三年级奥数培优教程讲义第28讲 面积计算(教师版)

第28讲面积计算
教学目标
教学目标熟悉掌握基本图形面积的求法。

熟悉运用分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算公式求解。

能够分析图形的特点，提高几何图形的观察能力和思维转换能力。

知识梳理
解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；
2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。

典例分析
例1、人民路小学操场长90米，宽45米。

改造后，长增加10米，宽增加5米。

现在操场面积比原来增加了多少平方米？
【解析】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。

操场现在的面积是（90+10）×（45+5）=5000平方米，
操场原来的面积是90×45=4050平方米。

所以，现在的面积比原来增加5000－4050=950平方米。

例2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。

这个长方形原来的面积是多少平方米？
【解析】由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米”可知，它的宽为54÷6=9米；
由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为36÷3=12米。

所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。

例3、下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。

【解析】根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米。

而宽是4米，那么长是（16－4）÷2=6米，
占地面积是6×4=24平方米。

例4、街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？
【解析】把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。

因此，一个长方形的面积是12÷4=3平方米。

因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是3÷1=3米。

从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，
所以小正方形的边长是3－1=2米。

中间花坛的面积是2×2=4平方米。

例5、一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少181平方分米。

原正方形的边长是多少？
【解析】把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来，
再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，
这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米，
长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。

所以，
原来正方形的边长是221÷13=17分米。

例6、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。

求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？
【解析】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，
可以分成三部分，其中A和B的面积相等。

因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，
再除以2就能得到长方形A和B的面积，
再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。

求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。

例7、求下面图形的面积。

（单位：厘米）
【解析】这是一个不规则图形，不能直接求出面积，因此需要转换一下，
画一条辅助线，将其分解成两个长方形如图。

从右图可以看出左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米。

右边长方形长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。

故整个图形面积为8+3=11平方厘米
例8、下图中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米。

大正方形和小正方形的面积各是多少？
【解析】如图，把大正方形比小正方形多出的96平方厘米的图形分成一个蓝色的正方形和两个同样的灰色长方形。

可以求出蓝色正方形的面积为：4×4=16（平方厘米）；
则每个小长方形的面积为：（96-16）÷2=40（平方厘米）；
每个小长方形的长即所求小正方形图形的边长为：40÷4=10（厘米）。

所以，所求小正方形的面积为：10×10=100（平方厘米）；
所求大正方形的面积为：（10+4）×（10+4）=196（平方厘米）
实战演练
课堂狙击
1、有一块菜地长16米，宽8米。

菜地中间留了2条宽2米的路，把菜地平均分成了4块，每一块地的面积是多少？
【解析】解法一：因为两条小路把把菜地平均分成了4快，所以每一小块长方形菜地：
长为：（16-2）÷2=7（米）；
宽为：（8-2）÷2=3（米）；
面积为：7×3=21（平方米）
解法二：如图，假设把两条小路平移到菜地的上方和左方，路的面积和剩下菜地的面积都不会发生改变。

去掉小路，剩下菜地面积为：（16-2）×（8-2）=84（平方米），
每一小块菜地面积为：84÷4=21（平方米）
2、将一块长3米，宽2米的长方形布剪成一块面积最大的正方形布，剩下部分的面积是多少平方米？【解析】要使剪成的正方形布面积最大，就要使它的边长最长，那么只能用原来长方形的宽为边长，即正方形的边长为2米，正方形的面积为2×2=4平方米，
剩下布的面积就是长方形面积减去正方形面积=2×3-4=2平方米
3、计算下图的面积。

30-20=10
【解析】这是一个不规则图形，不能直接求出面积，因此需要转换一下，
画一条辅助线，将其分解成两个长方形如图。

从图可以看出左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米。

右边长方形长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。

故整个图形面积为8+3=11平方厘米
4、长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积
【解析】如图，EF将向右延长，HG向上延长，交于G点，那么正方形EBIG的边长等于长方形ABCD 周长一半，即8厘米，面积为64平方厘米。

长方形ABCD与长方形FDHG的长和宽是相等的，故面积相等。

而正方形ADFE与CDHI的面积之和，等于题中已给的四个正方形面积和的一半，即68÷2＝34平方厘米。

64－34＝30平方厘米应等于长方形ABCD面积的2倍。

所以ABCD的面积是30÷2＝15平方厘米。

5、一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。

【解析】因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，
而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。

课后反击
1、把一张长4米、宽3米的长方形木板，锯成一个面积最大的正方形木板，这个正方形木板的面积是多少平方米？
【解析】要使锯成的正方形木板面积最大，就要使它的边长最长，
那么只能用原来长方形的宽为边长，即正方形的边长为3米，
正方形的面积为3×3=9平方米。

2、下图是一个养鸡专业户用一段长24米的篱笆围成一个长方形的养鸡场，其中一面利用墙，求占地面积有多大？
【解析】根据题意，两条长加上一条宽等于24米，宽是6米，所以长是（24-6）÷2=9米。

因此占地面积=6×9=54平方米
3、如下图，一块正方形玉米田，边长是9米。

中间有两条1米宽的小路。

求种着玉米的土地的面积(图中阴影部分的面积)
【解析】平移下就可以清楚地看到，玉米种植地就是阴影部分的面积，
阴影部分边长均为8，故阴影部分面积为8×8=64平方米
4、长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如右图），其中图形甲的长和宽的比是a：
b=2：1，其中图形乙的长和宽的比是多少？
【解析】假设甲的长为2，宽为1，则甲的面积就是：2×1=2，
长方形ABCD的面积：4×2=8，则DC=8÷2=4，
乙的长：4-1=3，乙的宽=2÷3=2/3，则乙的长和宽的比是3：2/3=9：2
5、把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？
【解析】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。

两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。

如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成一个长方形，
此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），
即大、小两个正方形的边长相差2分米。

因此，大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米），
面积是11×11=121（平方分米）
名师点拨
长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长
掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。

但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。

这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。

学霸经验
本节课我学到了
我需要努力的地方是。