【精准解析】湖北省武汉市武昌区2021届高三高考数学质检试卷.021.05) 含解析

2021年湖北省武汉市武昌区高考数学质检试卷（5月份）
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x∈R|x2﹣2x＜0}，B＝{x∈R|1≤x≤4}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜4}B．{x|0＜x≤4}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2＜x≤4} 2．已知向量＝（1，3），则下列向量中与垂直的是（）
A．（0，1）B．（﹣3，﹣1）C．（3，1）D．（﹣3，1）3．复数的虚部为（）
A．1B．﹣1C．﹣i D．i
4．已知双曲线C：＝1（m＞0），则C的离心率的取值范围为（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）5．2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利．湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”．已知某品种脐橙失去的新鲜度h与其采摘后的时间t（天）满足关系式：h＝m•a t.若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（已知lg2≈0.3，结果四舍五入取整数）（）A．23天B．33天C．43天D．50天
6．某班有60名学生参加某次模拟考试，其中数学成绩ξ近似服从正态分布N（110，σ2），若P（100≤ξ≤110）＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10B．9C．8D．7
7．（x+﹣1）4展开式常数项为（）
A．11B．﹣11C．8D．﹣7
8．桌面上有3个半径为2021的球两两相外切，在其下方空隙中放入一个球，该球与桌面和三个球均相切，则该球的半径是（）
A．B．C．D．2021
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．某学校为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，制订了一套量化评价标准．如表是
该校甲、乙两个班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）
德智体美劳甲班9.59.599.58
乙班9.599.598.5 A．甲班五项得分的极差为1.5
B．甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数
C．甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数
D．甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差
10．已知函数f（x）＝sinωx﹣sin（ωx+）（ω＞0）在[0，π]上的值域为[﹣，1]，则实数ω的值可能取（）
A．1B．C．D．2
11．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点．设P是准线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为M，则（）
A．|AB|的最小值为4B．直线AB过点F
C．PM⊥y轴D．线段AB的中垂线过定点
12．已知实数x，y，z满足x+y+2z＝1，且x2+y2+z2＝1，则下列结论正确的是（）A．x的最小值为B．z的最大值为
C．z的最小值为D．xyz取最小值时z＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+a n＝4，则S4＝．14．抛掷3个骰子，事件A为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件B为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则P（A|B）＝．
15．已知函数f（x）＝ax﹣x sin x﹣2cos x在（0，2π）上有两个极值点，则实数a的取值范围是．
16．如图，在边长为2的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点．若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，
则：
（1）三棱锥S﹣EFG外接球的表面积为；
（2）点G到平面SEF的距离为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，a1∈（0，2），a n2+3a n+2＝6S n．（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．
18．在①cos B＝；②b+c＝2；③a＝，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求出△ABC的面积．
问题：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，已知a sin C＝c•cos A，补充的条件是____和___．
19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在线段CD1上，CE＝2ED1，点F为线段AB上的动点，AF＝λFB，且EF∥平面ADD1A1．
（1）求λ的值；
（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值．
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上两点，O为坐标原点，k OA•k OB＝﹣，点D在线段AB上，且，连接OD并延长交椭圆C于E，试问是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝xe x．
（1）求f（x）在x＝﹣2处的切线方程；
（2）已知关于x的方程f（x）＝a有两个实根x1，x2，当时，求证：|x1﹣x2|＜（e2+1）a+4．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x∈R|x2﹣2x＜0}，B＝{x∈R|1≤x≤4}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜4}B．{x|0＜x≤4}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2＜x≤4}解：因为集合A＝{x∈R|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x∈R|1≤x≤4}，
所以A∪B＝{x|0＜x≤4}．
故选：B．
2．已知向量＝（1，3），则下列向量中与垂直的是（）
A．（0，1）B．（﹣3，﹣1）C．（3，1）D．（﹣3，1）解：∵向量＝（1，3），（1，3）•（0，1）＝0+3＝3≠0，故向量（0，1）与向量不垂直，
故A不满足条件；
∵（1，3）•（﹣3，﹣1）＝﹣3﹣3＝﹣6≠0，故（﹣3，﹣1）与不垂直，故B不满足条件；
∵（1，3）•（3，1）＝3+3＝6≠0，故（3，1）与不垂直，故C不满足条件；
∵（1，3）•（﹣3，1）＝﹣3+3＝0，故（﹣3，1）与垂直，故D满足条件，
故选：D．
3．复数的虚部为（）
A．1B．﹣1C．﹣i D．i
解：＝＝＝．
∴复数的虚部为1．
故选：A．
4．已知双曲线C：＝1（m＞0），则C的离心率的取值范围为（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）
解：双曲线C：＝1（m＞0），
则C的离心率e＝＝，
C的离心率的取值范围为（，+∞）．
故选：C．
5．2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利．湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”．已知某品种脐橙失去的新鲜度h与其采摘后的时间t（天）满足关系式：h＝m•a t.若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（已知lg2≈0.3，结果四舍五入取整数）（）A．23天B．33天C．43天D．50天
解：由题意可知，∴，
∴50%＝5%×a t，
∴a t＝10，即，
∴t＝10log210，
∴t≈33，
故选：B．
6．某班有60名学生参加某次模拟考试，其中数学成绩ξ近似服从正态分布N（110，σ2），若P（100≤ξ≤110）＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10B．9C．8D．7
解：因为数学成绩ξ近似服从正态分布N（110，σ2），
所以考试成绩ξ关于ξ＝110对称，
又P（100≤ξ≤110）＝0.35，
所以P（ξ＞120）＝P（ξ＜100）＝，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9人．
故选：B．
7．（x+﹣1）4展开式常数项为（）
A．11B．﹣11C．8D．﹣7
解：（x+﹣1）4＝展开式的通项公式为T r+1＝••（﹣1）r，r＝0，1，2，3，4．
对于，它的通项公式为T k+1＝•x4﹣r﹣3k，k＝0，1，2，…4﹣r，
令4﹣r﹣3k＝0，求得r＝1，k＝1，或者r＝4，k＝0．
故展开式中的常数项为﹣•+•1＝﹣11，
故选：B．
8．桌面上有3个半径为2021的球两两相外切，在其下方空隙中放入一个球，该球与桌面和三个球均相切，则该球的半径是（）
A．B．C．D．2021
解：设三个半径为R的球的球心分别为O1，O2，O3，与桌面三个切点分别为A，B，C，如下图所示，
则三棱柱ABC﹣O1O2O3，是一个底面边长为2R，高为R的正三棱柱，
则小球球心O在底面ABC上的投影必为△ABC的中心H，
连接OH，AH，OO1，作OD∥AH，可得四边形AHOD为矩形，OD＝AH，
设小球半径为r，则OH＝AD＝r，O1D＝O1A﹣DA＝R﹣r，
∵H为底面三角形的中心，∴AH＝OD＝，
又OO1＝R+r，∴，
即，整理得．
∵R＝2021，∴r＝．
即该球的半径是．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．某学校为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，制订了一套量化评价标准．如表是该校甲、乙两个班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）
德智体美劳甲班9.59.599.58
乙班9.599.598.5
A．甲班五项得分的极差为1.5
B．甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数
C．甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数
D．甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差
解：对于A，甲班五项得分的极差为9.5﹣8＝1.5，选项A正确；
对于B，计算甲班五项得分的平均数为＝×（9.5+9.5+9+9.5+8）＝9.1，
乙班五项得分的平均数为＝×（9.5+9+9.5+9+8.5）＝9.1，
所以甲班五项得分的平均数等于乙班五项得分的平均数，选项B错误；
对于C，甲班五项得分的中位数是9.5，乙班五项得分的中位数是9，
所以甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数，选项C正确；
对于D，计算甲班五项得分的方差为＝×[0.42+0.42+（﹣0.1）2+0.42+（﹣1.1）2]＝0.34，
乙班五项得分的方差为＝×[0.42+（﹣0.1）2+0.42+（﹣0.1）2+（﹣0.6）2]＝0.14，所以甲班五项得分的方差大于乙班五项得分的方差，选项D错误．
故选：AC．
10．已知函数f（x）＝sinωx﹣sin（ωx+）（ω＞0）在[0，π]上的值域为[﹣，1]，则实数ω的值可能取（）
A．1B．C．D．2
解：∵f（x）＝sinωx﹣sin（ωx+）＝sinωx﹣sinωx﹣cosω＝sin（ωx﹣），x∈[0，π]⇒（ωx﹣）∈[﹣，ωπ﹣]，
∵f（x）＝sinωx﹣sin（ωx+）（ω＞0）在[0，π]上的值域为[﹣，1]，
∴≤ωπ﹣≤，
∴≤ω≤，
故选：ABC．
11．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点．设P是准线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为M，则（）
A．|AB|的最小值为4B．直线AB过点F
C．PM⊥y轴D．线段AB的中垂线过定点
解：对于选项A，设P（﹣1，y0），过点P的切线方程为x＝m（y﹣y0）﹣1，
联立，得y2﹣4my+4my0+4＝0，
∵切线与抛物线相切，∴△＝16m2﹣4（4my0+4）＝0，即m2﹣my0﹣1＝0，
∴m1+m2＝y0，m1m2＝﹣1，
设点A（，2m1），B（，2m2），
则AB的中点M为（，m1+m2），即（+1，y0），
∴|AB|＝＝＝≥4，即选项A正确；
对于选项B，直线AB的方程为y﹣y0＝k AB（x﹣﹣1），其中k AB＝＝
＝，
∴y﹣y0＝（x﹣﹣1），
代入焦点F（1，0），满足直线AB的方程，即选项B正确；
对于选项C，∵P（﹣1，y0），M（+1，y0），
∴k MP＝0，即PM⊥y轴，即选项C正确；
对于选项D，∵k AB＝，M（+1，y0），
∴AB的中垂线所在直线的方程为y﹣y0＝﹣（x﹣﹣1），并不过定点，即选项D 错误，
故选：ABC．
12．已知实数x，y，z满足x+y+2z＝1，且x2+y2+z2＝1，则下列结论正确的是（）A．x的最小值为B．z的最大值为
C．z的最小值为D．xyz取最小值时z＝
解：依题意，，
由柯西不等式有，，
即9（1﹣x2）≥（1﹣x）2，解得，故选项A对；
依题意，直线x+y+2z﹣1＝0与圆有交点，
则，解得，
故z的最小值为，最大值为1，选项B错，选项C对；
又（x+y）2＝（1﹣2z）2＝1﹣4z+4z2，，
∴，
∴，
令，则，
令f′（z）＞0，解得或，令f′（z）＜0，解得，∴f（z）在单调递增，在单调递减，又
，
∴f（z）在时取最小值，故选项D对．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+a n＝4，则S4＝．
解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+a n＝4，
∴n＝1时，a1+a1＝4，解得a1＝2，
n≥2时，S n﹣1+a n﹣1＝4，
∴a n+a n﹣a n﹣1＝0，∴，
∴数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列，
∴S4＝＝．
故答案为：．
14．抛掷3个骰子，事件A为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件B为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则P（A|B）＝．
解：根据题意，抛掷3个骰子，有6×6×6＝216个基本事件，
事件B为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，有C31×5×5＝75个基本事件，则P （B）＝＝，
事件AB，即三个骰子向上的点数互不相同且其中恰好有一个骰子向上的点数为2，有C31×5×4＝60个基本事件，则P（AB）＝＝，
则P（A|B）＝＝；
故答案为：．
15．已知函数f（x）＝ax﹣x sin x﹣2cos x在（0，2π）上有两个极值点，则实数a的取值范
围是（﹣π，0）．
解：由题意得f′（x）＝a+sin x﹣x cos x＝0在（0，2π）上有两个零点，
令g（x）＝a+sin x﹣x cos x，则g′（x）＝x sin x，
当x∈（0，π）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（π，2π），g′（x）＜0，g （x）单调递减，
所以，
解得﹣π＜a＜0，
故答案为：（﹣π，0）．
16．如图，在边长为2的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点．若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则：
（1）三棱锥S﹣EFG外接球的表面积为6π；
（2）点G到平面SEF的距离为．
解：由题意可得GE，GF，GS两两垂直，
把三棱锥S﹣EFG补形为长方体，可得长方体外接球的直径是以GE，GF，GS为棱的长方体的对角线，
设三棱锥S﹣EFG的外接球的半径为R．
∴4R2＝22+12+12，得4R2＝6，
∴三棱锥S﹣EFG的外接球的表面积为4πR2＝6π；
设点G到平面SEF的距离为h，
由等积法可得：V S﹣EGF＝V G﹣SEF，
即＝，
得×h，
解得h＝．
故答案为：6π；．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，a1∈（0，2），a n2+3a n+2＝6S n．（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．
解：（1）项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，a1∈（0，2），a n2+3a n+2＝6S n．①，当n＝1时，a12+3a1+2＝6S1＝6a1，解得a1＝1或2，
由于a1∈（0，2），
所以a1＝1．
当n≥2时，，②，
①﹣②得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，
故a n﹣a n﹣1＝3（常数），
所以a n＝3n﹣2．
（2）设b n＝＝．
故＝．
18．在①cos B＝；②b+c＝2；③a＝，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求出△ABC的面积．
问题：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，已知a sin C＝c•cos A，补充的条件是____和___．
解：∵a sin C＝c•cos A，由正弦定理可得：sin A sin C＝sin C•cos A，sin C≠0，
∴sin A＝•cos A，∴tan A＝，A∈（0，π），解得A＝．
若选择①cos B＝，则cos B＜﹣，
∴B∈（，π），与三角形内角和定理矛盾，因此不能选择①，只能选择②③．由余弦定理可得：6＝b2+c2﹣2bc cos，与b+c＝2联立，
解得：bc＝2．
∴△ABC的面积S＝×2×sin＝．
19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在线段CD1上，CE＝2ED1，点F为线段AB上的动点，AF＝λFB，且EF∥平面ADD1A1．
（1）求λ的值；
（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值．
解：（1）过E作EG⊥D1D于G，连接GA，则EG∥CD，而CD∥FA，故EG∥FA，∵EF∥平面ADD1A1，EF⊂平面EFAG，平面EFAG∩平面ADD1A1＝GA，
∴EF∥GA，
∴四边形EGAF是平行四边形，
∴GE＝AF，
∵CE＝2ED1，
∴，
∴，即，
∴．
（2）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则
，
设平面EDF的一个法向量为，则，则可取，
易知平面CDF的一个法向量为，
∴，
又二面角E﹣DF﹣C的平面角为锐角，
∴二面角E﹣DF﹣C的余弦值为．
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
解：（1）记事件A1＝{从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2＝{从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，事件C ＝{顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝+，C＝B1+B2，因为P（A1）＝，P（A2）＝，
所以，P（B1）＝P（A1）P（A2）＝＝，P（B2）＝P（）+P（）＝+＝＝，故所求概率为：P（C）＝P（B1+B2）＝P（B1）+P（B2）＝．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X＝0）＝＝，P（X ＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．
故X的分布列为：
X0123
P
E（X）＝3×＝．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上两点，O为坐标原点，k OA•k OB＝﹣，点D在线段AB上，且，连接OD并延长交椭圆C于E，试问是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．
解：（1）依题意，，解得，
∴椭圆C的方程为；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），
由得，设，则结合题意可知，，故E（λx3，
λy3），
将点E（λx3，λy3）代入椭圆方程可得，即
，
整理可得，，
又∵点A，B均在椭圆上，且k OA•k OB＝﹣，
∴，
∴，即为定值．
22．已知函数f（x）＝xe x．
（1）求f（x）在x＝﹣2处的切线方程；
（2）已知关于x的方程f（x）＝a有两个实根x1，x2，当时，求证：|x1﹣x2|＜（e2+1）a+4．
解：（1）∵f（x）＝xe x，f（﹣2）＝﹣
∴f′（x）＝（x+1）e x，f′（﹣2）＝﹣，
故x＝﹣2时的切线方程是y＝﹣（x+2）﹣，
即y＝﹣x﹣；
（2）证明：由（1）知：f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
∵f（﹣1）＝﹣，f（﹣2）＝﹣，
当﹣＜a＜﹣时，方程f（x）＝a有2个实根x1，x2，则x1，x2∈（﹣2，0），
令g（x）＝f（x）+x+（﹣2＜x＜0），
则g′（x）＝（x+1）e x+，
令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝（x+2）e x＞0，
故g′（x）在（﹣2，0）递增，故g′（x）＞g′（﹣2）＝0，
故g（x）在（﹣2，0）递增，故g（x）＞g（﹣2）＝0，故g（x1）＞0，故a＝f（x1）＝g（x1）﹣x1﹣＞﹣x1﹣，
故﹣（e2a+4）＜x1，
故x∈（﹣2，0）时，xe x＞x，故a＝f（x2）＞x2，
故|x1﹣x2|＜a+e2a+4＝（e2+1）a+4．。