18.2.3 正方形的判定

18.2.3 正方形的判定
基础知识、技能与思想方法
正方形不仅是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形，还是特殊的菱形，因此，我们可以根据这些特点来判别正方形；
典型例题
例1 已知：如图所示，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ，
⑴求证：△ABC 是等腰三角形；⑵当∠A =90°时，试判断四边形AFDE 是怎样的四边形？说明你的结论。

分析： 解答：
例2 已知：如图所示，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且A A′=B B′=C C′=D D′，试说明四边形A′B′C′D′为正方形。

分析：
解答：
例3 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，阅读下列材料，回答问题：
⑴连结AC 、BD ，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH 是 。

⑵对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形 EFGH 是矩形。

⑶对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形 EFGH 是菱形。

⑷对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形 EFGH 是正方形。

分析： 解答：
D
F E
C
B
A
D
'
C '
B '
A '
D
C
B
A
巩固练习
1．如果一个正方形的对角线长为2，那么它的面积______.
2．如图，正方形OMNP 的一个顶点与正方形ABCD 的对角线交点O 重合，且正方形ABCD 、OMNP 的边长都是acm ，则图中重合部分的面积是 cm 2．
3.如图，设M 、N 分别是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于点P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是 .
4.如图，M 为边长为2的正方形ABCD 对角线上一动点，E 为AD 中点，则AM +EM 的最小值为 .
5.边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30 o 到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为 .
6．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（ ）. A ．AO ＝OC ，OB ＝OD B ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD C ．AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD D ．AO ＝OC ＝OB ＝OD 7．正方形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A 、四个角都是直角 B 、对角线相等 C 、对角线互相平分 D 、对角线互相垂直 8．一组对边平行，并且对角线互相垂直相等的四边形是（ ）
A ．菱形或矩形;
B ．正方形;
C ．矩形;
D ．菱形 9．四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设有下列条件：①AB=AD ；②∠ DAB=900
；③AO=CO ，BO=DO ；④矩形ABCD ；⑤菱形ABCD ，⑥正方形ABCD ，则在下列推理不成立的是 ( )
A 、①④⇒⑥
B 、①③⇒⑤
C 、①②⇒⑥
D 、②③⇒④
10．已知：如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M 、N 在OB 和OC•上，•且MN ∥BC ，连结DN 、MC ，试猜想DN 与MC 有什么关系？并证明你的猜想．
第5题图
第4题图
第3题图第2题图
C'
A
B
C
D
E
M
A
B
C
D
M N
B
11．如图（1），在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，E 为AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，且交∠CBE 的平分线于点N ．（1）DM 与MN 相等吗？试说明理由．（2）若将上述条件“M 为AB 的中点”改为“M 为AB 上任意一点”，其余条件不变，如图2，则DM 与MN 相等吗？为什么？
12．已知正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，且1=BE ，P 为AC 上一点，求PD PE +的最小值
13．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点。

（1） 若∠EAF =45°，求证：BE +DF =EF .
（2） 若△ECF 的周长等于正方形周长的一半，求∠EAF 的度数。

14．如图1:正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，连接EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足M ，AM 交BD 于点F （1）求证OE=OF
（2）如图2所示，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥EB 的延长线于点M ，交DB 的延长线于点F ，其他条件都不变，则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由
A
B C
D
E
M
N
图1
N
M
E
D
C
B A
图2。