利用向量巧解中学数学题

所成角为 θ ，则 sin θ =
AB·n AB · n
.
图 3.1.2.1
A1 B 、 AO1 都表示成基向量 的形式。
图 3.1.1 解:∵平面 OBB 1 O 1 ⊥平面 A0B，0A ⊂ 平面 A0B，平面 OBB 1 O 1 ∩平面 A0B＝OB，且 OA
3
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例 2：如图 3，正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E 是 C 1 C 的中点， （1）求 BE 与平面 B 1 BD 所 成角的余弦值； （2）求二面角 B-B 1 E-D 的余弦值。 解：如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 D-xyz，则设正方体的棱长为 2，则（1） 因为 B（2,2,0） ，B 1 (2,2,2),E（0,2,1）,所以 BD =（-2，-2，0） ， BB1 =(0,0,2), BE =（-2， ⎧− 2 x − 2 y = 0 0，1） ，设平面 B 1 BD 的一个法向量是 n =（x,y,z）,则由 n ⊥ BD , n ⊥ BB1 得 ⎨ ， ⎩2 z = 0 ⎧x = − y 所以 ⎨ ，令 y=1，则有 n =（-1，1，0） ，所以 ⎩z = 0 cos< n , BE >= n·BE n · BE
例 3：上题第（2）问 解：令 m 、 l 分别为平面 B 1 DE 与平面 B 1 BE 的法向量，则易知
m =（1，1，-2） ， l =（-1，0，0） ， m·l
= − 6 ， 6 6 . 6
所以 cos< m ， l >=
m·l
所以二面角 B-B 1 E-D 的余弦值
3.2 向量巧解距离问题 = 10 15 ， 所以 sin< n , BE >= ， 5 5 15 . 5 3.2.1 求点到平面的距离 所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为 0， 可确定法向量．设 P 为平面 a 外一点，则点 P 到面 a 的斜线段向量在平面法向量方向的射 影，即为点 P 到平面 a 的距离．而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之． 其公式为 PO = PA·n0 ,其中 n0 =
所以直线 AB 和 CD 所成的角为 arccos a . 特别的，AB ⊥ CD ⇔ AB · CD =0 ⇔ x1 · x 2 + y1 · y 2 + z1 · z 2 =0。 例 1： 如图 1,三棱柱 AOB-A 1 0 1 B 1 中， 平面 OBB 1 O 1 ⊥平面 AOB, ∠0 1 OB＝60°，∠AOB=90°且 OB=OO 1 =2，OA= 3 ,求：(1)异面直线 A 1 B 与 AO 1 所成角的大小；(2)略。 分析 1：由条件可得 OA⊥0B，OA⊥0 1 0，再结合题干可知共点 于 0 的三条线段 OA、0B、00 1 的长度已知,且两两夹角已知，故可选择以｛ OA , OB , OO1 } 为基底来解决异面直线 AB 与 A0 所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方向向量
1
7.8 数列………………………………………………………………………19 8. 结束语…………………………………………………………………………19 1.前 言
随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具 有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、 导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别 致，自然流畅，令人赏心悦目。能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于 我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。 2.向量基本性质回顾 1.向量的概念 既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫 做数量（物理学中叫做标量）。 2.向量的几何表示 具有方向的线段叫做有向线段，以 A 为起点， B 为终点的有向线段记作 AB 。 （AB 是印刷体，书写体是上面加个→） 有向线段 AB 的长度叫做向量的模，记作| AB |。 有向线段包含 3 个因素：起点、方向和长度。 长度等于 0 的向量叫做零向量，记作 0 。零向量的方向是任意的；且零向量与任 何向量都垂直。长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。 3.相等向量与共线向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量 a 、 b 平行，记作 a // b ， 零 向量与任意向量平行，即 0 // a 。
终点） 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA 、 OB ，以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OACB，则以 O 为起点的对角线 OC 就是向量 OA 、 OB 的和，这种计算法则叫做向量加 法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 a ，有： 0＋a＝a＋0＝a。 | a ＋ b |≤| a |＋| b |。 向量的加法满足所有的加法运算定律 。 4.2 减法运算 与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，－(－ a )＝ a ，零向量的相 反向量仍然是零向量。 （1） a ＋(－ a )＝(－ a )＋ a ＝0 （2） a － b ＝ a ＋(－ b ) 4.3 数乘运算 实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ a ，|λ a | ＝|λ|| a |，当λ> 0 时，λ a 的方向和 a 的方向相同，当λ< 0 时，λ a 的方向和 a 的 方向相反，当λ= 0 时，λ a = 0。 设λ、μ是实数，那么： （1）(λμ) a = λ(μ a ) （2）(λ + μ) a = λ a + μ a （3）λ( a ± b ) = λ a ± λ b （4）(－λ) a =－(λ a ) = λ(－ a )。
( )( ) ( ) (4) a·(b + c )= a·b + a·b
(5) a·b = 0 ⇔ a ⊥ b 6.平面向量的基本定理 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a ，有 且只有一对实数λ、μ，使 a = λ e1 ＋μ e2 。 7.空间向量的基本性质 7.1 共线向量定理 对空间任意两个向量 a 、 b （ b ≠ 0 ） ， a ∥ b 的充要条件是存在实数λ，使 a =λ b 7.2 共面向量定理 如果两个向量 a ， b 不共线，则向量 p 与向量 a ， b 共面的充要条件是存在实数对 x，y， 使 p =x a +y b 7.3 向量的数量积
向量巧解空间几何中的问题???????????????????531向量巧解角的问题?????????????????????5311求异面直线a312求线面所成角313求二面角的大小????????????????????832向量巧解距离问题?????????????????????9321求点到平面的距离???????????????????9322求两异面直线的距离??????????????????1033向量巧解平行与垂直的问题?????????????????11331平行????????????????????????11332垂直????????????????????????12向量巧解平面解析几何中的问题??????????????????1241平面几何??????????????????????????1242解析几何??????????????????????????13向量巧解其他代数问题??????????????????????1671求最值??????????????????????????1672求取值范围????????????????????????1773解方程??????????????????????????1774代数求值?????????????????????????1775证明等式?????????????????????????1776解不等式?????????????????????????1877代数式??????????????????????????1978数列???????????????????????????19随着新课改逐步深入向量及其运算成为高中数学新增内容它融数形于一体具有代数形式和几何形式的双重身份是中学数学知识的一个重要交汇点常与函数复数导数平面几何立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透使数学问题情境新颖别致自然流畅令人赏心悦目
2 2
= a·a
Байду номын сангаас
3.向量巧解空间几何中的问题 3.1 向量巧解角的问题
| A1 B |= OB + OA + OO1 − 2OO1 ·OB − 2OB·OA + 2OA·OO1 = 7 ,又 3.1.1 求异面直线 a 与 b 所成角θ 求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在 教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。应掌握 如下公式： 向量 AB 和 CD 所成的角记为< AB , CD >，若 AB =（x 1 ,y 1 ,z 1 ）, CD =(x 2 ,y 2 ,z 2 ), 则 cos< AB ， CD >= 所以θ=arccos 1 . 7 设异面直线 A 1 B 与 AO 1 所成角为θ，则 cos θ = cos〈 AO1 , A1 B〉 =
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任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。 4.向量的运算 4.1 加法运算
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 5.向量的数量积 已知两个非零向量 a 、 b ，那么| a || b |cos θ叫做 a 与 b 的数量积或内积，记作
AB ＋ BC ＝ AC ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，指向
a·b = a · b cos< a , b >
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7.4 数量积的性质
⊥0B，
a ⊥ b ⇔ a·b = 0
|a|
2
∴OA⊥平面 OBB 1 O 1 ∴OA⊥00 1 ，即∠AOB＝90°，∠AOO 1 ＝90°，因此,选择一组基向 量｛ OA , OB , OO1 }，则 AO1 = OO1 - OA ， A1 B = OB - OA - OO1 ， ∴| AO1 |= OO1 + OA − 2OO1 ⋅ OA = 4 + 3 − 2 × 2 × 3cos90° = 7 ， 同理
=
1 ， 7
AB·CD AB · CD
=
2
x1 ·x 2 + y1 · y 2 + z1 · z 2 x1 + y1 + z1 · x 2 + y 2 + z 2
2 2 2 2 2
=a，
3.1.2 求线面所成角θ 用向量求线面所成角的公式如下： 如图 2， 若 n 为平面 α 的一条法 向量，直线 AB 与平面 α
2 2
2
2
2
AO1 · A1 B = OO1 ·OB − OO1 ·OA − OO1 − OA·OB + OA + OA·OO1
= 2 × 2cos60° − 2 × 3 cos 90° − 4 − 3 × 2 cos 90° + 3 + 3 × 2 cos 90° = 1
AO1 · A1 B AO1 · A1 B
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利用向量巧解中学数学题
7.6 解不等式…………………………………………………………………18 7.7 代数式……………………………………………………………………19
目 录 1. 2. 3. 前言……………………………………………………………………………2 向量基本性质回顾……………………………………………………………3 向量巧解空间几何中的问题…………………………………………………5 3.1 向量巧解角的问题………………………………………………………5 3.1.1 求异面直线 a 与 b 所成角θ………………………………………5 3.1.2 求线面所成角θ……………………………………………………7 3.1.3 求二面角的大小……………………………………………………8 3.2 向量巧解距离问题………………………………………………………9 3.2.1 求点到平面的距离…………………………………………………9 3.2.2 求两异面直线的距离………………………………………………10 3.3 向量巧解平行与垂直的问题……………………………………………11 3.3.1 平行………………………………………………………………11 3.3.2 垂直………………………………………………………………12 4. 向量巧解平面解析几何中的问题………………………………………………12 4.1 平面几何……………………………………………………………………12 4.2 解析几何……………………………………………………………………13 5. 向量巧解复数的问题……………………………………………………………14 6. 向量巧解三角函数的问题………………………………………………………15 7. 向量巧解其他代数问题…………………………………………………………16 7.1 求最值……………………………………………………………………16 7.2 求取值范围………………………………………………………………17 7.3 解方程……………………………………………………………………17 7.4 代数求值…………………………………………………………………17 7.5 证明等式…………………………………………………………………17
2
a·b ，θ是 a 与 b 的夹角，| a |cos θ（| b |cos θ）叫做向量 a 在 b 方向上（ b 在 a 方
向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为 0。
a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos θ
的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 向量的数量积的性质 (1) a·a =| a | 2 ≥0 (2) a·b = b·a (3) k a·b = k a ·b = a k b