2002年全国卷高考理科数学试题及答案

2002年普通高等学校招生全国统一考试
数学试卷（理科）及答案
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷（非选择题)两部分．
第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．
(1）圆1)1(2
2
=+-y x 的圆心到直线y x =
的距离是 (A ）
2
1
（B ）23 （C ）1 （D ）3
(2）复数3
)2
32
1
(i +
的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 (3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是
（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D)1|{<x x 且}1-≠x （4)在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是
（A ）)45,()2,4(
πππ
π （B ）),4(ππ (C ）)45,4(ππ (D ）)2
3,45(),4(π
πππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==,},2
1
4|{Z k k x x N ∈+==,则
(A ）N M = (B)N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M
（6)点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t
y t x 22
（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为
（A ）0 (B ）1 （C ）2 (D ）2
（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）
43 （B ）54 （C ）53 （D ）5
3- （8)正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是
（A)︒90 (B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2
（),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b (C ）0>b (D)0<b （10)函数1
1
1--
=x y 的图象是
（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 (A)8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种
(12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7.3％”,如果“十•五”期间(2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为
（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C)127000亿元 （D)135000亿元
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． (13）函数x
a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3,则a ＝ （14)椭圆552
2=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k
（15)7
2)2)(1(-+x x 展开式中3
x 的系数是
（16)已知2
21)(x x x f +=，那么)4
1
()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2
,
0(π
α∈,求αsin 、αtg 的值
（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点
M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动,若a BN CM ==（20<<a )
（1）求MN 的长；
（2)a 为何值时,MN 的长最小；
（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小
（19)设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距
离之比为2，求m 的取值范围 (20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6％，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
（21）设a 为实数，函数1||)(2
+-+=a x x x f ，R x ∈ （1)讨论)(x f 的奇偶性; (2）求)(x f 的最小值
（22）设数列}{n a 满足：12
1+-=+n n n na a a , ,3,2,1=n (I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式; （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）
2
1
11111111321≤++++++++n a a a a A
D
E
参考答案
(13）2 （14)1 (15）1008 （16）2
7 三、解答题
（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得
0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα
0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα
∵)2
,
0(π
α∈
∴01sin ≠+α,0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α,即2
1sin =α ∴6
π
α=
∴3
3=
αtg (18)解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ,且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形
∴PQ MN =
由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2=
=BF AC ，a BQ CP 2
2=
= )20( 2
1
)22( )2(
)21( )1(22
222<<+-
=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN
（II ）由（I)
21)22( 2+-
=a MN 所以，当22=
a 时，2
2=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为2
2
（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,,G 为MN 的中点
∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α
又4
6
=
=BG AG ，所以，由余弦定理有 314
6
4621
)46
()46(
cos 22-=⋅
⋅-+=
α 故所求二面角为3
1arccos -=πα （19)解:设点P 的坐标为),(y x ,依题设得
2|
||
|=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得
2||||||||=<-MN PN PM
∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m
因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故
1122
22=--m
y m x 将x y 2±=代入112
2
22=--
m y m x ，并解得
2
222
51)1(m
m m x --=，因012
>-m 所以0512>-m 解得5
5||0<
<m 即m 的取值范围为)5
5,0()0,55( -
（20)解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则
301=b ，x b b +⨯=94.012
对于1>n ,有
)94.01(94.0 94.0211x b x
b b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211n
n n x b b +++++⨯=+
x b n
n
06
.094.0194.01-+⨯=
n x x 94.0)06
.030(06.0⨯-+= 当006
.030≥-
x
，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n
当006
.030<-
x
,即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加,可以任意靠近
06
.0x 06
.0]94.0)06.030(06.0[
lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞
→+∞
→ 因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即
60≤n b （ ,3,2,1=n ）
则
6006
.0≤x
,即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆
（21)解：(I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2
x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数
当0≠a 时，1)(2
+=a a f ，1||2)(2
++=-a a a f ，
)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠
此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数
(II ）（i)当a x ≤时，4
3)2
1
(1)(2
2
++-=++-=a x a x x x f 当2
1
≤
a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减,从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．
若21>
a ,则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()2
1
(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数4
3)21(1)(22
+-+=+-+=a x a x x x f
若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(,且)()21
(a f f ≤-
若2
1
->a ,则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增,从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为
1)(2+=a a f ．
综上，当21-
≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12
+a
当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +4
3
．
(22)解（I ）由21=a ，得3112
12=+-=a a a 由32=a ，得41222
23=+-=a a a 由43=a ,得5133234=+-=a a a
由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n (1≥n ) (II ）（i)用数学归纳法证明：
①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么
3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．
也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii)由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i)，对2≥k ，有
1)1(11++-=--k a a a k k k
121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a
……
1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k
于是
112
1
1111-⋅+≤+k k a a ,2≥k
2
1
312122
1
11
2
1
11
111111
1
1
2
1
111=+≤+≤
+=
+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a n
k k n
k k n
k k。