1.1.1锐角三角函数的定义

锐角三角函数的定义
（2015•余姚市模拟）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．
【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为=2．
∴cos∠ABC==．
故选B．
【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．
（2015•蓬溪县校级模拟）在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）
A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】常规题型；压轴题．
【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵各边的长度都扩大两倍，
∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，
∴锐角A的各三角函数值都不变．
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．
（2013•遵义模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC•tanB=（）
A．2B．3C．4D．5
【考点】锐角三角函数的定义；三角形的外接圆与外心．
【专题】压轴题．
【分析】由DE=2，OE=3可知AO=OD=OE+ED=5，可得AE=8，连接BD、CD，可证∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90°，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段的比．
【解答】解：连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴=，=，
由AD为直径可知∠DBA=∠DCA=90°，
∵DE=2，OE=3，
∴AO=OD=OE+ED=5，AE=8，
tanC•tanB=tan∠ADB•tan∠ADC======4．
故选C．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
（2011•黔东南州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan∠ACD的值为（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】常规题型；压轴题．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，再根据等边对等角的性质可得∠A=∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD 的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴tan∠A===，
∴tan∠ACD的值．
故选D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A=∠ACD是解本题的关键．
（2011•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；
【解答】解：设AD=x，则CD=x﹣3，
在直角△ACD中，（x﹣3）2+=x2，
解得，x=4，
∴CD=4﹣3=1，
∴sin∠CAD==；
故选A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质定理及勾股定理的运用，求一个角的正弦值，可将其转化到直角三角形中解答．
（2011•南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，
+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S
△ABC
④BM=DM．正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】锐角三角函数的定义；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；梯形中位线定理．
【专题】压轴题．
【分析】①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，==；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号）解答；
③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．
【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE
∴==
①∴tan∠AEC=，
∴tan∠AEC=；故本选项正确；
②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b）2，
=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，
∴S
△ACE
S△ABC+S△CDE=（a2+b2）≥ab（a=b时取等号），
+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；
∴S
△ABC
④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．
∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴N为中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM=DM；故本选项正确；
③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM；故本选项正确．
故选D．
【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
（2011•南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，则AC•BC的值为（）
A．14B．16C．4D．16
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】解法一：利用二倍角公式sin2α=2sinαcosα、锐角三角函数的定义解答．
解法二：作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，求出AD=CD=BD=2，求出CE、DE、BE，根据勾股定理求出BC、AC，代入求出即可．
【解答】解：
解法一：
∵sin30°=2sin15°cos15°=，∠A=15°，
∴2××=；
又∵AB=8，
∴AC•BC=16．
解法二：
作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，
∴AD=DC=DB=AB=4，
∴∠A=∠ACD=15°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=30°，
∴CE=CD=2，
=AC•BC=AB•CE，即AC•BC=×8×2，
∴S
△ABC
∴AC•BC=16
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．解答该题的关键是熟记二倍角公式．
（2011•兰州模拟）根据图中的信息，经过估算，下列数值与正方形网格中∠ɑ的正切值最接近的是（）
A．0.6246B．0.8121C．1.2252D．2.1809
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】计算题；压轴题；网格型．
【分析】正切函数就是直角三角形中，角所对的直角边与邻边的比值，根据定义即可确定正切值的范围，即可确定．
【解答】解：设正方形网格的边长是1，则AC=4，4＜AB＜5
∵tanα=
∵AC=4，4＜AB＜5
∴1＜tanα＜1.25
∴最接近的是1.2252．
故选C．
【点评】本题主要考查了正切函数的定义，根据定义确定正切函数的范围是解题的关键．（2011•历城区一模）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠A的值为（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】连接CD，即可证明△ACD是直角三角形，利用正切函数的定义即可求解．
【解答】解：连接CD，
则CD2=2，AC2=4+16=20，AD2=9+9=18
∴AC2=CD2+AD2，AD==3，CD=
∴∠ADC=90°
∴tan∠A===．
故选C．
【点评】本题主要考查了正切函数的定义，正确证明△ACD是直角三角形是解决本题的关键．
（2010•常德）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是（）
A．B．2C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】根据正弦的定义sinA=解答．
【解答】解：根据题意，AB==BC，sinA===．
故选C．
【点评】本题主要考查角的正弦的定义，需要熟练掌握．
（2010•西藏）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，则cosB的值是（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据余弦的定义可得答案．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=，BC=，
∴AB==，
∴cosB===，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（2009•漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】根据三角函数的定义就可以解决．
【解答】解：在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边，
∴tanα=．
故选A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．
（2008•威海）在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB=（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】根据三角函数定义，已知tanA=，就是已知BC与AC的比值，设BC=x，则AC=3x．根据勾股定理就可以求出AB，再根据三角函数定义就可以求出三角函数值．
【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，
∵tanA=，
∴设BC=x，则AC=3x．
故AB=x．
sinB===．
故选D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
（2008•湘潭）已知△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，则sinA=（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．
【专题】压轴题．
【分析】先根据直角三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：∵△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，即42+32=52，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．
sinA==．
故选A．
【点评】本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，属较简单题目．
（2007•昌平区二模）如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5的值为（）
A．B．C．1D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】根据锐角三角函数的定义，分别在Rt△ACB，Rt△A1CB1，…，Rt△A5CB5中求tana，tana1，tana2，…，tana5的值，代值计算．
【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得tana==1，tana1==，tana2==…，tana5==，
则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5=1×+×+×+×+×
=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
=1﹣
=．
故选A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．关键是找出每个锐角相应直角三角形，根据正切的定义求值．
（2006•南通）如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA等于（）
A．B．C．2D．
【考点】锐角三角函数的定义；垂径定理．
【专题】压轴题．
【分析】作OC⊥AB，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．
【解答】解：作OC⊥AB于C点．
根据垂径定理，AC=BC=4．
在Rt△OCP中，有CP=4+2=6，OC==3．
故tan∠OPA==．
故选D．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．
（2006•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则cosA等于（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的概念求出∠A的余弦值即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AC==13，
cosA==．
故选D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念与勾股定理，比较简单．
（2005•绍兴）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin ∠ABD的值是（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；垂径定理；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ABD=∠ABC．
根据勾股定理求得AB=10，
∴sin∠ABD=sin∠ABC==．
故选D．
【点评】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．（2005•三明）根据图中信息，经过估算，下列数值与tanα的值最接近的是（）
A．0.3640B．0.8970C．0.4590D．2.1785
【考点】锐角三角函数的定义；估算无理数的大小．
【专题】压轴题．
【分析】α的正切值等于这个角的对边与邻边之比．
【解答】解：tanα=3÷7≈0.43，
∴0.4＜tanα＜0.5．
故选C．
【点评】注意熟悉锐角三角函数的定义，结合图形分析tanα的取值范围．
（2005•泰安）直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．
（1）将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；
（2）将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．
则tan∠DEA的值为（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，就是已知tan∠ABC=，根据轴对称的性质，可得∠DEA=∠A，就可以求出tan∠DEA的值．
【解答】解：根据题意：直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，即tan∠ABC==；
根据轴对称的性质，∠CBD=a，则由折叠可知∠CBD=∠EBD=∠EDB=a，∠ABC=2a，由外角定理可知∠AED=2a=∠ABC，
∴tan∠DEA=tan∠ABC=．
故选A．
【点评】已知折叠问题就是已知图形的全等，并且三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
（2001•河南）如图，锐角ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E两点，：S四边形BCED=1：2，则cos∠BAC的值是（）
且S
△ADE
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】要求∠BAC的余弦值就要构建直角三角形找出相应的边的比例关系，那么可连接CD，通过AD和AC的比例关系来求∠BAC的余弦值．AD，AC的比例关系可通过△ADE ∽△ACB三来求解，这样就不难求得其余弦值了．
【解答】解：连接CD．
∵∠ADE=∠ACB，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
：S四边形BCED=1：2，
∵S
△ADE
：S△ACB=1：3，
∴S
△ADE
∴AD：AC=：3，
∴cos∠BAC=：3．
故选D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理，根据三角形相似，用面积比求出相关的线段比是解题的关键．
（2001•温州）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则tanA的值是（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】直接利用锐角三角函数的定义tanA=．
【解答】解：．故选A．
【点评】此题很简单，关键是记住定义．
（2000•嘉兴）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则
的值是（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】利用直角三角形的性质及三角函数的定义可得sin∠B=sin∠ACD，即可求出的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，
因而∠B=∠ACD，
∴sin∠B=sin∠ACD==．
故选D．
【点评】利用等角转换是此题的关键．
（1998•台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）
A．B．1C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理．
【专题】压轴题．
【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AB=BD，
∴E是CD中点，
∴AC=2BE，
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，
∴tanA===，故选A．
【点评】此题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．
（1997•海南）对于以下的运算结果：①a3+a2=a5；②a3÷a3=a0（a≠0）；③﹣m2﹣m2=﹣2m2；
④sinα+sinβ=sin（α+β）．正确的是（）
A．①、②B．①、③C．②、④D．②、③
【考点】锐角三角函数的定义；合并同类项；同底数幂的除法．
【专题】压轴题．
【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则以及锐角三角函数的定义逐项分析即可．
【解答】解：①a3与a2不是同类项不能合并，故该选项错误；
②a3÷a3=a0=1计算是正确的，故该选项正确；
③﹣m2﹣m2=（﹣1﹣1）m2=﹣2m2计算是正确的，故该选项正确；
④sinα+sinβ=≠sin（α+β），计算是错误的，故该选项错误；
所以计算正确的是②③，
故选D．
【点评】本题考查了合并同类项的法则、同底数幂的除法法则以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握各种运算法则．
（2013•宝应县校级一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则cosA=．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】作出图形，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴cosA===．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
（2010•凉山州）如图，∠1的正切值等于．
【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
【解答】解：根据圆周角的性质可得：∠1=∠2．
∵tan∠2=，
∴∠1的正切值等于．
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
（2012•浠水县校级模拟）已知△ABC中，AB=AC，CH是AB边上的高，且CH=AB，则
tanB=或3．
【考点】锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】作高AD，根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，设AB=5x，则CH=AB=3x，根据三角形面积公式有AD•BC=CH•AB，即2BD•AD=15x2，根据勾股定理得到
BD2+AD2=AB2=25x2，然后进行等式变形有（BD+AD）2﹣2BD•AD=25x2，即（BD+AD）2﹣15x2=25x2，（BD﹣AD）2+2BD•AD=25x2，即（BD﹣AD）2+15x2=25x2，易得BD+AD=2x，BD﹣AD=x或AD﹣BD=x，可求出
BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，然后在Rt△ABD中根据正切的定
义得到tanB=，再把DB与AD的值代入计算即可．
【解答】解：如图，作高AD，
∵AB=AC，
∴BC=2BD，
设AB=5x，则CH=AB=3x，
∵AD•BC=CH•AB，
∴2BD•AD=15x2，
∵BD2+AD2=AB2=25x2，
∴（BD+AD）2﹣2BD•AD=25x2，即（BD+AD）2﹣15x2=25x2，
∴BD+AD=2x，
∴（BD﹣AD）2+2BD•AD=25x2，即（BD﹣AD）2+15x2=25x2，
∴BD﹣AD=x或AD﹣BD=x，
∴BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，
在Rt△ABD中，tanB=，
∴tanB==或tanB==3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及代数式的变形能力．
（2007•安顺）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点
D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】根据勾股定理求出BD的长，即BD′的长，根据三角函数的定义就可以求解．【解答】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2．
∴tan∠BAD′===．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，注意本题中BD′=BD．
（1999•杭州）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA=．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB===5．
∴sinA==．
【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
（1997•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，可代入数计算出答案．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴sinA==，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．
（2012•铜仁地区）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°=；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；
（2）由于tanA=，所以可设BC=3，AC=4，则AB=5，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC=AB，
∴AC===AB，
∴ctan30°==．
故答案为：；
（2）∵tanA=，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA==．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
（2012•昌平区模拟）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A 的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．
（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是垂直；
（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：CM=m•tan；α的取值范围是0°＜α＜90°．
【考点】锐角三角函数的定义；正方形的性质；旋转的性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）连接CD，OM．根据旋转的性质得出MC=MD，OC=OD，再证明△COM≌△DOM，得出∠COM=∠DOM，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥OM；
（2）首先用含α的代数式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根据正切函数的定义即可得出CM的长度；由OD与OM不能重合，且只能在OC右边，得出α的取值范围．
【解答】解：（1）连接CD，OM．
根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，
∴△COM≌△DOM，
∴∠COM=∠DOM，
又∵OC=OD，
∴CD⊥OM；
（2）由（1）知∠COM=∠DOM，
∴∠COM=，
在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan；
因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．
【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题速度和准确率．
（2009•南充）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；
（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．
【考点】锐角三角函数的定义；作图-平移变换；作图-旋转变换．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）直接利用三角函数求解即可；
（2）根据旋转的性质求出旋转后对应点的坐标；
（3）根据平移的规律求出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可．
【解答】解：（1）∵点B（4，2），BA⊥x轴于A，
∴OA=4，BA=2，
∴tan∠BOA===．（3分）
（2）如图，由旋转可知：CD=BA=2，OD=OA=4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）．（5分）
（3）△O′A′B′如图所示，O′（﹣2，﹣4），A′（2，﹣4）．（8分）
【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．
（2008•深圳）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，求△ACF的面积．
【考点】锐角三角函数的定义；等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】（1）证明：连接BO，
方法一：∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法二：∵AB=AO，BO=AO
∴AB=AO=BO
∴△ABO为等边三角形
∴∠BAO=∠ABO=60°
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
又∠D+∠ABD=∠BAO=60°
∴∠ABD=30°
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法三：∵AB=AD=AO
∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA=
∴
=8
又∵S
△BEF
=18．
∴S
△ACF
【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．
（2008•肇庆）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D 三点，CB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AE=CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若（n＞0），求sin∠CAB．
【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）连接DE，根据∠ABC=90°可知：AE为⊙O的直径，可得∠ADE=90°，根据CD⊥AC，AD=CD，可证AE=CE；
（2）根据△ADE∽△AEF，可将AE即⊙O的直径求出；
（3）根据Rt△ADE∽Rt△EDF，=n，可将DE的长表示出来，在Rt△CDE中，根据勾
股定理可将CE的长表示出来，从而可将sin∠CAB的值求出．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵∠ABC=90°
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE=90°
∴DE⊥AC
又∵D是AC的中点
∴DE是AC的垂直平分线
∴AE=CE；
（2）解：在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE
∴△ADE∽△EFA
∴
即
∴AE=2cm；
（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，
∴∠ADE=∠AEF=90°
∴Rt△ADE∽Rt△EDF
∴
∵，AD=CD
∴CF=nCD
∴DF=（1+n）CD
∴DE=CD
在Rt△CDE中，CE2=CD2+DE2=CD2+（CD）2=（n+2）CD2∴CE=CD
∵∠CAB=∠DEC
∴sin∠CAB=sin∠DEC===．
【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质及相似三角形的性质和应用．。