 、b 满足(a 2＋b 2)2－3(a 2＋b 2)－10＝0，试求a 2＋b 2的值．
五、解答题(三)(每小题9分，共27分)
23．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm.点M 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿AC 方向运动，同时点N 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿CB 方向运动，当点N 到达点B 时，点M 同时停止运动．
(1)运动几秒时，△CMN 的面积为8 cm 2?
(2)△CMN 的面积能否等于12 cm 2？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
24．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你分别用含有x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：
(2)
25．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)．该阅览室在第一年图书借阅总量是7500本，第三年图书借阅总量是10 800本．
(1)求该社区的图书借阅总量从第一年至第三年的年平均增长率；
(2)已知第三年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计第四年达到1440人．如果第三年至第四年图书借阅总量的增长率不低于第一年至第三年的年平均增长率，那么第四年的人均借阅量比第三年增长a%，则a的值至少是多少？
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列方程是一元二次方程的是( A ) A ．y 2＝2 B ．1＋x 2＝(2－x )2 C ．3
x 2－1
＝0
D ．(m －1)x 2－x －1＝0
2．一元二次方程x 2＋6x ＋9＝0的根的情况是( A ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
3．关于y 的方程my (y －1)＝ny (y ＋1)＋2化成一般形式后为y 2－y －2＝0，则m 、n 的值依次是( A )
A ．1,0
B ．0,1
C ．－1,0
D ．0，－1
4．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是( C )
A ．36
B ．63
C ．36或63
D ．－36或－63
5．已知实数x 1、x 2满足x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－3，则以x 1、x 2为根的一元二次方程是( A ) A ．x 2－4x －3＝0 B ．x 2＋4x －3＝0 C ．x 2－4x ＋3＝0
D ．x 2＋4x ＋3＝0
6．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋1
2＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是
( C )
A ．－52
B ．12
C ．－52或12
D ．1
7．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m 2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( A )
A ．7 m
B ．8 m
C ．9 m
D ．10 m
8．已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( D )
A ．7
B ．10
C ．11
D ．10或11
9．电脑病毒传播得很快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，下列方程正确的是( C )
A ．x (x ＋1)＝81
B ．1＋x ＋x 2＝81
C ．1＋x ＋x (x ＋1)＝81
D ．1＋(x ＋1)2＝81
10．汽车以10米/秒的速度匀速行驶到A 地，发现前面修路，于是紧急刹车，汽车匀减速滑行10米后停下来，则汽车紧急刹车8米所用的时间是( A )
A ．1.1秒
B ．2秒
C ．3.1秒
D ．4秒
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．如图，幼儿园计划用30 m 的围栏靠墙围成一个面积为100 m 2的矩形小花园(墙长为15 m)，则与墙垂直的边x 为__10__m.
12．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－x ＋1＝0有实数根，则a 的取值范围为__a ≤5
4且
a ≠1__.
13．定义运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2＋b ，如2★4＝22＋4＝8.若(x －1)★3＝7，则实数x 的值是__3或－1__.
14．已知m 、n 是方程x 2－2x －4＝0的两实数根，则m 2＋mn ＋2n ＝__4__.
15．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是__10%__.
16．某县体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请__8__支球队参加比赛．
三、解答题(一)(每小题6分，共18分)
17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
方程 一般形式 二次项系数
一次项系数
常数项 4y 2＝5－3y 4y 2＋3y －5＝0
4 3 －
5 2x 2＝0 2x 2＝0 2 0 0 (3x ＋1)2－2x ＝0
9x 2＋4x ＋1＝0
9
4
1
(1)x 2－6x ＝7； 解：x 1＝7，x 2＝－1. (2)2x 2－6x －1＝0；
解：x 1＝3＋112，x 2＝3－11
2.
(3)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)； 解：x 1＝5
3，x 2＝－2.
(4)x (x ＋5)＝5x ＋10. 解：x 1＝10，x 2＝－10.
19．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋1＝0(m ≠0)． (1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若m 为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m 的值． (1)证明：∵Δ＝[－(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴此方程总有两个实数根．
(2)解：解原方程，得x ＝(m ＋1)±(m －1)22m ，∴x 1＝1，x 2＝1
m .当m 为整数1或－1时，x 2
为整数，即此方程的两个实数根都是整数．故m 的值为1或－1.
四、解答题(二)(每小题7分，共21分)
20．如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q . 请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知x 1、x 2是方程x 2＋4x －2＝0的两个实数根，求1x 1＋1
x 2的值；
(2)已知方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为2＋1，2－1，求b 、c 的值； (3)若关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－3＝0的两个实数根互为倒数，求m 的值． 解：(1)∵x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－2，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2
x 1x 2＝2.
(2)b ＝－(2＋1＋2－1)＝－22，c ＝(2＋1)(2－1)＝1.
(3)由题意，得m 2－3＝1，∴m ＝±2.当m ＝2时，方程没有实数根，舍去．故当m ＝－2时，方程的两个实数根互为倒数．
21．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0，其中a 、b 、c 分别为△ABC
三边的长．
(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c )×(－1)2－2b ＋(a －c )＝a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0，∴a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形．
(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝4b 2－4a 2＋4c 2＝0，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形．
22．阅读下面的材料：
解方程x 4－7x 2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：
设x 2＝y ，则x 4＝y 2.
∴原方程可化为y 2－7y ＋12＝0， ∴a ＝1，b ＝－7，c ＝12，
∴Δ＝b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×12＝1， ∴y ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－7)±12，
解得y 1＝3，y 2＝4.
当y ＝3时，x 2＝3，x ＝±3. 当y ＝4时，x 2＝4，x ＝±2.
∴原方程有四个根，分别是x 1＝3，x 2＝－3，x 3＝2，x 4＝－2.
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：(x 2＋x )2－5(x 2＋x )＋4＝0；
(2)已知实数a 、b 满足(a 2＋b 2)2－3(a 2＋b 2)－10＝0，试求a 2＋b 2的值．
解：(1)设y ＝x 2＋x ，则y 2－5y ＋4＝0.整理，得(y －1)(y －4)＝0，解得y 1＝1，y 2＝4.当x 2
＋x ＝1，即x 2＋x －1＝0时，解得x ＝
－1±52；当x 2＋x ＝4，即x 2
＋x －4＝0时，解得x ＝－1±17
2
.综上所述，原方程的解为x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52，x 3＝－1＋172，x 4＝－1－17
2
.
(2)设t ＝a 2＋b 2，则t 2－3t －10＝0.整理，得(t －5)(t ＋2)＝0，解得t 1＝5，t 2＝－2(舍去)．故a 2＋b 2＝5.
五、解答题(三)(每小题9分，共27分)
23．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm.点M 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿AC 方向运动，同时点N 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿CB 方向运动，当点N 到达点B 时，点M 同时停止运动．
(1)运动几秒时，△CMN 的面积为8 cm 2?
(2)△CMN 的面积能否等于12 cm 2？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
解：设运动t 秒后△CMN 的面积等于8 cm 2，则CM ＝(6－t )cm ，NC ＝2t cm ，由题意，得1
2
×(6－t )×2t ＝8.解得t 1＝2，t 2＝4.故经过2秒或4秒后，△CMN 的面积等于8 cm 2. (2)不能．理由：∵S △CMN ＝12CM ·CN ＝1
2×(6－t )×2t ＝－t 2＋6t ＝－(t －3)2＋9，∴当t ＝3时，△CMN 的面积
最大为9，∴△CMN 的面积不能等于12 cm 2.
24．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元(x ＞40)，请你分别用含有x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把化简后的结果填写在表格中：
销售单价(元) x 销售量y (件) 1000－10x 销售玩具获得利润w (元)
－10x 2＋1300x －30 000
(2)解：根据题意，得－10x 2＋1300x －30 000＝10 000，解得x 1＝50，x 2＝80.即该玩具的销售单价为50元或80元．
25．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)．该阅览室在第一年图书借阅总量是7500本，第三年图书借阅总量是10 800本．
(1)求该社区的图书借阅总量从第一年至第三年的年平均增长率；
(2)已知第三年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计第四年达到1440人．如果第三年至第四年图书借阅总量的增长率不低于第一年至第三年的年平均增长率，那么第四年的人均借阅量比第三年增长a%，则a的值至少是多少？
解：(1)设该社区的图书借阅总量从第一年至第三年的年平均增长率为x.根据题意，得7500(1＋x)2＝10 800，即(1＋x)2＝1.44，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．故该社区的图书借阅总量从第一年至第三年的年平均增长率为20%.
(2)10 800×(1＋0.2)＝12 960(本)，10 800÷1350＝8(本)，12 960÷1440＝9(本)，(9－8)÷8×100%＝12.5%.故a的值至少是12.5.
11。