人教A版高中数学必修三1-3-1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法

用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时，第一步是 ________．
[答案] 用 2 约简 [解析] 由于 294 和 84 都是偶数，先用 2 约简．
2．秦九韶算法 (1)概念：求多项式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 的值 时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式 求值比较先进的算法，其实质是转化为求 n 个__一__次__多项式 的值，共进行_n_次乘法运算和_n_次加法运算．其过程是：
[答案] C
3．更相减损术的理论依据是( ) A．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍 数 B．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约 数 C．每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同 D．每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同
[答案] B
4．用秦九韶算法计算f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋
3．求满足1＋
1 22
＋
1 32
＋…＋
1 n2
>106的最小正整数n，要求
设计算法画出其程序框图，编写程序．
[答案]
由于事先不知道循环的次数，故可用WHILE语句编写程 序如下：
新课引入
秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率 1500 名将士与楚王 大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死 伤四五百人，于是韩信整顿兵马返回大本营．当行至一山坡， 忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀 声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信骑马到 坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”．它形成了一类 问题，也就是初等数论中解同余式．这类问题的有解条件和 解题方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出 的．
在本节中我们将通过一些典型的算法案例，来体会我国 古代数学的伟大成就和显著特色．
自主预习 阅读教材P34－39，回答下列问题： 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r.
[答案] A
2．下列有关辗转相除法的说法正确的是( ) A．它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法 B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m ＝nq＋r，直至r<n为止 C．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m ＝qn＋r(0≤r<n)反复进行，直到r＝0为止 D．以上说法均不正确
A．i＞11 C．i＜＝11
[答案] D
B．i＞＝11 D．i＜11
2．当 x＝2 时，下面程序的运行结果是________．
i＝1 s＝1 WHILE i<＝4 s＝s*x＋1 i＝i＋1 WEND PRINT s END
[答案] 31
[解析] s＝1×2＋1＝3 时，i＝1＋1＝2；s＝3×2＋1＝7 时，i＝2＋1＝3；s＝7×2＋1＝15 时，i＝3＋1＝4，所以 s＝ 31.
所以 108－45＝63， 63－45＝18， 45－18＝27， 27－18＝9， 18－9＝9， 所以 108 与 45 的最大公约数为 9.
成才之路·数学
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
算法初步
第一章
1．3 算法案例
第一章
第1课时 辗转相除法与 更相减损术、秦九韶算法
课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答
基础巩固训练 能力强化提升
课前自主预习
温故知新 1．如果下边程序执行后输出的结果是132，那么在程序 UNTIL后面的“条件”应为( )
②两个整数差值 ②两个整数的差值较大时，运
较大时运算次数 算次数较多．
区别 较少．
③相减，两数相等得结果．
③相除余数为零 ④相减前要做是否都是偶数的
时得结果．
判断．
名称 辗转相除法
更相减损术
①都是求最大公约数的方法．
联系 ②二者的实质都是逆归的过程．
③二者都要用循环结构来实现.
用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相 减损术检验所得结果．
名师辨误做答
已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求 f(－2)的值．
[错解] f(x)＝((3x2＋2)x＋4)x＋2， v1＝3×(－2)2＋2＝14； v2＝14×(－2)＋4＝－24； v3＝－24×(－2)＋2＝50. 故f(－2)＝50.
[错因分析] 所求f(－2)的值是正确的，但是错解中没有 抓住秦九韶算法原理的关键，正确改写多项式，并使每一次 计算只含有一次项．
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋ 4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
[分析] 解决本题首先需要将原多项式化成f(x)＝((((((7x
＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x的形式，其次再弄清v0，v1， v2，…，v7分别是多少，再针对这些式子进行计算．
[解析] f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x， 所以有 v0＝7； v1＝7×3＋6＝27； v2＝27×3＋5＝86； v3＝86×3＋4＝262； v4＝262×3＋3＝789； v5＝789×3＋2＝2369； v6＝2369×3＋1＝7108；
设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的 结构是( )
A．顺序结构 B．条件结构 C．循环结构 D．以上都有
[答案] D
思路方法技巧
辗转相除法和更相减损术的应用
学法指导 更相减损术与辗转相除法都能求两个数的最大公约数， 二者的区别与联术
①以除法为主． ①以减法为主．
(2)算法步骤： 第一步，输入多项式的次数 n、最高次项的系数 an 和 x 的值． 第二步，将 v 的值初始化为 an，将 i 的值初始化为 n－1. 第三步，输入 i 次项的系数 ai. 第四步，v＝vx＋ai，i＝___i－__1___. 第五步，判断 i 是否大于或等于__0.若是，则返回第三步； 否则，输出多项式的值__v___.
[答案] 3869＝2628×1＋1241
[解析] 第一步：6497＝3869×1＋2628， 第二步：3869＝2628×1＋1241.
7．用辗转相除法求108与45的最大公约数，再用更相减 损术验证．
[解析] 辗转相除法：108＝45×2＋18， 45＝18×2＋9， 18＝9×2＋0， 所以 108 与 45 的最大公约数为 9. 更相减损术：因为 108 与 45 不都是偶数，
＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为( )
A．－57
B．220
C．－845
D．3392
[答案] B
[解析] 由秦九韶算法，得v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－ 7，v2＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝ －57×(－4)－8＝220.
6．利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数时，第 二步是________．
(3)程序框图如图所示．
(4)程序： INPUT “n＝”；n INPUT “an＝”；a INPUT “x＝”；x v＝a i＝n－1 WHILE ___i>_＝__0___
PRINT “i＝”；i INPUT “ai＝”；a v＝___v_*_x_＋__a__ i＝i－1 WEND PRINT v END
[分析] 将80作为大数，36作为小数，执行辗转相除法和 更相减损术的步骤即可．
[解析] 用辗转相除法： 80＝36×2＋8， 36＝8×4＋4， 8＝4×2＋0. 故80和36的最大公约数是4.
用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
8x＋1当x＝0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数
分别为( )
A．6,6
B．5,6
C．6,5
D．6,12
[答案] A
[解析] 改写多项式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋ 8)x＋1，则需进行6次乘法和6次加法运算．
5．用秦九韶方法，求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3
规纳总结：辗转相除法是当大数除尽时，结束除法运 算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大数减去小 数的差等于小数时停止减法，较小的数就是最大公约数．
(1)用辗转相除法求288与123的最大公约数． (2)用更相减损术求57与93的最大公约数． (3)求567与405的最小公倍数．
[解析] (1)288＝123×2＋42,123＝42×2＋39， 42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3. (2)(93,57)―→(36,57)―→(36,21)―→(15,21)―→(15,6)―→ (9,6)―→(3,6)―→(3,3)， ∴93与57的最大公约数是3.
第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若 r＝_0_，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则 返回 第_二__步．
②程序框图如图所示．
③程序： INPUT m，n DO
r＝m MOD n m＝n n＝r LOOP UNTIL __r_＝__0__ PRINT _m_ END
(2)更相减损术． 算法步骤： 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 _偶__数__．若是，用__2_约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数_减__去较小的数，接着把所得的差与 较小的数比较，并以_大__数减_小__数．继续这个操作，直到所 得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数 的乘积就是所求的最大公约数．
改写多项式为： f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
设 v1＝__a_n_x_＋__a_n－_1__， v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， …， vn＝__v_n－_1_x_＋__a_0 __.
他命令士兵 3 人一排，结果多出 2 名；接着命令士兵 5 人一 排，结果多出 3 名；他又命令士兵 7 人一排，结果又多出 2 名．韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士，敌人不足 五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本 来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下 凡”“神机妙算”．于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声 喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团．交战不久，楚军大败 而逃．
(3)567＝405×1＋162 405＝162×2＋81 162＝81×2＋0 ∴81是567与405的最大公约数，从而567与405的最小公 倍数为567×405÷81＝2835.
用秦九韶算法求多项式的值
学法指导 用秦九韶算法时要正确将多项式的形式进行改写，然后 由内向外依次计算．当多项式函数中间出现空项时，要以系 数为零的齐次项补充．
[正解] f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋ 4)x＋2，
v1＝3×(－2)＋0＝－6； v2＝－6×(－2)＋2＝14； v3＝14×(－2)＋4＝－24； v4＝－24×(－2)＋2＝50. 故f(－2)＝50.
基础巩固训练
1．辗转相除法可解决下列问题中的( ) A．求两个正整数的最大公约数 B．求多项式求值 C．进位制的转化计算 D．排序问题
v7＝7108×3＝21324. 故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2 ＋x的值为21324.
求多项式 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1 当 x＝－2 时 的值．
[解析] 先改写多项式，再由内向外计算． f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1 ＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1. 而 x＝－2，所以有： v0＝1，v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3， v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4， v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2， v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1， v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1. 即 f(－2)＝－1.