复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结

第四章解析函数的幂级数表示法
§1.复级数的基本性质
1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。

2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，
注1：收敛级数通项必趋近于零；
注2：收敛级数各项必有界；
注3：级数省略有限个项不改变敛散性。

3.（定理）收敛
4.（定理）
（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；
（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。

5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有
式中
6.不一致收敛的定义
7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有
8.（定理’不一致收敛准则）：
9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。

10.优级数定义：称为的优级数。

11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数
也在E上连续。

12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分
13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛
14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：
对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。

15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):
则：
（1）f(z)在D内解析；
（2）
（3）在D内内闭一致收敛于
§2.幂级数
1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在
圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。

2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。

3.收敛半径：圆周内部绝对收敛，圆周外部发散。

4.（定理收敛半径R的求法柯西-阿达马公式）：（不能缺项）如果幂级数
的系数满足：
或
或
则幂级数的收敛半径：
注：上极限：收敛子数列的极限值的上确界值。

5.例：（4）（缺项幂级数）
6.（定理）：
（1）幂级数
的和函数f(z)在其收敛圆K：|z-a|<R（0<R≤）内解析；
（2）在K内，幂级数可逐项求导至任意阶，且收敛半径相同；
（3）（p=0,1,2,…），即
§3.解析函数的泰勒展开式
1.（定理泰勒定理）：设f(z)在区域D内解析，a D，只要圆K：|z-a|<R含于D，则f(z)在K内能展成幂级数
其中系数
(：|-a|=，0<)
2.（定理）函数f(z)在区域D内解析的充要条件：D内任一点a的邻域内可展开成z-a的幂级数，即泰勒级数
3.柯西不等式：泰勒系数满足：（0<<R）。

4.（定理）：幂级数收敛半径R>0，且在收敛圆周C：|z-a|<R上至少有一奇点（不可能处处解析）
注：找收敛半径=找最近奇点
5.一些初等函数的泰勒展式：
（1）
（2）cosz
（3）sinz
（4）多值函数
（5）
例题：
（1）将在z=0展成泰勒级数
（2）求的展式
§4.解析函数零点的孤立性及唯一性定理
阶零点定义：…，，m=1称为单零点。

注：泰勒展开第一项即为m阶导
2.（定理）：不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件为：
在a的邻域内解析，且≠0
3.（定理）：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的
4.（推论）：设
（1）函数f(z)在邻域K:|z-a|<R内解析；
（2）K内有f(z)的一列零点{}(≠a)收敛于a，
f(z)在K内必恒为零
5.（定理唯一性定理）：
（1）函数在区域D内解析；
（2）D内有一个收敛于的点列{}(≠a)，其上等值
在D内恒等
6.（推论）设在区域内解析的函数在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等
在D内恒等
7.（推论）一切在实轴上成立的恒等式，只要等式两边在z平面上都是解析的
等式在z平面上也成立
8.（定理最大模原理等价于最小模原理）：函数f(z)在D内解析|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值，除非在D内f(z)恒等于常数
9.（推论）：设：（1）f(z)在有界区域D内解析，在闭域上连续；
（2）
则除f(z)为常数的情形外，
即：最大值一定在边界上取到，除非是常值函数。