上海交通大学本科学位课程 电路基础 电路第5章_5

t
uC 0.667 ( 2 0.667)e 0.5 t 0.667 1.33e 0.5 t t 0
21
例2
t=0时 ,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2 i1 5 5 i2 + 20V –
t
解 三要素为：
i L (0 ) i L (0 ) 10 / 5 2 A
( 0) t
t t t duC U 0 RC E0 RC E0 U 0 RC iC C e e ( )e dt R R R R
( 0) t
t E0 1 1 1 1 RC i1 i2 iC {[( ) E0 ( )U 0 ]e } (t ) R R2 R2 R R2
uC (0 ) RiS k U0
k U0 RiS
t RC 稳态响应 暂态响应 t RC
uC RiS (U 0 RiS )e t …0) uC U 0 e RiS (1 e )t …0)
iS
R
C
uC
2
§5.2
d uC uC iS C R dt uC (0 ) U 0
全响应 由初始条件求待 定常数k 所以 或表示成
一阶电路(全响应)
uh ke
t RC
齐次解 特解
up RiS
t RC
uC up uh RiS ke
电路基础
第五章 动态电路的时域分析
上海交通大学本科学位课程
§5.2
电路在初始状态和输入共 同作用下所引起的响应称 全响应。 KCL 换路定律 电路方程 iC+iR=iS
一阶电路(全响应)
S(t 0)
iS U0 iC
C
S(t 0)
iR
R
uC(0+)=uC(0-)=U0
duC uC iS C R dt uC (0 ) U 0
10
§5.2
三要素法
uC (U 0 E0 )e
t RC
一阶电路(全响应)
S(t 0)
i1 R1 i2 iC uC
uC (0 ) U 0
由上例解
E0
t RC
( 0) t
uS E
R2
uC U 0 E0 i2 ( )e R2 R2 R2
E0 R2
( 0) t
4
§5.2
一阶电路(全响应)
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
将全响应看作是零输入响应与零状态响应之和，同样体 现了线性电路的迭加性。这种观点着眼于电路的因果关 系。在线性电路及系统分析中得到广泛的应用。 零输入响应是初始条件的线性函数，零状态响应是输入 的线性函数。在分析电路时，可分别算出零输入响应和 零状态响应，从而得出完全响应。当电路只是初态或输 入有变化时，只需重新计算相应部分的响应。 全响应既不是输入的线性函数，也不是初始条件的线性 函数。
零输入响应 零状态响应 t RC
3
§5.2
一阶电路(全响应)
将全响应看成暂态响应与稳态响应之和，这是 由线性电路的迭加性决定的。暂态响应是由输 入信号、初始条件电路参数共同决定的按指数 衰减的响应。暂态响应体现了电路的过渡过程。 稳态响应则与输入有关。 全响应表达式，是数学表达式与物理过程的结 合，强调电路响应与其工作状态之间的关系。 这种分析方法表明，线性动态电路在换路后， 要经过一段过渡过程才进入稳态。 当电路的初态与稳态的初值相等时，暂态消失。
2T

解得：
U b US

1 e 1 e

T


2T
18
例1
已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t) 。 2 + 3Fi1 uC
5 + 10V –
5
i2
+ 20V –
1A
1
iL
0.5H
例2 例3
2A
t=0时 ,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2 已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t) 。
i L () 10 / 5 20 / 5 6 A
L / R 0.6 /( 5 // 5) 1 / 5 s
应用三要素公式
+ 10V –

iL
0.5H
i L ( t ) i L ( ) [i L (0 ) i Lc ( )]e

di L uL ( t ) L 0.5 ( 4e 5 t ) ( 5) 10e 5 tV dt i1 (t ) (10 uL ) / 5 2 2e 5 t A
T1
t

u
R1R2 RR I [ R1I (1 e1 ) 1 2 I ]e R1 R2 R1 R2
(t T1 )
16
§5.2
例
脉冲序列作用于电路
一阶电路(全响应)
uS U0
0
脉冲周期为2T，脉冲宽度为T 当T大于时间常数，如T = 4， 前半周期，电容充电完成，后 半周期，电容放电完成。
uC (0 ) U 0
uS E
支路方程 得
R1 (
uC R2
R2
uC du C C ) uC uS R2 dt
R1C
duC R ( 1 1)uC uS dt R2
则 t≥0+ 时的方程 令
R R1 R2 R1 R2
du R1R2 R2 C C uC E R1 R2 dt R1 R2
根据电压跟随器（缓冲器）关系：
uo = u+ = 103iC = 2.5e-5000t (t)V
14
§5.2
例
求零状态响应uo 根据虚地 uo = -uC
一阶电路(全响应)
uC
1μF
R1
R2 10M

uo(0+) = -uC(0+) = -uC(0-) = 0 uo() = -R2uS/R1 = -10uS = -50
一阶电路响应的一般表达式为
f (t ) f () f (0 ) f () e
其中f()：响应的稳态解
t
f(0+)：响应的初始条件
：电路的时间常数
11
§5.2
一阶电路(全响应)
i1 R1
例 右图中E=10V，R1=R2=30， R3=20，L=1H，求开关闭合 后各支路电流。 解 开关S 接通前电路处稳态，则 电感中电流
13
§5.2
例
一阶电路(全响应)

求零状态响应uo
uC(0+) = uC(0-) = 0 uC() = 5
5 (t )
1k 0.1μ
uC
1k
u
1k
uo
= 210-4
uC = uC()+[uC(0+) - uC()]e-t/ = 5(1-e-5000t)(t)
iC C duC 2.5 103 e 5000t dt
52一阶电路全响应开关s接通前电路处稳态则电感中电流根据换路定则用等效电流源替代电感用网孔法求得i0267a13根据左图求得时间常数于是3502380029e01430057e00950028e52一阶电路全响应换路后稳态根据换路后的稳态电路得0143a14210451e5000t25e5000t251052一阶电路全响应1k1k1k015050e01t50e01t1t10运放输出口可视电阻为即为开路
电路方程为
R2 E R1 R2 du RC C uC E0 dt E0
8
§5.2
电路方程 特征根
1 s RC
一阶电路(全响应)
RC
duC uC E0 dt
齐次解
uh ke

t RC
特解取电路的稳态解
t =时的解(或
R2 E E0 R1 R2
t RC
d uC 0 dt
1M uS 5 (t )
uo
= R2C =10
运放输出口可视电阻为，即为开路。运放输入口， 虚地，将R1短路，故 =R2C
uo = (-50+50e-0.1t) = 50(e-0.1t-1)(t)
15
§5.2
具有两个时间常数的电路
一阶电路(全响应)
例
解
已知uC(0-)=0，S1在t=0时打开，S2在t=T1=R1C时闭合， 求 t0 的电容电压uC的波形。
例
一阶电路(全响应)
如图电路,试求电路中各电流的表达式。
S(t 0)
i1
R1 i2 iC uC
uC (0 ) U 0
uS E
R2
7
§5.2
例
KCL KVL i1 = i2 + iC R1i1+ uC = uS
du iC C C dt
i2
一阶电路(全响应)
S(t 0)
i1 R1 i2 iC uC
E i3 (0 ) 0.2A R1 R3
S(t 0)
E
i3 R3
i2 R2
L
原电路 R1
E
R3
根据换路定则
i1 (0 ) R1 i1 (0 )
i3(0+)=i3(0-)=0.2A
R3
i3 (0 )
换路前稳态t 0
用等效电流源替代电感
用网孔法求得i1(0+)=0.267A
5
§5.2
经典法
一阶电路(全响应)
经典法是根据KCL、KVL和支路关系建立电路 方程 (以 t 为自变量，以记忆量为因变量的微 分方程) ，并求稳态分量和暂态分量，再求其 他解。 选取因变量的原则：
微分方程的初始条件容易求得 由该变量求其他变量容易
满足这原则的电路参量是电路中的记忆量。
6
§5.2
t T t
uS ub ua
0

T
2T
3T

4T
T
t
T

T
t T时 uC1 (T ) U b U S (U a U S )e T t 2T时 uC 2 (2T ) U a U b e
U a US
(1 e )e 1 e
uc (V) 2 + 3F-
1A
uC
1
2
0.667
解
uC (0 ) uC (0 ) 2V
2 R等 C 3 2 s 3
uC () (2 // 1) 1 0.667V
0
t
uc ( t ) uc ( ) [uc (0 ) uc ( )]e
U S (1 e ) 0 t T uC t T U e T t 2T S t
t U Se uR t T U e S
T
2T
3T
4T t
R uR
uS
C
uC
0t T T t 2T
uC uR
L
于是
求等效电阻电路
i1 i1 () [i1 (0 ) i1 ()]e

0.238 0.029e35t t 0 )
i3 0.143 0.057e35t t 0)
i2 i1 i3 (0.095 0.028e35t ) (t )
)
up uC ()
所以 根据换路定律 确定常数 得
uC uh u p ke
E0
uC(0+)=uC(0-)=U0
k+E0=U0
可得
t RC
k=U0-E0
uC (U 0 E0 )e
E0
( 0) t
9
§5.2
由支路关系求其他电路变量
一阶电路(全响应)
t uC U 0 E0 RC E0 i2 ( )e R2 R2 R2 R2
i1
4
4 2 1
1
－
+ uC
－
+ 2i1 －
8V +
0.1F
19
k1(t=0)iΒιβλιοθήκη 2 1H例410V
已知：电感无初始储能 t = 0 时合k1 , t =0.2s时合k2 求两次换路后的电感电流i(t)。 k2(t=0.2s)
3
后面为解题过程
20
例1
已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t) 。
12
E
i3 (0 )
R2
i3 (0 )
换路后初态t 0
§5.2
i1 ()
i2 ()
E
一阶电路(全响应)
根据换路后的稳态电路得 i1(∞)=0.238A，i3(∞)=0.143A
R3
R3
i3 ()
R2
换路后稳态t
根据左图求得时间常数

L 1 R R3 35
t
R R1 // R2
0+ t T1t=T1tT1+ T1 t < u=R1I(1-e-t/R1C) u(T1-) = R1I(1-e-1)
I
S2 S1
C
u
R1
R2
时间常数
RR T2 1 2 C R1 R2
uC
R1 I
R1 R2 I R1 R2
0
t T1 T2
u(T1-) = u(T1+) = R1I(1-e-1) u() = (R1//R2)I
17
§5.2
一阶电路(全响应)
若T与差不多，问题就较复杂。 在最初几个周期，uC充电上升的值总比放电下降的值要大些， 即每次充电时的初值总在不断提高，每次放电时的初值也总在 升高。经过若干周期后，这两个初值会稳定，电路进入动态平 衡阶段。 若把进入稳态后的时刻定位时间的 起点，则
0t T T t 2T uC1 U S (U a U S )e uC 2 U b e