第十四章整式的乘法与因式分解导学案

第十四章 整式的乘法与因式分解
同底数幂的乘法
学习目标：
1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程.
2．能熟练地实行同底数幂的乘法运算. 会逆用公式a m a n ＝a m+n .
3．通过法则的习题教学，训练学生的归纳水平，感悟从未知转化成已知的
思想.
学习重点：掌握并能熟练地使用同底数幂的乘法法则实行乘法运算.
学习难点：对法则推导过程的理解及逆用法则.
学习过程：
一、知识回顾，引入新课
问题二：(用5分钟时间解答问题四9个问题，看谁做的快，思维敏捷！)
1.根据乘方的意义填空：
（
1）23×24 =（2×2×2）×（2×2×2×2）=
（2）53×54 =（ ）×（ ）=
342.猜想：a m ·a n
= （,m n 都是正整数）
3.验证：a m ·a n =（ ）×（ ）
=（ ）=()a
4.归纳：同底数幂的乘法法则：a m ×a n ＝ （m 、n 都是正整
数）
文字语言：
5.法则理解：①同底数幂是指底数相同的幂．如(-3)2与(-3)5,(ab 3)2与(ab 3）
5,(x-y)2与(x-y)3 等．
②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边：两个幂的底数相同，且是相乘的
关系；右边：得到一个幂，且底数不变，指数相加．
6.法则的推广： a m ·a n ·a p = （m,n,p 都是正整数）.
思考：三个以上同底数幂相乘，上述性质还成立吗？
同底数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘．
共（ ）个
a m·a n·a p=a m+n+p，a m·a n·…·a p=a m+n+…+p(m、n…p都是正整数)
7.法则逆用能够写成
同底数幂的乘法法则也可逆用，能够把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．如：25=23·22=2·24等．
8.应用法则注意的事项：
①底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：32·23≠32+3；
②不要忽视指数为1的因数，如：a·a5≠a0+5．
例1.计算：（1）103×104；（2）a •a3 （3）a •a3•a5 (4) x m×x3m+1
例2.计算：(1)(-5) (-5)2(-5)3 (2)(a+b)3(a+b)5 （3）-a·(-a)3
（4）-a3·(-a)2 （5）(a-b)2·(a-b)3 （6）(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5
四、深入探究、活学活用
例3. (1)已知a m＝3，a m＝8，求a m+n 的值.
(2)若3n+3=a，请用含a的式子表示3n的值.
(3)已知2a=3，2b=6，2c=18，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由.
五、总结反思，归纳升华
通过本节课的学习，你有哪些感悟和收获，与同学交流一下：
①学到了哪些知识？②获得了哪些学习方法和学习经验？③与同学的合作交流中，你对自己满意吗？④在学习中，你受到的启发是什么？你认为应该注意的问题是什么？
知识梳理：
________________________________________________________________；
方法与规律：
______________________________________________________________；
情感与体验：
______________________________________________________________；
反思与困惑：
______________________________________________________________.
幂的乘方
学习目标：
1.理解幂的乘方的运算法则，能灵活使用法则实行计算，并能解决一些实际
问题.
2.在双向使用幂的乘方运算法则的过程中，培养学生思维的灵活性；
3.在探索“幂的乘方的法则”的过程中，让学生体会从特殊到一般的数学归
纳思想 .初步培养学生应用“转化”的数学思想方法的水平.
学习重点：能灵活使用幂的乘方法则实行计算.
学习难点：幂的乘方与同底数幂的乘法运算的区别，提升推理水平和有条理
的表达水平.
学习过程：
一、创设情境，导入新课
问题一：我们知道：a a a a a=a 5,那么 类似地a 5a 5a 5a 5a 5能够写成(55)5,
⑴上述表达式(55)5是一种什么形式？（幂的乘方）
⑵你能根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则计算出它的结果吗？
二、观察猜想，归纳总结
问题二：1.试试看：（1）根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：
① ()();22223323=⨯= ②（a m ）2=________×_________
=__________；
③ ()=323 =()3 ④ ()=43a = ()a .
2. 类比探究：当n m ,为正整数时，
()()()().a a a a a a m m m m m m n m ==•••=++
个个
观察上面式子左右两端，你发现它们各自有什么样的特点？它们之间有怎样
的运算规律？请你概括出来： .
3.总结法则 （a m ）n ＝________________（m ，n 都是正整数）
幂的乘方，_________________不变，______________________.
三、理解使用，巩固提升
问题三：1.计算（1）();1053 （2）()43b ； （3）()().3553a a •
（4）()()()24432232x x x x •+• （5）()()()()335210254a a a a a -•-•--+
（6）()[]()[]4332y x y x +•+ （7）()()()[]22n n m m n n m -•--
归纳小结：同底数幂的乘法与幂的乘方的区别：相同点都是
不变；不同点，前者是指数 ，后者是指数 .
2.（1）已知,2832235x =⨯求x 的值.（2）已知,32=n x 求()2
3n x 的值. 四、深入探究，活学活用
问题四：1.我们知道31=3，它的个位数字是3；32=9它的个位数字是9；33=27
它的个位数字是7；34=81它的个位数字是1，……再继续下去看一看，你发现了什么？你能很快说出32012的个位数字是几吗？
2. 逆用法则)()(a a a
m n n m mn ==： （1）)()()(64(23(_____)(_____)(____)(___)12a a a a a ==== （2）)()((_____)(______)a a a n m mn ===)((__)a m =)((___)a n （3）39(____)
3= 五、深入学习，巩固提升
1．下列各式中，计算准确的是（ ）
A.()633a a =
B. 1644a a a =•
C. ()1243a a =
D. 743a a a =+
2．下列计算准确的是（ ） A ．x 2+x 2=2x 2 B ．x 2x 2=2x 4
C ．(a 3)3=a 10
D ．(a m )n =(a n )m 3．13+m x 可写成（ ）
A ．()13+m x
B ．()13+m x
C ．()x x m •3
D ．x x m •3 4．（a 2）3a 4 等于（ ） A ．m 9 B ．m 10 C ．m 12 D ． m 14
5．填空：()=34x ；()=•523x x ；若()==•y a a a y 则,1135 .
6．（1）若,210,310==y x 求代数式y x 4310+的值.（2）()n n 求,39162=的值.
7．一个棱长为310的正方体，在某种条件下，其体积以每秒扩大为原来的2
10倍的速度膨胀，求10秒后该正方体的体积.
六、总结反思，归纳升华
知识梳理：
________________________________________________________________；
方法与规律：
______________________________________________________________；
情感与体验：
______________________________________________________________；
反思与困惑：
______________________________________________________________.
积的乘方
学习目标：
1.会实行积的乘方运算，进而会实行混合运算.
2.经历探索积的乘方运算法则的过程，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘
法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.
3.通过积的乘方法则的探究及应用，让学生继续体会从特殊到一般的认知规
律，从一般到特殊的应用规律.
学习重点：积的乘方运算法则及其应用.
学习难点：各种运算法则的灵活使用.
学习过程：
一、创设情境，导入新课
问题一：1、已知一个正方体的棱长为2×103cm，•你能计算出它的体积是多少吗？
列式为：
2.讨论：体积应是V=(2×103)3cm3，这个结果是幂的乘方形式吗？底数
是，其中一部分是103幂，但总体来看，底数是 .
所以(2×103)3应该理解为 .如何计算呢？
二、探究学习，获取新知
问题二： (用4分钟时间解答问题四4个问题，看谁做的快，思维敏捷！)
1.读一读，做一做：
（1） (ab)2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=
（2）(ab)3＝＝＝a( )b( )
（3）(ab)4= = = （4）(ab)n＝＝＝a( )b( )（其中n是正整数）
2.总结法则：积的乘方公式：(ab)n ＝（n为
正整数）文字语
言：
.
3.如果是三个或三个以上几个数的积的乘方，这个运算性质还适用吗？
如：（abc）n ＝.
4.在使用积的乘方运算时，应注意的问题：积的乘方运算对于三个或三个以
上几个数的积的乘方运算，即：（abc）n ＝ a n b n
c n；在使用积的乘方运算性质时，①要注意结果的符号；②要注意积中的每一
项都要实行乘方，不要掉项.
三、理解使用，巩固提升
例3 计算：（1）（2b）3（2）（2×a3）2（3）（－a）3
（4）（－3x）4（5）(-5b)3（6）(-2x3)4
四、深入探究，自我提升
活动四完成下列探索
1.积的乘方运算性质：（ab）n ＝a n b n，把这个公式倒过来应该
是： .
2.倒过来之后的公式说明的意思是什么？你能用自已的语言说明一下吗？
3.试一试 （1）)125.0()(2012201281⨯ （2）52.055⨯
（3）4)25.0(20112011⨯- （4）［(-145)502］4×(25
4)2009 （5）)1()()7(20092011201071--⨯⨯ （6）)()()(23751514909090⨯⨯
五、总结反思，归纳升华
知识梳理：1.积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积.即（ab ）n
＝ a n b n （n 是正整数）.2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这个性质.
如（abc ）n ＝ a n b n c n （n 是正整数）3．积的乘方法则能够实行逆运算.即a n b n ＝
（ab ）n （n 为正整数）
方法与规律：
______________________________________________________________；
情感与体验：
______________________________________________________________；
反思与困惑：
______________________________________________________________.
单项式乘以单项式
学习目标：
1.会熟练利用单项式乘单项式的法则实行相关运算；
2.通过对单项式法则的应用，培养观察、比较、归纳及运算的水平.
教学重点：单项式与单项式相乘的法则
教学难点：计算时注意积的系数、字母及其指数.
学习过程：
一、知识回顾，导入新课
问题一：(用1分钟时间解答下面4个问题，看谁速度快，做的好！)
1.同底底数幂的乘法：
幂的乘方：
积的乘方：
同底数幂的除法：
2.判断下列计算是否准确，如有错误加以改正.
(1)a 3·a 5＝a 10 ( ) (2)a·a 2·a 5＝a 7；
( )
(3)(a 3)2＝a 9； ( ) (4)(3ab 2)2·a 4＝
6a 2b 4.( )
3．计算：(1)10×102×104＝( )； (2) (－2x 2y 3)2＝
( ).
(3) (a ＋b)·(a＋b)3·(a＋b)4＝( )；
4.一个长方形的底面积是4xy ，高是3x ，那么这个长方体的体积是多少？
请列式： .
这是一种什么运算？怎么实行呢？本节我们就来学整式的乘法.
二、探究学习，获取新知
问题二：(用2分钟时间解答下面3个问题，看谁做的快，思维敏捷！)
1.探究： 4xy·3x 如何实行计算？因为：4xy·3x ＝4·xy·3·x ＝
(4·3)·(x·y)·y ＝12x 2y.
2.仿例计算：(1)3x 2y·(－2xy 3)＝ ＝ . (2)(－5a 2b 3)·(－4b 2c)＝ ＝ . (4)3a 2·2a 3 = （ ）×（ ）＝ .
(5)－3m 2·2m 4 =（ ）×（ ）＝ .
(6)x 2y 3·4x 3y 2 = （ ）×（ ）＝ .
(7)2a 2b 3·3a 3= （ ）×（ ）＝ .
3.观察第2题的每个小题的式子有什么特点？由此你能得到的结论是：
法则：单项式与单项式相乘，
三、理解使用，巩固提升
问题三：(用6分钟时间解答下面6个问题，看谁做的又快又准确！)
1.计算①（13
a 2）·（6a
b ）＝ ； ②4y· (-2xy 2) ＝ ③(-5a 2b)(-3a)＝ ； ④（2x 3）·22 ＝ ； ⑤(-3a 2b 3)(-2ab 3c)3＝ ； ⑥(-3x 2y) ·(-2x)2
＝ .
2.归纳总结：(1)通过计算，我们发现单项式乘单项式法则实际分为三点：
一是先把各因式的__________相乘，作为积的系数；
二是把各因式的_____ 相乘，底数不变，指数相加；
三是只在一个因式里出现的________，连同它的________作为积的一个因
式.
(2)单项式相乘的结果仍是 ．
3.推广：(1)计算：3a 3b·2ab 2·(－5a 2b 2) = 方法总结：多个单项式相乘，只要把它们的系数相乘作为积的系数，同底
数的幂相乘即可.
(2)做一做：①(2x 2y) •(－ 3xy 3) •(x 2y 2z)
②( 4×10 3) •(3×102) • (0.25×104)
4．计算⑴=-•---•--)()()3
1()2(432322x xy xy y x （2）=+•+2)()(2y x y x
（3）=-•-•-•2323)()()2(12
1x y y x xy x 5.卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约7.9×103
米／秒，则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少?
6．探究单项式相乘的几何意义．① 边长是a 的正方形的面积是a·a ，反过来说，a·a 也可以看作是边长为a 的正方形的面积. ②探讨：3a·2a 的几何意义．③探讨：3a ·5ab 的几何意义．
四、实践应用，提升技能
问题三：(用5分钟时间解答下面5个问题，看谁做的快，方法灵活！)
1．判断：①单项式乘以单项式，结果一定是单项式（ ）
②两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（ ）
③两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（ ）
2．下列运算准确的是（ ）
A.()()4435432y x xy xy -=--
B. ()122321535a a a =⋅
C.()()232101.0x x x -=--
D.()n n n 2101021102=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯ 3．计算（1）0.4x 2y•(21
xy)2-(-2x)3•xy 3 （2）()b a abc c ab 3322123121⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-
4. 已知单项式83
2+-y x b a 与单项式y x y b a -324的和是单项式,求这两个单项式的
积.
5已知n m y x 2132+-与m n y x ---364的积与y x 4-是同类项,求m 、n 的值.
五、总结反思，归纳升华
知识梳理：
__________________________________________________________________；
方法与规律：
________________________________________________________________；
情感与体验：
________________________________________________________________； 反思与困惑：
________________________________________________________________
单项式乘以多项式
学习目标
1．在具体情景中，了解单项式乘以多项式的意义，理解单项式与多项式的乘法法则；
2． 能熟练、准确地使用法则实行单项式与多项式的乘法运算.
3．经历探索乘法运算法则的过程，让学生体验从“特殊”到“一般”的分析问题的方法，感受“转化思想”、“数形结合思想”，发展观察、归纳、猜测、验证等水平.
4．初步学会从数学角度提出问题 ，使用所学知识解决问题，发展应用意识.通过反思,获得解决问题的经验.发展有条理的思考及语言表达水平.
学习重点：在经历法则的探究过程中，深刻理解法则从而熟练地使用法则. 学习难点：准确判断单项式与多项式相乘的积的符号.
学习过程：
一、联系生活 设境激趣 ,
⑴有几种算法计算共花了多少钱？ ⑵各种算法之间有什么联系？
请列式：方法1： ; 方法2： .
联系 ……①
2．将等式15(5.20+3.40+0.70)
=15×5.20+15×3.40+15×0.70 中的数字用字母代替也可得
到等式：m （a+b+c ）=ma+mb+mc ；……②
问题二：如图长方形操场,计算操场面积？
方法1： .
方法2： .
可得到等式 （乘法分配律）；
二、探究学习，获取新知.
1．等式②左右两边有什么特点?
2．提炼法则：
3．符号语言：a(b+c)=ab+ac 或 m （a+b+c ）=ma+mb+mc
4．思想方法：剖析法则m （a+b+c ）=ma+mb+mc ，得出： 转化
单项式 ×多项式 —— → 单项式 ×单项式
乘法分配律
三、理解使用，巩固提升
问题三：1.计算：⑴223(2)(35)a ab ab -⋅- ⑵（3
2ab 2-2ab ） •ab ⑶品名 单价（元） 数量
笔记本 5.20 15 钢笔 3.40 15 贺卡 0.70 15
(-2a).(2a 2-3a+1)
2．单项式与多项式相乘的步骤：①按乘法分配律把乘积写成 ；
②单项式的乘法运算.
3．讨论解决：（1）单项式与多项式相乘其依据是 ,使用的数学思想是 . （2）单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数与原多项式的项数 . （3）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定： 同号相乘得 ，异号相乘得 . 4. 抢答：下列各题的解法是否准确，准确的请打∨错的请打× ，并说明原因.
(1)221a(a 2+a+2)=21a 3+2
1a 2+1 (
) (2)3a 2b(1-ab 2c)=-3a 3b 3
( )
（3）5x(2x 2-y)=10x 3-5xy ( ) （4）(-2x).（ax+b-3)=-2ax 2-2bx-6x
( )
5．计算： ⑴ (5a 2－2b)·（-a 2） ⑵2222
12()5()2
a a
b b a a b ab -+--
四. 题型探索 中考链接
问题四：(2011中考题)先化简，再求值.
2a 3b 2(2ab 3-1)-(-32a 2b 2)(3a-29a 2b 3)其中a=3
1,b=-3.
归纳小结：1．用单项式乘多项式法则去括号和单项式乘单项式法则实行计算.
2．合并同类项化简. 3．把已知数代入化简式，计算求值.
五、联系现实 升华思维
问题五：1. 某长方形足球场的面积为(2x 2+500)平方米，长为(2x+10)米和宽为x 米，
这个足球场的长与宽分别是多少米？ 2.你能用几种方法计算下面图形的面积S ？
五、总结反思，归纳升华
x
2x 2+500 个法则：m （a+b+c ）=ma+mb+mc 种思想：“转化”、“数形结合”
种运用：化简、解方程(不等式)、实际问题等2x+10
知识梳理：
多项式乘以多项式
学习目标
1．理解并经历探索多项式乘以多项式法则的过程.
2．熟练应用多项式乘以多项式的法则解决问题
3．培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及水平.
学习重点：多项式乘以多项式的运算法则与应用.
学习难点：多项式乘以多项式法则的得出与理解.
学习过程：
一、温故知新,导入新课：
计算：⑴（-8a 2b ）(-3a) ⑵2x·(2xy 2-3xy)
使用的知识与方法：
二、问题情境,探索发现
问题一：1.如下图，某地区退耕还林，将一块长m 米、宽a 米的长方形林区
的长、宽分别增加n 米和b 米.求这块林区现在的面积S.(比一比看谁的方法多，
运算快)
按①②④可得到的结论：
按①③④可得到的结论：
2.蕴含的代数、几何意义分别是：
3.归纳概括, 加深理解：①多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘， ②用字母表示为： .
三、理解使用 总结方法
问题二：1.计算⑴(x+2)(x -3) ⑵(3x -1)(2x+1) ⑶(x+2)(x+2y -1)
四、反馈矫正，注重参与
问题三：(下面的计算是否准确？如有错误，请改正)
⑴(3x+1)(x -2) ⑵(3x -1)(2x-1) ⑶(x+2)(x -5)
=3x 2-6x-2 =6x 2-3x-2x+1 =x 2+5x+2x+10
=x 2+7x+10
归纳多项式与多项式相乘注意事项：① ② ③
五、综合使用 拓展提升
a b
问题4：（中考链接）有一道题计算（2x ＋3)（3x ＋2)－6x （x ＋3)＋5x ＋16
的值，其中
x ＝－666 ，小明把x ＝－666错抄成x ＝666，但他的结果也准确，这是为什
么?
问题5：（联系生活）有一个长方形的长是2x cm,宽比长少4cm,若将长方形
的长和宽都增加3cm,面积增加多少? 若x =2 cm,则增加的面积是多少？
六、实践使用 巩固新知
1.判断下列各题是否准确,并说出理由 .
(1).2(31)(2)36x x x x x +-=-+ ( ) (2).2(2)(5)710x x x x +-=++
( )
(3).22(25)(32)641510a b a b a ab ba b +-=-+- ( )
2. 选择题：下列计算结果为 x 2－5x －6的是（ ）
A.（x －2)（x －3)
B. （x －6)（x ＋1)
C. （x －2)（x ＋3)
D. （x ＋2)（x
－3)
3.如果ax 2＋bx ＋c ＝（2x ＋1)（x －2)，则a = b = c =
4.一个三角形底边长是（5m －4n),底边上的高是（2m ＋3n) ，则这个三角形
的面积是
5. 王老汉承包的长方形鱼塘，原长 2x 米，宽 x 米，现在要把四周向外扩
展 y 米，问这个鱼塘的面积增加多少？
七、总结反思
同底数幂的除法
学习目标：
1．理解同底数幂的除法运算法则，能灵活使用法则实行计算，并能解决实
际问题.
2．探索推导“同底数幂的除法运算法则”的过程中，让学生体会从特殊到
一般的数学归纳思想，继续培养学生的推理水平和语言、符号的表达水平.
学习重点：能灵活使用同底数幂的除法运算法则实行计算 .
学习难点：应用同底数幂的除法运算法则解决数学问题.
学习过程：
一、自主学习，导入新课
问题一： (用2分钟时间快速解答下面6个问题，看谁反映的快！)
1．我们已经知道同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n ，那么同底数幂怎么相除
呢？
2. （1）用你学过的知识完成下面计算.
①23·22=2( ) ②103·104=10( ) ③a 4·a 3=a ( )
（2）根据上面的计算，由除法和乘法是互为逆运算，你能直接写出下面各
题的结果吗？
①25÷22＝ ；②107÷103＝ ；
③a 7÷a 3＝ （a≠0）．
3.仿例计算：(用幂的形式填空)①=⨯⨯⨯=÷2
222222525
个 ； ②
=÷371010 = ； ③=÷37a a = .
4．类比探究：①一般地，当m 、n 为正整数，且m ＞n 时
()()()a a a a a a a a a n
m =••••••=÷
个个， ②你还能利用除法的意义来说明这个运算结果吗？
③观察上面式子左右两端，你发现它们各自有什么样的特点？它们之间有怎
样的运算规律？请你概括出来：
5．总结法则：同底数幂的除法性质： a m ÷a n = （m 、n 为正整数，
m>n ，a≠0）
文字语言：同底数幂相
除，
.
6．（1）32÷32 =9÷9= （2）32÷32 =3（ ）－（ ）=3（ ）=
（3）a n ÷a n =a （ ）－（ ）=a （ ）=1,也就是说，任何不为0的数的 次幂等
于1；
字母作底数，如果没有特别说明一般不为0.
二、合作学习，获取新知
问题二： 1、计算（1）38a a ÷ （2）()()310a a -÷- （3）()()4
722a a ÷
（4）x 6÷x = ；（6）(-x)4÷(-x) = ；
三、深入探究 ，活学活用
问题三： 1．你会计算 (a+b)4÷(a+b)2吗？
2．在幂的运算中，如果底数是多项式，法则还适用吗？
3．做一做 （1）（x – y ）7 ÷（x – y ） （2）（– x – y ）3÷（x+y ）
2
4．由a m ÷a n =a m-n 可知：a m-n =a m ÷a n ，你会逆用这个公式吗？试一试：
⑴已知3m =5,3n =4,求32m-n 的值. ⑵已知的值。

求x x x ,16486422=÷÷
⑶已知：5m =3,25n =4，求5m-2n+2的值．⑷若3m-2n-2=0,求101001026÷÷n m 的
立方根
四、理解使用，巩固提升
问题四：1．下列计算中准确的是（ ）
A.()23
5a a a =÷- B. ()422263y x xy = C. b a b a 325=÷ D. ()()527
m m m -=-÷- 2．填空：()523p p ÷= ；()3210a a -÷= ()()=-÷-2633x y y x
3．计算：（1）（–2a ）5 ÷(2a)3 ； （2） （a -6）3÷（a - 6）3
（3）y 10n ÷（y 4n ÷ y 2n ）； （4）x 7 ÷x 2 + x·（–x ）4；
4．（1）x m = 5，x n = 3，求x m –n
⑵的算术平方根求已知n k m k n m a a a a 23,2,3,8+-===
5．有一容积为()41016⨯立方厘米的长方体水池，测得水面的面积为()3
1016⨯ 平方厘米，这个水池的深度是多少？
五、总结反思
______________________________________________________________.
平方差公式
学习目标：
1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.
2．能准确地利用平方差公式实行多项式的乘法运算.
3．通过平方差公式得出的过程，体会数形结合的思想.
学习重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征.
学习难点：准确理解两数和乘以它们的差的公式的意义.
学习过程：
一、联系生活,设境激趣
问题一：王林到小卖部去买饼干, 售货员告诉他：共4.2千克，每千克3.8元.正当售货员还在用计算器计算时，王林马上说出了共15.96元，售货员很惊奇地问：“你怎么比计算器算的还快呢？”王林很得意的告诉她：这是一个秘密.
同学们,你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗?
二.观察概括,探索验证
问题二：1．经过本节课的学习,我们就能揭开这个秘密了.请同学们计算下面三道题：
(1)(x＋3)(x－3)； (2) (m＋5n)(m－5n)； (3) (4＋y)(4－y) .
2．请你观察思考：以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?积有什么特点?你能用字母表示吗？
观察发现：两数和乘以这两数的等于这两数的
用一个数学等式表示为：（a＋b）（a－b）＝……平方差公式.
3.这个等式准确吗?你怎样验证其准确性呢?
⑴利用多项式乘以多项式计算：
⑵你能再用以下的图形验证平方差公式吗？试一试.
图13.3.1
先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：
＝－．
具有简洁美的乘法公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．
三、理解使用，巩固提升
问题三：1. 填一填：①2x+21）（2x-2
1）=（ ）2-（ ）2 = ②(3x+6y)(3x -6y)=( )2-（ ）2=
③(m 3+5)(m 3-5)=( )2-（ ）2=
2. 辨一辨：
① (2x ＋3)(2x －3) =2x 2－9
②(x＋y 2)(x －y 2) = x 2－y 2
③(a＋b)(a －2b) = a 2－b 2
3.说一说：下列各式都能用平方差公式计算吗?
①(2a－3b)(3b －2a) ②(－2a+3b) (2a+3b) ③(－2a －3b)(2a －
3b)
④(2a－3b)(2a+3b) ⑤(2a+3b)(－2a －3b) ⑥(2a－3b)(－3b+2a)
4．做一做：（1）(a ＋3)( a －3) （2）(2a ＋3b)( 2a －3b) （3）(1＋2c)( 1－2c)
（4）变式拓展：①（－2x －y ）（2x －y ） ②(-m+n)(-m-n) ③
(-2x-5y)(5y-2x)
5．生活实践⑴计算：1998×2002
⑵现在你能揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗?
⑶街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?
四、实践应用，提升技能
问题四： (用4分钟独立完成，看谁又快又准.)
1.下列能够用两数和乘以这两数差公式计算的是（ ）
A.（x-y ）（x+y ）
B.（x-y ）（y-x ）
C.（x-y ）（-y+x ）
D.
（x-y ）（-x+y ）
2.比一比：①（5+6x ）(5-6x ） ②（3m-2n ）(3m+2n ） ③（ab+8）
(ab-8）
④（2x ＋y ）(－2x ＋y) ⑤（－4a －0.1）(4a ＋0.1） ⑥(m+n)(m -n)+3n 2
⑦（-x +2）( -x －2) ⑧（－a+b ）（a+b ）
3.请你独立完成课本P 30练习，在经历训练中熟练使用公式运算．
五、总结反思
________________________________________________________________.
完全平方公式
学习目标：
1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式实行计算.
2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理水平.
3.培养学生探索水平和概括水平，体会数形结合的思想.
重点：对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式使用实行简单的计算.
难点：对公式的理解， 包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释.
学习过程：
一.温故知新,引入新知
（1）两数和乘以这两数的差的公式是什么？
（2）口述多项式乘以多项式法则.
（3）计算 （2x －1）（3x －4） （5x ＋3）（5x －3）
二.自主学习，探求新知
情景问题：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来
招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块……
（1） 第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2） 第二天有b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3） 第三天这（a ＋b ）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4） 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？
三.理解使用，提升理解
1．(a ＋b)2=a 2＋b 2对吗?为什么?
2．仿照公式计算.
（1）（x ＋y ）2 （2）（x - y ）2
例1.计算：⑴（2a ＋3b ）2； ⑵（2）（2a ＋2
b ）2 ⑶()22y x +- 自主总结出公式，导入新课： （a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2
这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍
用面积法检验公式：先观察右图，再用等式表示下图中图形面积的运算.
例2.计算：（1）（a －b ）2；
（2）（2x －3y ）2 （3）221⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--x （4）()252b a --
注意：本例题是两数差的平方，可将（a －b ）看成是[a ＋(－b)]，就将减法统一成加法，
即：()()222222
2)()(2][b ab a b b a a b a b a +-=-+-+=-+=-， ()2222b ab a b a +-=-在今后的计算中可直接应用.
四.深入探究，活学活用
例3.计算：⑴()()()
22y x y x y x -+- ⑵()()()()221211513-+-+-+m m m m 例4.已知()(),4,72
2=-=+b a b a 求22b a +和ab 的值。

例5.已知,41
=-a a 求22b a +的值.
五、深入学习，巩固提升
1、判断正误：
（1）（b-4a ）2=b 2-16a 2．（ ） （2）（
12
a+b ）2=14a 2+ab+b 2．（ ） （3）（4m-n ）2=16m 2-4mn+n 2．（ ） （4）（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2．（ ）
2．选择题：
⑴在下列各式中，计算准确的是（ ）
A ．（2m-n ）2=4m 2-n 2
B ．(5x-2y)2=25x 2-10xy+4y 2
C ．(-a-1)2=-a 2-2a-1
D ．(-a 2-0.3ab)2=a 4+0.6a 3b+0.09a 2b 2
3. 利用完全平方公式实行简便计算：
（1）1022 （2）1992 （3）（x ＋2）2－（x －2）2
4．请你独立完成课本P 32练习第1、2、3题.
五、总结反思
________________________________________________________________；
因式分解（一）
学习目标
1．了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.
2．会用提公因式法实行因式分解.
3．树立学生全面理解问题、分析问题的思想，提升学生的观察水平、逆向思维水平.
学习重点：掌握提取公因式，公式法实行因式分解.
学习难点：怎样实行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.
学习过程
一、温故知新，导入新课
问题一：1. 回忆：使用前两节所学的知识填空：
（1）2（x ＋3）＝___________________；
（2）x 2（3＋x ）＝_________________；
（3）m （a ＋b ＋c ）＝_______________________.
2.探索：你会做下面的填空吗？
（1）2x ＋6＝（ ）（ ）；
（2）3x 2＋x 3＝（ ）（ ）；
（3）ma ＋mb ＋mc ＝（ ）2.
3.归纳：“回忆”的是已熟悉的 运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回
忆” ，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（也叫分解因式）.
4.反思：①分解因式的对象是______________,结果是____________的形式.
②分解后每个因式的次数要 （填“高”或“低”）于原来多项式的次数.
二、探究学习，获取新知
问题二：1.公因式的概念．
⑴一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a ，b ，c ，宽都是m ，用两个不
同的代数式表示这块场地的面积.
① _______________________________,
②___________________________
⑵填空：①多项式62+x 有 项，每项都含有 ， 是这个多
项式的公因式.
②3x 2+x 3有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式.
③ma+mb+mc 有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因
式.
※多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式.
2．提公因式法分解因式.
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就能够 ，从而将多项式化成
两个 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：ma ＋mb ＋mc ＝m （a
＋b ＋c ）
3.辨一辨：下列各式从左到右的变形，哪是因式分解?
（1）4a(a ＋2b)＝4a 2＋8ab ； （2）6ax －3ax 2＝3ax(2－x)；
（3）a 2－4＝(a ＋2)(a －2)； （4）x 2－3x ＋2＝x(x －3)＋2．
（5）36ab a b a 1232•= （6）⎪⎭⎫
⎝⎛+=+x a b x a bx 4. 试一试： 用提公因式法分解因式：
（1）3x+6=3( ) （2）7x 2-21x=7x( )
（3）24x 3+12x 2 -28x=4x( ) （4）
-8a 3b 2+12ab 3c-ab=-ab( )
5.公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂.
6.方法技巧： (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：a 、确定公因式b 、把公因式
提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.
(2)、为了检验分解因式的结果是否准确，能够用整式乘法运算来检验.
三、理解使用，巩固提升
问题三：1.把下列多项式分解因式：
（1）-5a 2+25a （2）3a 2-9ab
分析（1）：由公因式的确定方法，我们能够这样确定公因式：
①定系数：系数-5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为（ ）
②定字母：两项中的相同字母是（ ），故公因式的字母取（ ）；
③定指数：相同字母a 的最低指数为（ ），故a 的指数取为（ ）；
所以，-5 a 2+25a 的公因式为：（ ）
2．练一练：把下列各式分解因式：
(1)ma+mb (2)5y 3-20y 2
(3)a2x 2y-axy 2
3．把下列各式分解因式：
(1)-4kx-8ky (2)-4x+2x 2 (3)-8m 2
n-2mn
4．把下列各式分解因式：
(1)a 2b-2ab 2 +ab (2)3x 3–3x 2–9x
(3)-20x 2y 2-15xy 2+25y 3
5．把下列各式分解因式：
(1)-24x 3+28x 2-12x (2)-4a 3b 3+6a 2b-2ab
(3)6a(m-2)+8b(m-2)
6分解因式：（1）a(a+1)+2(a+1) （2）(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)
（3）4（x-y ）3-8x(y-x)2 （4）(1+x)(1-x)-(x-1)
四、实践应用，提升技能
1．下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是 （填序号）
①()22221y x y x -•=- ②()()y x y x y x -+=-22
③()()222244y x y x y x -+=- ④()2222y xy x y x ++=+
2．若分解因式()()n x x mx x ++=-+3152，则m 的值为 .
3．把下列各式分解因式：
⑴8m 2n+2mn ⑵12xyz -9xy 2 ⑶ 2a （y －z ）－3b(z －y)
4．利用因式分解计算：21×3.14+62×3.14+17×3.14
五、总结反思________________________________________________________________
公式法（第一课时）
学习目标：
1．经历用平方差公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意义。

2．会用平方差公式法对多项式实行因式分解。

3．体会从正、逆两个方面理解和研究事物的方法。

学习重、难点：
学习重点：应用平方差公式分解因式；
学习难点：准确使用平方差公式实行因式分解.
学习过程：
一、复习与交流
(a+2)(a-2)= (-x+3)(-x-3)= (3a+2b)(3a-2b)=
二、创设情境、引入课题
自学课本P119-120,完成下列问题。

1．公式法分解因式在此公式是指什么公式？
2．什么条件下能够用平方差公式实行因式分解？
3．如何将多项式x 2-1和9x 2-4分解因式？
三、一起探究，解决问题
你能像分解x 2-1和9x 2-4一样将下面的多项式分解因式吗？
⑴p 2-16= ; ⑵y 2-4= ;
⑶ x 2-9
1= ; ⑷a 2-b 2= . 实际上，把平方差公式 (a +b )(a -b )= a 2-b 2
逆过来，就得到 a 2-b 2=(a +b )(a -b )。

那么，一个整式只要表示成两个整式的平方差的形式，就能够用平方差公式分解因式，这种分解因式的方法叫做 。

例1 把下列各式分解因式：
⑴36－ a 2； ⑵4x 2-9y 2.
解：
例2 把下列各式分解因式：
⑴ a 3-16a ； ⑵2ab 3-2ab .
解：
四、随堂练习
1．下列多项式，能用平分差公式分解的是（ ）
A ．－x 2－4y 2
B ．9 x 2+4y 2
C ．－x 2+4y 2
D ．x 2+（－2y ）2
2. 分解因式：25－(m +2p )2 =
3．分解因式：2ax 2－2ay 2=
4．分解因式：x 5－x 3= .
5. 分解因式：a 2-(a +b )2= .
6. 分解因式：9(m +n )2-16(m -n )2
五、拓展练习
小明说：对于任意的整数n ，多项式（4n 2+5）2－9都能被8整除．他的说法准确吗？说明你的理由．
六布置作业 ：课后习题1，3，4。

公式法（第二课时）
学习目标：
1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意
2、会用完全平方公式法对多项式实行因式分解。

3、体会从正、逆两个方面理解和研究事物的方法。

学习重、难点：
学习重点：用完全平方公式分解因式；
学习难点：准确使用平方差公式实行因式分解.
学习过程：
一、创设情境、引入课题
前面我们在学习整式乘法时用到了完全平方公式，其公式内容为 。

像用平方差公式逆过来用能够分解因式一样，若把完全平方公式逆过来，就得到a 2+2ab+b 2=(a+b)2,
a 2-2ab+
b 2=(a-b)2。

这样，我们就能够利用它们对多项式实行因式分解了
二、一起探究，尝试解决
例3 把下列各式分解因式：
⑴t 2+22t+121； ⑵m 2+4
1n 2－mn. 解：
例4 把下列各式分解因式：
⑴ax 2+2a 2x+a 3 ⑵(x+y)2-4(x+y)+4 ⑶(3m-1)2-4n 2。