数学人教版九年级上册第二十四章 圆 复习课

例3 [2012·南宁] 如图31－3， 点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC， ∠AOB＝50°，则∠ADC＝________ °. 25
图31－3
[解析] 连结OC，∵OA⊥BC，∴AB＝AC， 1 ∴∠AOC＝∠AOB＝50°，∴∠ADC＝ ∠AOC＝25°. 2
第2部分
与圆有关的位置关系
C
A
┗ M
●
●
B
n
O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒=BC ⌒, ④AC
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
垂径定理的 应用
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离 d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要 已知其中任意两个量，就可以求出另外两 个量，如图有：
a 2
h d O
⑴d + h = r
.p
三、点和圆的位置关系
.o .p r
Op＜r Op=r Op＞r
.o
.o .p
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
不在同一直线上的三个点确定一个圆
（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角 形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）
反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
E
G
例8.（2010山东济南）如图，正六边形螺帽的边 长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ A ） A． cm B． cm
2 3
C．
2 3 3
cm
D．1cm
3
第4部分 弧长和面积的计算 六.圆中的有关计算:
1.圆的周长和面积公式
周长C=2πr 面积S=πr2
2.弧长的计算公式
L=
S=
nπr 180
图34－3
[解析] 过 C 作 CO⊥AB，则 OC＝2, Rt△ABC 绕边 AB 所在 直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为 2×OC×AC×π ＝2×2×2 2π ＝8 2π .
第5部分 有关作图 七、怎样要将一个如图所示的破镜 重圆？
例10、 如图，AB是⊙O的任意一条弦， OC⊥AB，垂足为P，若 CP=7cm， AB=28cm ，你能帮老师求出这面镜子的半径 吗？ C
7 14
P
B
A
O
综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内
对角
例4：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，
Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值
r<OP<R . 范围是＿＿＿＿＿
O
P
四 .直线与圆的位置关系
r
●
r
O ┐d
●
r
O
●
O
d ┐ 相切
n
d ┐ 相离
相交
1、直线和圆相交 2、直线和圆相切
d < r; d = r; d > r.
a2 2 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理及推论
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧； (5)平分优弧.
知二得三
M└
●
B O
D
注意:“ 直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗? ( 错 )
例1 ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16， CD=12，则AB、CD间的距离 2cm 或14cm .
O
．
r
3.扇形的面积公式 nπr2
360
或
S=
1
l r 2
4.圆锥的展开图:
a a h r 侧面
底面
S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
例9
[2011·宁波] 如图 34－3，Rt△ABC 中，
∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2， 若把 Rt△ABC 绕边 AB 所在直线旋转一周， 则所得的几何体的表面积为( D ) A．4π C．8π B．4 2π D．8 2π
三角形的外接圆和内切圆
A A
O
C B B
I C 三角形内切圆的圆心叫三角 形的内心
三角形外接圆的 圆心叫三角形的
外心
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A A
●
A
●
O C B ┐
O C
●
O C
B
B
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
24
本章小结
本章知识结构图
圆的对称性 圆的基本性质 弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 与圆有关的位置关系 三角形的外接圆
圆
正多边形和圆
直线和圆的位置关系
切线
三角形内切圆
等分圆周 弧长
有关圆的计算
圆锥的侧面积和全面积
扇形的面积
本 章 安 排 复 习 内 容
第1部分 第2部分
②AB=A′B′
⌒ ⌒
④ OD=O′D′
例2 [2011·济宁] 如图31－2，AD为△ABC外接圆的直径， AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连结BD、CD. (1)求证：BD＝CD； (2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的 圆上？并说明理由． (1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC， ⌒ ⌒ ∴BD ＝CD .∴BD＝CD. (2)解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD. 图31－2 ∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE， ∠CBE＝∠ABE， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. 由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC. ∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O 的半径
●
O
∴CD⊥OA.
C
A
D
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意
两个，那么第三个也成立.①经过切点、②垂
直于切线、③经过圆心.
如 ① ② ① ③ ② ③
③ ② ①
例6 [2012·湛江] 如图32－1，已知点E在直角△ABC的斜 边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径． (1)证明： 连结OD， ∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC. 图32－1 又∵∠C＝90°，∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC， 即AD平分∠BAC. (2)解：设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝ BD2 ＋OD2， ∵BE＝2，BD＝4, ∴(BE＋OE)2＝ BD2 ＋OD2， 即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3， 故⊙O的半径为3.
实质
三角形的 外心 三角形的 内心
三角形三边垂直平 分线的交点 三角形三内角角 平分线的交点
性质
到三角形各顶 点的距离相等 到三角形各边 的距离相等
切线长定理: 从圆外一点向圆所引的两条切线,切 线长相等;并且这一点和圆心的连线 P 平分两条切线的夹角. ∵PA,PB切⊙O于A,B ∴PA=PB ∠1=∠2
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A B D
A
C
●
O
D
B
C
●
O
3.圆心角、弧、弦、弦心距的关系 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
D
B
●OB=∠A′O′B′
可推出
如由条件: ③AB=A′B′
圆的概念和性质 与圆有关的位置关系
第3部分
第4部分 第5部分
正多边形和圆
弧长和面积的计算 有关作图
第1部分
圆的概念和性质
一.圆的基本概念: 1、圆（两种定义）、圆心、半径； 2、圆的确定条件： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3、弦、直径； 4、圆弧（弧）、半圆、优弧、 劣弧； ． O 5、等圆、等弧，同心圆；
n n
3、直线和圆相离
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.
如图 ∵OA是⊙O的半径, 且 CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
C
●
O
A
D
判定切线的方法：
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r （３）切线的判定定理：经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
6、圆心角、圆周角； 7、圆内接多边形、多边形的外接圆； 8、割线、切线、切点、切线长； 9、反证法：假设命题的结论不成立，由 此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假 设不正确，从而得到原命题成立。
二. 圆的基本性质
1.圆的对称性:
(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都 是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何 一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变 性.
切线判定的两种常用辅助线
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直 于这条半径即可；（连半径，证垂直）
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条 垂线段等于半径即可．（作垂直，证相等）
例5 [2012·无锡] 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点 P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( D ) A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 O P P [解析] 分OP垂直于直线l，OP不垂于直线l两种情况讨 论． 当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r， ⊙O与l相切； 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d<2＝r， ⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
．
2.垂径定理
（1）定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
M└
●
B O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒=BC ⌒ ④AC ,
⌒=BD. ⑤AD
⌒
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
（2）垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.
与圆有关的辅助线的作法： 辅助线， 弦与弦心距， 亲密紧相连； 莫乱添， 规律方法记心间； 切点和圆心， 圆半径， 连结要领先； 不起眼， 遇到直径想直角， 角的计算常要连， 灵活应用才方便。 构成等腰解疑难；
第3部分
正多边形和圆
五、正多边形的有关概念:
１.中心：一个正多边形外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心． 2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这 F 个正多边形的半径． 3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆 的圆心角叫做这个正多边形的中心角． 4.边心距：中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距． A O B C D
4.圆周角定理及推论
D B E
●
C
C O
O C
A
●
BA
●
O
B
A
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 . 判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等.(×) (2)相等的圆周角所对的弧相等. (×) (3) 等弧所对的圆周角相等. (√)
n
A
1 2
●
O
B
直角三角形的内切圆 半径与三边关系.
n
n
三角形的内切圆半径与圆面积.
a bc r . A 2 D O F ● ┗
┓
1 S r abc . 2 A D F O ●
┓
B
E C
B
E
C
例7: 1、选择题： 下列命题正确的是（ C ） A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆 2、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆 2 30 cm 半径为2cm,则这个三角形的面积为____ ．