人教A版8.4.1平面课件(31张)

推论
内容
推论 经一条直线和这条直线外
1 一点，有且只有一个平面
推论 经过两条相交直线，有且
2 只有一个平面
推论 经过两条平行直线，有且
3 只有一个平面
图形
作用
确定 平面 的依 据
THANK YOU
直线没有粗细，可以无限延伸
点和直线的基本关系
A
l
B
l
点A在直线l上 点B在直线l外
A_∈___l
B__∉__l
直线上有无数个 点，我们可以把 直线看作是点的 集合。
1.平面的概念:
海面、湖面、桌面、黑板面、墙面
几何中的平面是无限延展的
1.平面的概念:
平面没有大小、厚薄和宽窄，在空间 是无限延展的，是没有边界的
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A__∈__l A__∉__l A__∈__α A_∉___α l__⊂__α l__⊄__α
图形语言
A
l
Al
αA A
α
l l
总结： 平面的基本事实及推论
1．与平面有关的三个基本事实
基本 事实
内容
图形
基本 事实 1
过不在一条直线上 的三个点，有且只有 一个平面
如果一条直线上的 基本 两个点在一个平面 事实 2 内，那么这条直线在
例 3 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，AA1 的中 点．求证：CE，D1F，DA 三线交于一点．
证明：连接 EF，D1C，A1B，
∵E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点，∴EF═∥═12A1B.
又∵A1B═∥═D1C，∴EF═∥═12D1C，∴E，F，D1，C 四点共面．
l
平面的基本性质的推论
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可 以得到下面三个推论： 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
m
l
平面的基本性质的推论
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可 以得到下面三个推论： 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 简记为：不共线的三点确定一个平面.
二、平面的基本性质
基本事实1：
存在性
过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
简述：不共线的三点确定一个平面
C
A
B
唯一性
A, B,C三点不共线 A, B,C三点确定一平面
作用：给出了确定一个平面的依据和方法
例2 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
证明：∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α.
又 l2∩l3＝B，∴B∈l2，∴ B∈α. 同理 C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.
m
l
4. 平面的基本性质的推论 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得
到下面三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
A a α
b αa P
b
α
a
课堂练习 1．判断正误(1)平面是处处平的面．( )(2)平面是无 限延展的．( )(3)平面的形状是平行四边形．( )(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm.( )
α
∴直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
变式 已知直线 a∥b，直线 l 与 a, b 都相交，求证：过 a, b, l 有且只有一个平面． 证明：如图所示．由已知 a∥b， 所以过 a，b 有且只有一个平面 α. 设 a∩l＝A，b∩l＝B， 所以 A∈α，B∈α，且 A∈l，B∈l， 所以 l⊂α. 即过 a，b，l 有且只有一个平面．
PART 01
知识回顾
立体图形都是由点、直线、平面等基 本元素组成的，为了进一步认识立体图 形的结构特征，就要研究这些基本元素 之间的位置关系，我们先从认识点、直 线、平面这些基本元素开始．
知识回顾：点
点：用大写字母A、B、C…表示
点没有大小
知识回顾：直线
直线：用小写字母a、b、c…表示
a
b
c
平面的基本性质
讨论1：
当一把直尺的边缘上任意两点 放在平面的桌面，可以观察到 什么现象？
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这
条直线在这个平面内.
Al
l •B
α
•A
符号语言：
Bl
A
l
判断直线是否在一个平面内！
B
探究
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
设 D1F∩CE＝P，D1F⊂平面 A1D1DA，CE⊂平面 ABCD，
P
∴点 P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点．
又∵平面 A1D1DA∩平面 ABCD＝DA，∴P∈DA，
即 CE，D1F，DA 三线交于一点．
变式 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，AA1 的 点．且 D1F∩CE=M，求证：点 D，A，M 三点共线．
证明：∵D1F∩CE＝M， 且 D1F⊂平面 A1D1DA，
∴M∈平面 A1D1DA. 同理 M∈平面 BCDA，
从而 M 在两个平面的交线上，
M
∵平面 A1D1DA∩平面 BCDA＝AD，
∴M∈AD 成立．
∴点 D，A，M 三点共线．
小结：点、直线、平面之间的基本关系
文字语言
符号语言
A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α内
2.几何画法：
通常用平行四边形来表示平面
在画平行四边形表示平面时，所表示的平面
如果是水平平面，通常把锐角画成45°,横边画
成邻边的2倍.
D
C
45°
A
B
问题2：类比点和直线，我们可以怎样表示平面呢？
用大写英文字母表示： 平面ABCD、平面AC.
用希腊字母表示： 平面α、平面β、平面γ等, 并写在平行四边形一个角内.
点、直线、平面的基本关系
直线上和平面内有无数个点，我们可以把直线和平面都看
作是点的集合。
αA
B
α
α
l
m
α
点A在平面α内 点B在平面α外 直线l在平面α内 直线m在平面α外
A_∈___α
B__∉__α
l__⊂__α
l__⊂__α
思考：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可 以确定一个平面？
平面的基本性质
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
基本事实3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
α
Pl
符号语言：
P ,且P l,且P l
判定两个平面相交的依据！
如无特殊说明，本 章中的两个平面均指 两个不重合的平面.
平面的基本性质的推论
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可 以得到下面三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
这个平面内
符号
A，B，C 三点不共 线⇒存在 唯一的 α 使 A，B， C∈α A∈l，B∈ l，且 A∈ α，B∈α ⇒l⊂α
基本事实
内容
如果两个不重合
的平面有一个公
基本事实 3 共点，那么它们有
且只有一条过该
点的公共直线
图形
符号
P∈α，且 P∈β⇒ α∩β＝l， 且 P∈l
2.基本事实 1 的三个推论
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
例题讲解 例1:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a B A
l
(1)
al P b
(2)
1 l, a A, a B.
2 l, a , b , a l P, b l P.
5. 平面的基本性质的应用