高考数学概率与统计部分知识点梳理

高考数学概率及统计部分学问点梳理
一、概率：随机事务A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. １．随机事务
A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必定事务；当()0P A =时称为不行能事务P(A)=0；
注：求随机概率的三种方法： 〔一〕枚举法
例1如图1所示，有一电路AB 是由图示的开关限制，闭合a ，b ，c ，d ，e 五个开关中的随意两个开关，使电路形成通路．那么使电路形成通路的概率是 ．
分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的随意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，依据概率的意义计算即可。

解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是a b 、a c 、a d 、
a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)=
106=5
3 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事务的概率计算. 〔二〕树形图法
例2小刚和小明两位同学玩一种嬉戏．嬉戏规那么为：两人各执“象、虎、鼠〞三张牌，同时各出一张牌定输赢，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，假设两人所出牌一
样，那么为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，那么小刚胜；又如，
两人同时出象牌，那么两人平局．假如用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1、B 1、C 1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？
分析：为了清晰地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出全部可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。

解：画树状图如图树状图。

由树状图〔树形图〕或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性一样，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P 〔一次出牌小刚胜小明〕=
31
点评:当一事务要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出全部可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 〔三〕列表法
例3将图中的三张扑克牌反面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形〔状〕图或列表的方法求：〔1〕组成的两位数是偶数的概率；〔2〕组成的两位数是6的倍数的概率．
分析：此题可通过列表的方法，列出全部可能组成的两位数的可能状况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能状况和组成两位数 是6的倍数的可能状况。

解：列的表格如下：依据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所以〔1〕两位数是偶数的概率为
2
3
．〔2〕两位数是6的倍数的概率为13．
点评：当一事务要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出全部可能的结果，
通过画树形图的方法来计算概率
2.等可能事务的概率〔古典概率〕： P(A)=
n
m 。

3、互斥事务：〔A 、B 互斥，即事务A 、B 不行能同时发生〕。

计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。

4、对立事务：〔A 、B 对立，即事务A 、B 不行能同时发生，但A 、B 中必定有一个发生〕。

计算公式是：P 〔A 〕+ P(B)＝１；P(A )=1－P(A)；
5、独立事务：〔事务A 、B 的发生互相独立，互不影响〕P(A •B)＝P(A) • P(B) 。

提示：〔1〕假如事务A 、B 独立，那么事务A 及B 、A 及B 及事务A 及B 也都是独立事务；〔2〕假如事务A 、B 互相独立，那么事务A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P 〔A ⋅B 〕＝1－P(A)P(B)；〔3〕假如事务A 、B 互相独立，那么事务A 、B 至少有一个发生的概率是1－P 〔A ⋅B 〕＝1
－P(
A )P(
B )。

6、独立事务重复试验：事务A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k 次．
的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-(是二项绽开式[(1)]n p p -+的第k+1项)，其中p 为在一次独立重复试验中事务A 发生的概率。

提示：〔1〕探求一个事务发生的概率，关键是分清事务的性质。

在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事务：转化为等可能事务的概率(经常采纳排列组合的学问)；转化为假设干个互斥事务中有一个发生的概率；利用对立事务的概率，转化为互相独立事务同时发生的概率；看作某一事务在n 次试验中恰有k 次发生的概率，但要留意公式的运用条件。

〔2〕事务互斥是事务独立的必要非充分条件，反之，事务对立是事务互斥的充分非必要条件；〔3〕概率问题的解题标准：①
先设事务A=“…〞， B=“…〞；②列式计算；③作答。

二、随机变量.
1. 随机试验的构造应当是不确定的.试验假如满意下述条件：
①试验可以在一样的情形下重复进展；②试验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果。

它就被称为一个随机试验.
ξb a +=ξη也是一个随机变量.一般地，假设ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，那么)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x
ξ取每一个值),2,1(
=i x 的概率p x P ==)(ξ，那么表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
121i 留意：假设随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：假如在一次试验中某事务发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事务恰好发生k 次的概率是：
k
n k k n q p C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ听从二项分布，记作ξ～B 〔n ·p 〕，其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;q
p C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的推断及应用.
①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事务是否是进展n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，假如不满意此两条件，随机变量就不听从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布：“k =ξ〞表示在第k 次独立重复试验时，事务第一次发生，假如把k 次试验时事务A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .依据互相独立事务的概率乘法分式：
))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξ
== ),3,2,1(1
==-k p q k 于是得到随机变量ξ的概率分布列.
我们称ξ听从几何分布，并记p q
p)g(k,=，其中 3,2,1.1=-=k p q
5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M 〔M ＜N 〕件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，那么其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξn
N
k n M
N k M -≤-≤≤≤⋅⋅=
=--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的
取法数，假如规定m ＜r 时0C r
m =，那么k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件〔1≤n ≤a+b 〕，那么次品数ξ的分布列为
n.,0,1,k C C C k)P(ξn b
a k
n b
k a =⋅=
=+-.
⑶超几何分布及二项分布的关系.
设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ听从超几何分布.假设放回式抽取，那么其中次品数η的
分布列可如下求得：把b a +个产品编号，那么抽取n 次共有n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含k
n k k n b a C -个结果，故
n ,0,1,2,k ,)b
a a (1)
b a a (
C b)(a b
a C k)P(ηk
n k k n n
k
n k k n =+-+=+=
=--，即η～)(b a a n B +
⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
三、数学期望及方差.
n n 2211值的平均程度.
2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ及常数之和的期望等于ξ的期望及这个常数的和. ③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数及随机变量乘积的期望等于这个常数及随机变量期望的乘积.
⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ.
⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：〔p + q = 1〕 ⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p
k n k n k E k n k
)!(!!
ξ 其分布列为ξ～),(p n B .〔P 为发生ξ的概率〕
⑸几何分布：p
E 1
=
ξ 其分布列为ξ～),(p k q .〔P 为发生ξ的概率〕 、标准差的定义：当随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，那么称 +-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为
ξ的方差. 明显0≥ξD ，故σξξσξ.D =
为ξξ的方差及标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定及波动，集中及离散的程
度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.
⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2
)()(=+=.〔a 、b 均为常数〕
⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：〔p + q = 1〕 ⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2
p q D =
ξ
5. 期望及方差的关系.
⑴假如ξE 和ηE 都存在，那么ηξηξE E E ±=±)(
⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，那么ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(
⑶期望及方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-〔因为ξE 为一常数〕0=-=ξξE E . 四、正态分布.〔根本不列入考试范围〕
1.密度曲线及密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a a x =及直线b x =所围成的曲边梯形的面积
〔如图阴影部分〕的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x 〞 是必定事务，故密度曲线及x 轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布及正态曲线：假如随机变量ξ的概率密度为：2
22)(21)(σμσ
π--
=
x e
x f . 〔σμ,,R x ∈为常数，且0 σ〕，称ξ听
从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2
σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望及方差：假设ξ～),(2σμN ，那么ξ的期望及方差分别为：2
,σξμξ==D E .
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x 轴上方，及x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.
③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低〞的钟形曲线.
④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延长时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.
⑤当μ确定时，曲线的形态由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖〞.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高〞，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：假如随机变量ξ的概率函数为)(21)(2
2
+∞-∞=
-
x e
x x π
ϕ，那么称ξ听从标准正态分布. 即ξ～)
1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P 〔a ＜ξ≤b 〕的计算那么是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ . 留意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比方
5.00793.0)5.0(
=-Φσ
μ
那么
σ
μ
-5.0必定小于0，如图.
⑵正态分布及标准正态分布间的关系：假设ξ～),(2
σμN 那么ξ的分布函数通
常用)(x F 表示，且有)σ
μ
x (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.
S 阴=0.5S a =0.5+S
4.⑴“3σ〞原那么.
假设检验是就正态总体而言的，进展假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量听从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出推断：假如)3,3(σμσμ+-∈a ，承受统计假设. 假如
)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事务，就回绝统计假设.
⑵“3σ〞原那么的应用：假设随机变量ξ听从正态分布),(2
σμN 那么 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在
)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事务，假如此事务发生了，就说明此种产品不合格〔即ξ不听从正态分布〕.。