平面向量的基本定理及坐标表示ppt

3、用坐标表示向量,使得向量具有代数 特征,并且可以将向量得几何运算转化 为坐标运算,为向量得运算拓展一条新 得途径、我们需要研究得问题就是,向 量得与、差、数乘运算,如何转化为坐 标运算,对于共线向量如何通过坐标来 反映等、
探究(一):平面向量得坐标运算
思考1:设i、j就是与x轴、y轴同向得两个 单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a＝
于平面内得一个向量a,由平面向量基本定理
知,有且只有一对实数x、y,使得 a＝xi＋
yj、我们把有序数对(x,y)叫做向量a得坐标,
记作a＝(x,y)、其中x叫做a在x轴上得坐标,y
叫做a在y轴 上得坐标,上式叫做向量 y
得坐标表示、那么x、y得 y a
几何意义如何？
j
x
Oi
x
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
存在唯
一实数λ，使b＝λa.
4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重
力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
5、在物理中,力就是一个向量,力得合 成就就是向量得加法运算、力也可以分 解,任何一个大小不为零得力,都可以分 解成两个不同方向得分力之与、将这种 力得分解拓展到向量中来,就会形成一 个新得数学理论、
y B
C
A
D
D(2,2)
o
x
思考1:如果向量a,b共线(其中b≠0),那么 a,b满足什么关系？
a＝λb、 思考2:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若向量a,b共 线(其中b≠0),则这两个向量得坐标应满 足什么关系？反之成立吗？
向量a，b（b≠0）共线 x1y2 x2y1
思考3：如何用解析几何观点得出上述结 论？
平面向量的基本定理及坐标表示
问题提出Leabharlann tp1 2
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1、 向量加法与减法有哪几种几何运 算法则？
2、怎样理解向量得数乘运算λa？
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)λ>0时,λa与a方向相同; λ<0时,λa与a方向相反; λ=0时,λa=0、
3、平面向量共线定理就是什么？
非零向量a与向量b共线
小结作业
1、平面向量基本定理就是建立在向量 加法与数乘运算基础上得向量分解原理, 同时又就是向量坐标表示得理论依据,就 是一个承前起后得重要知识点、
2、向量得夹角就是反映两个向量相对 位置关系得一个几何量,平行向量得夹角 就是0°或180°,垂直向量得夹角就是90°、
3、向量得坐标表示就是一种向量与 坐标得对应关系,它使得向量具有代数意 义、将向量得起点平移到坐标原点,则平 移后向量得终点坐标就就是向量得坐标、
探究(二):平面向量得正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°,180°]
O aA
思考2:如果向量a与b得夹角就是90°,则 称向量a与b垂直,记作a⊥b、 互相垂直 得两个向量能否作为平面内所有向量得 一组基底？
思考3:如何用数学语言描述上述向量得 坐标运算？
两个向量与(差)得坐标分别等于这两个 向量相应坐标得与(差); 实数与向量得积得坐标等于用这个实数 乘原来向量得相应坐标、
思考4:如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2), 那么向量 AB 得坐标如何？一般地,一个 任意向量得坐标如何计算？
Ay
向量a，b（b≠0）共线 x1y2 x2y1
y
C
B
b
a
D
A
O
x
kAB
kCD
理论迁移
例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b,a－b,3a＋4b得坐标、
a＋b＝(－1,5), a－b＝(5,－3), 3a＋4b＝(－6,19)、
例2 如图，已知 ABCD的三个顶点的 坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、 C(3,4)，试求顶点D的坐标.
若e1、e2就是同一平面内得两个不共线向量, 则对于这一平面内得任意向量a,有且只有一 对实数λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2、
思考8:上述定理称为平面向量基本定理, 不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所 有向量得一组基底、 那么同一平面内可 以作基底得向量有多少组？不同基底对 应向量a得表示式就是否相同？
形？
B
N
PC
O
MA
思考7:根据上述分析,平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线得向量 e1,e2表示出来,从而可形成一个定理、 您能完整地描述这个定理得内容吗？
若e1、e2就是同一平面内得两个不共线向量, 则对于这一平面内得任意向量a,有且只有一 对实数λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2、
AB
＝ (
B
o
x
任x 意一个向量得坐标等于表示该向量 得2－有向线段得终点坐标减去始点坐标、
x
思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计
算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 AB 如何计算？
y Aa
a x2 y2
O
x
AB (x2 x1)2 (y2 y1)2
探究(二):平面向量共线得坐标表示
x1i＋y1j,b＝x2i＋y2j,
思考2:根据向量得坐标表示,向量 a ＋b,a－b,λa得坐标分别如何？
a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2); a－b＝(x1－x2,y1－y2); λa＝(λx1,λy1)、
a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2); a－b＝(x1－x2,y1－y2); λa＝(λx1,λy1)、
y
Aa
A(x,y)
j
Oi
x
理论迁移
例1 如图,已知向量e1、e2,求作向量 －2、5e1＋3e2、
e1
e2
C
B
3e2
A －2.5e1 O
例2 如图,写出向量a,b,c,d得坐标、
b=(-2,3)
5y b2 a
a=(2,3)
－4 －2 O 2
c=(-2,-3) c －2 d
－5
4x
d=(2,-3)
b
a
思考3:把一个向量分解为两个互相垂直
得向量,叫做把向量正交分解、如图,向 量i、j就是两个互相垂直得单位向量,向 量a与i得夹角就是30°,且|a|=4,以向量i、 j为基底,向量a如何表示？
B
P
a 2 3i 2j
a
j
Oi
A
思考4:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y
轴方向相同得两个单位向量i、j作为基底,对
探究(一):平面向量基本定理
思考1:给定平面内任意两个向量e1,e2,如 何求作向量3e1＋2e2与e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思考2:如图,设OA,OB,OC为三条共点射
线,P为OC上一点,能否在OA、OB上分别
找一点M、N,使四边形OMPN为平行四边
2、3、3 平面向量得坐标运算
2、3、4 平面向量共线得坐标表 示
问题提出
1、平面向量得基本定理就是什么？
若e1、e2就是同一平面内得两个不共线向量, 则对于这一平面内得任意向量a,有且只有一 对实数λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2、
2、用坐标表示向量得基本原理就是什 么？ 设i、j就是与x轴、y轴同向得两个单位 向量,若a＝xi＋yj,则a＝(x,y)、