2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷（含答案解析）

2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷1.一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
命题u 3x ER 9 x 2 + 2x + a<0n 的否定是()
A. Vx G x 2 +2x + a < 0
B. 3x E R . x 2 + 2x + a > 0
C. Vx G R, x 2 + 2x + a > 0
D. 3% e R. X 2+ 2x + a < 0
2.己知集合M = (x| - 1 < x < 2}t N = {x\x{x + 3) < 0},则 M n N =()
3. A. [-3,2) B. (-3,2)成m(a>0)的值是()
C.(TO]
D. (-1,0)
A. I B・〃 C.洁 D.法
4.己知尸。

一1) = 2x + L 则/*(3)的值是(
A. 5
B.9
C. 7
D. 8
5.若实数a.bER 且a>b.则下列不等式恒成立的是（）
B. ；>1A.事”2
C. 2a>2b
D. lg(a-b)>0
6.若集合A = {x\x > 一1},则()
7.8. B. （0）QA C. {0} 6/4己知p ： ab > 0. 7： j+：N2・则〃与q 的关系是（）
A. p 是q 的充分而不必要条件
B. 〃是q 的必要而不充分条件
C. p 是q 的充分必要条件
D.以上答案都不对
己知s b > 0,且o, b # 1, （e a ）b = e,函数，（x ） = log G x 与函数=万一"的图象可能是（）
A. 0 G 4 D.
9. A.k B. -k ,若.(2018)=上则『(-2018) =()
C. 4 — k
D.2 一化
10.己知七y 是正实数，则F 列运算中正确的是（）
A. 3lgx+lgy = 3也x + 3,&>r
B. 31就*+'）= 3igx ・ 3lgy
C・3'ex = 3官+ 3曹 D. 3噂E = 3也，3#
IL若函数亦)={(4：)+；]〈I是&上的单调递增函数，则实数〃的取值范用是()
A.(1,+8)
B.[1,8)
C. (4,8)
D.[4,8)
12.设«=Ini,b=2°-3,c=(：)2,则()
A.a<c<b
B.c<a<b
C. a<b<c
D. b<a<c
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.已知幕函数y=f(x)的图像过点(2,^2).贝炉(16)的值是________.
*(沪+电)。

-27土-------•
15.定义在R上的偶函数/⑴在(一8,0]上递减，/(-1)=0,则满足f(log2x)>0的x的取值范困是
16.己知函数心=i V),则函数，(x)的定义域为________
lOgnl^-X—k J
三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)
17.己知f(x)=*2-(a+b)x+3a・
(1) 若不等^f(x)<0的解集为[1,3].求实数“，b的值：
(2) 若b=3,求不等式/•(*)>0的解集.
18.已知函数，(对=/一1。

20)的图象经过点(2仲)，其中a>0且q#1.
(1) 求U的值；
(2) 求函数y=/(%)(%>0)的值域.
19.设，(x)是■上的奇函数,旦当*€[0,+8)时.f(x)=x(x+3x).求:
⑴犬(一8):
(2)/(x)在R上的解析式.
20.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含是P(单位:mg/L)与时间t(单位:
入)间的关系为P=P°e-kt,
其中P。

，&是正的常数.如果在前5/1消除了10%的污染物，那么
(1) 10人后还剩百分之几的污染物？
(2) 污染物减少50%需要花多少时间(精确到M)?(Ig2雄0.3010.Ig3幻0.4771)
21.已知函=3x2+bx+c.不等式/Xx)>。

的解集为(一8,—2沁(0,+8).
(1) 求函数的解析式；
(2) 若对于任意的工6[-2,2],/(x)+m<3都成立，求实数m的最大值.
22.己知二次函数尸(x)=a*2+bx+c,其中常数”，b.cER.
(1) ^/(3)=/(-1)=-5,且/Xx)的最大值是3,求函&/(x)的解析式：
(2)。

=],若对任意的尤1，x2 G[-14],有lf(x1)-f(x2)|<4t求•的取值范围.
答案与解析
1.答案：C
解析:解：因为待称命题的否定是全称命题，所以命题Fx€A,/++Q£0”的否定是：Vx G R' x2+2x+a>0.
故选：C.
利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.
2.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
根据题意求出集合N,从而即可得MCN.
【解答】
解：•.•集合/V=(x|x(x+3)<0).
N=(x|-3<x<0),
又•.•集合M=(x|-1<x<2).
.-.M nN=(-1,0],
故选C.
3.答案：D
解析：
【分析】
本题考查了分数指数幕的运算，属于基础题.
将根式化为分数指数皋的形式，从而计算.
【解答】
解：、其苛>°)=尸,y—E=a3~H=a S.
故选O.
4.答案：B
解析：
本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力.
直接利用函数的解析式，求解函数值叩可.
【解答】
解：f(x-l)=2x+l.
则/'(3)=f(4-l)=2X4+1= 9.
故选：B.
5.答案：C
解析：
【分析】
本题考查不等式的性质，是基础题.
只需对各个选项逐一验证即可.
【解答】
解：对于A,B,a=1,b=—2不成立；
对于D.a=§b=:不成立，
对于C,根据函数的图象与不等式的性质可知：
当a>b时，2a>址为正确选项，
故选C.
6.答案：B
解析：
【分析】
本题考查元素与集合的关系，集合与集合之间的关系.届于基础题.
根据元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系进行解答，对各个选项逐一判断.【解答】
解:集合4={x\x>-1).
则0€A,{0}G4,<pQA,
故选&
7.答案：C
解析：
本题考查了充分必要条件，考查基本不等式，属于基础题.
当砧>0时，贝£>0说>0,利用基本不等式可^+^>2：当:+：N2时.即譬N0.故砧>0.据充分必要条件的定义判断叩可.
【解答】
解：若ab>0,则->0.>0,
a b
.・.2+»2,当且仅当2时等号成立，故p=q成立.
a o a b
若：+：乏2,则譬半，
即史土0.
ab~ab~
(a—b)2>0,ab>0.
故q=p成立，即。

是g的充分必要条件，
故选C.
8.答案：B
解析：
【分析】
本题考查了函数图象的应用.涉及到对数函数、指数函数以及互为反函数性质的应用.
通过化简，得到/'(对=loga x钿(x)=a x{a>0,a1)互为反函数，故，⑴‘功(工)的图象关于宜线y=x对称，结合选项得到结果.
【解答】
解：(e a)b =e，
ab=1.
•••b=-,
a
・•・g(x)=L=a*,
・•・f(x)=logqX与g(x)=a x(a>0,a尹1)互为反函数,
心与g(x)的图象关于直线y=x对称,
故选8.
9.答案：C
解析：解：/(2018)=a- 20183+b- 2018+2=kt
•••a•20183+b・2018=k一2：
•••f(-2018)=-a• 20183一b • 2018+2=-k+2+2=4-k・
根据/'(2018)=k即可得出a • 20183+b• 2018=k-2,从而可求出/'(-2018).
考查奇函数的定义，已知函数求值的方法.
10.答案：D
解析：
【分析】
本题考查指对数的运算.
根据指对数的运算法则求解.
【解答】
解：根据指数与对数的运算法则可知，3也'+3=3心・33,故A错，8错,C错：
D中，3lg(xy)=3lg x+lg y=31g x■31 g y,正确
故选O.
11.答案：D
解析：
【分析】
本题考查函数的单调性，考查学生对分段函数单调性质的理解.注意数形结合思想在分析本题中的应用.
欲使函数尸(Q在A上递增，须w/(x)在(-8,1),[1,+8)上递增，且满足(4-^)-1+2<a1,联立解不等式组即可.
【解答】
解：因为函数f(x)是R上的增函数，所以有
f a>J a>l
*4~2>°=a<8=>4<«<8.
(4 •1+2<a1a>4
故选D.
12.答案：A
解析；
【分析】
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力,是基础题.
利用指数函数、对数函数的性质直接求解.
【解答】
解：a=ln^<Znl=0,
b=2a3>2°= l,
OV c=©2v G)o=L
a a<c<b.
故选：A.
13.答案：4
解析:
【分析】
本题考查了皋函数和待定系数法.
利用待定系数法求出繇函数的解析式，再根据所得函数的解析式计算函数的值得结论.
【解答】
解：•••设幕函数解析式y=xa.其图象过点(2,龙)，贝ij2°=V2.
•••a=j，故函数的解析式为f(x)=由，
/(16)=4.
故答案为4.
14.答案：14
解析：
【分析】
本题考查指数备的运算.
根据蒂的运算即得答案.
【解答】
解：()2+(&)。

-27?=42+1-(33)：=16+1-3=14.
故答案为14.
15.答案：(0,§U(2,+8)
解析：解：•••偶函数/'⑴在(-<»,0］±递减，尸(一1)=0，
.••函"(x)在(0,+8］上递增,/(1)= 0,
则阳。

g2%)>。

等价为打|1理2对)>了⑴，
HP|log2x|> 1.
叩log2%>1或logzX<-1.
得x>2或。

V x V§
故答案为：(0，§U(2,+8)
根据函数奇偶性和单调性的关系.将不等式进行转化.结合绝对值不等式以及对数不等式的解法进行求解即可.
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键.
16.答案：G，1)U(1,2)
解析：
【分析】
本题考查函数的定义域•涉及对数函数的性质.属于基础题.
【解答】
2-x>0
解：由条件可知2x-l>0
log2(2x-1)*0所以;Vx<2,Hr* 1.
2
1
-
2
1
<
>
W
r
yr
得
解
则函数f(Q的定义域为G，1)U(1,2).
故答案为g,l)u(l,2).
17.答案：解：(1)v函数W—(a+b)i+3a,
当不等式/⑴<。

的解集为［1,3］时，
方程%2_(Q+方)％+3a=0的两根为1和3,
由根与系数的关系得
fa+b=1+3
〔3a=1X3'解得a=1,b=3：
(2)当b=3时.不等式/(幻>0可化为
x2-(a+3)x+3a>0,
叩(x-a)(x-3)>0；
当a>3时，原不等式的解集为：｛x|xV3或x>a｝：
当a<3时，原不等式的解集为：｛x|x V a或x>3｝；
当a=3时，原不等式的解集为；{x|x=3,x€R}.
综上可得：当a<3时，原不等式的解集为：(—oo,a)U(3,+co),
当a=3时，原不等式的解集为：(-co,3)U(3+8),
当a>3时，原不等式的解集为：(—8,3)U(a+8).
解析：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目.
(1)由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出u、b的值:
⑵利用分类讨论法求出b=3时不等式/&)>0的解集.
18.答案：解：(1)由题意得/(2)=a2'1=a=|
所以a=：
(2)由⑴得尸(x)=&z(xN0)
因为函数了⑴=(护T在[0,+8)上是减函数
所以当x=0时，(Q由最大值
所以/(x)mtM=2
所以/(x)G(0,2]
所以函数y=/(x)(x>0)的值域为(0,2].
解析，(1)由/"⑴的图象过点(2号所以/*(2) =/T=a=：即口=3
(2)先判断函数/•(》)=(护T在[0,一8)上是减函数，所以f(x)max=2.所以，0)6(0,2].
本题属于基础题型主要考查利用函数的单调性求函数的最值.在高考中以选择题或填空题的形式考查.
19.答案：解：(1)也£[0,+8)时，f(x)=x(x+3x).
・・•f(8)=8X(8+24)=2S6,
是R上的奇函数.
...f(-8)=-f(8)=-256：
(2)设XV0,则一x>Ot
•・•当x G[0,+a>)时，f(x)=x(x+3x),
•・•f(-x)=-x(-x-3x)=x(x+3x),
.・f(x)是R上的奇函数.
・•fM==-x(x+3x),
综上得.f(x)=Mx+3x),x>0 (-x(x+3x),x V0
解析：⑴根据解析式先求出尸(8),由奇函数的性质求出f(-8)：
(2)设x V0则一x>0,代入解析式化筒得/(—*),由奇函数的性质求利用分段函数表示出
本题考查了利用函数奇偶性的性质求函数值和解析式，考查转化思想.属于基础题.
20.答案：解：(1)由P=P睛-虹,可知，当t=0时,P=P°，
当t=5时，P=(l-10%)P o,
于是有(1_10%)鸟=鸟厂5七
解得k=一：析0.9,那么p=p o o.9^
.••当t=10时，P=O.81Po=81%%.
.・.10个小时后还剩81%的污染物；
(2)当P=50%P0时,有50%R-膈唤
二\m).9=lnO.5
5
5血。

.5
解制=顽［'53,
.・•污染物减少SO%大约需要花33个小吐
解析：本题考查了函数模型的选择及应用，关键是对题意的理解，由题意正确列出相应的等式，考查了计算能力，是中档题.
⑴由5小时后剩留的污染物列等式求出P=P°e*中k的值，得到具体关系式后代t=10求得10个小时后还剩污染物的百分数：
(2)由污染物减少50%.即P=50%P°,列等式5()%R)=日疽皿，即可求解污染物减少50%所需要的时间.
2L答案:解:⑴鹘M可得｛W°2b=o,解机;H
•••f(x)=3x2+6x；
(2)/(%)+m<3即m£-3x2一6x+3,Mx G［一2,2］时,
函数y=-3*2_6x+3的对称轴为：x=-l,开口向下，
所以函数的最小值为f(2)=-21,
实数，〃的最大值为一21.
解析；本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力.
(1)利用二次不等式的解集，列出方程组，求解即可.
(2)通过分离变量，利用二次函数的性质，求解函数的最值推出结果.
{9a+3b+c=-S
:挡+c=-S,
4a3
解得：a=-2‘b=4,c= l.
・•・f(x)=-2x2+4x+1:
(2)函数/(x)=x2+bx+。

对任意的徂，x2G[—1,1]，W|/(Xi)—/(x2)| <4恒成立，
记f GLnaxT。

)洲”=M.则MM4.
当1一；1>1，即|b|>2时,M==|2b|>4,与M<4矛盾；
当I*“邮I<2时，M=mx{f(l),f(T)}顼f⑴"以_廿?)=(1+ W，
解得：|b|<2,
即一2M2M2,
综上，人的取值范
解析:(1)结合题意得到关于〃，方，。

的方程组，解出即可：
(2)若对任意的X】，x z E[-l,l],有1/(x0-f(x z)l<4.f(x)max-<4.结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数人的取值范围.
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.。