高数A(2)习题课(8)二重积分

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课件制作:于红香 全志勇
一、 二、 三、
内容总结 作业讲析 典型例题讲解
四、
练习题
一、
内容总结
定义(留意几何背景及物理背景) 性质(六条性质)
二重积分
直角坐标法
计算方法 极坐标法 一般换元法
重积分计算的基本技巧
一,选择积分次序不仅要考虑区域的形状, 还要考虑被积函数的特点。 二,善用对称性及重心公式来简化二重积分。 三,巧妙选取极坐标系。一般来说,区域为圆形域, 或被积函数含 x 2 y 2 的,考虑选取极坐标系, 可使计算更为简单。
dxdy , D {( x, y ) | 0 x 1, 0 y 1}
3.设D是由圆 x 2 y 2 2 x 围成的闭区域,计算下列二重积分:
(1) xydxdy
D
(2) ( x y ) dxdy
D
证明: 4. 设 f ( x ) 在 [0, a ](a 0) 上连续 ,
d xd y
d y
0
1
3 2 y
y
e dx
y
y
y
yx
O
y
1 2
(3 x)
3 (1 y ) e d y
0
1
D1
1
D2
3
x
3 ( e 2 )
I x d xd y
2 D
D1 x2 y2
xye
d xd y

1 1
D2
xyex
x
2
y
2
y yx o D2 1 x D1 1 y x
dxd y
x d x d y 0 0
2 1
2 3
例5. 计算二重积分
(1) I sgn( y x 2 )d xd y, D : 1 x 1, y 1 0 D

1 5 2.(1) ;(2) ;(3)e 1; 2 4
3.(1)0 ;(2)

4. 略
备选题 交换积分顺序计算
I dx e d y dx e d y
y y 0 0 1 0 1 x 3
3 x 2
解. 积分域如图.
I e y d x d y
D1
e
D2
y
3
D D
xu
u v
,y
v u
D Duv , 4 u 8, 5 v 15
| J || ( x, y ) (u , v ) | 1 2v

S 1d dxdy
D D 8

| J | dudv
Duv
4
du
15
1 2v
5
dv 2 ln 3
2 f ( x)dx f ( y )d y [ f ( x) dx]2 .
0 x 0
a
a
a
y a D2 D1 1.选A. 提示: 如图, D D1 D2 D3 D4 DD 3 a D O ax 4 由对称性知
在 上是关于 y 的奇函数 上是关于 x 的偶函数
练习题答案
D3 D4
dx
2
1
4 x2
2
4 x
f ( x , y ) dy 1 dx
2
4 x2 4 x
2
f ( x, y ) dy
dx
1
1
1 x 2
2
4 x
f ( x, y ) dy 1 dx
1
4 x2 1 x
2
f ( x , y ) dy
2
D2
o
1 x
( x y )d xd y 2 d xd y
D
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
例6. 求由曲线 xy 4, xy 8, xy 3 5, xy 3 15 所围成的第一象限部分闭区域的面积。 解: S 1d dxdy 令 xy u , xy v,则
形心坐标 1 x x d xd y A D 1 y y d xd y A D
例8. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续 , 证明
f ( x) dx (b a) f 2 ( x)dx
2 a a
b
b
证:左端 f ( x) dx f ( y ) d y
例2。交换下列二次积分的顺序:
y
y sin x
o
D1
解: 如图所示

D2
2 x
I d x
0

sin x 0
f ( x, y ) d y
D2
2

d x
0 sin x
f ( x, y ) d y

1 0
D1
f ( x, y ) d
arcsin y
arcsin y
( B) 2
D1
x y dx d y
(C ) 4

(D) 0
2.计算下列二重积分:
(1) dy
6 0

6 y
cos x x
dx
(2) ( x y ) dxdy D : 2 x x y 4 x
2 2 2 D
2
(3) e
D
max{ x 2 , y 2 }
(1)由直线 y x, y 2 及双曲线 xy 1( x 0) 所围成的闭区域;
y
解:如右图,
p3 p2
三线交点为p1(1,1), p2(2,2), p3(1/2,2),
0
p1 x
I dx
1/ 2
2
1
2
1/ x
f ( x, y ) dy dx f ( x, y )dy
四,消去被积函数绝对值符号 五, 利用重积分换元公式
分块积分法 利用对称性
二、作业讲析
(略)
三、典型例题讲解
例1. 化二重积分 f ( x, y ) dxdy 为直角坐标下的二次积分 ,
D
其中积分区域D是:
(1)由直线 y x, y 2 及双曲线 xy 1( x 0) 所围成的闭区域; (2)环形闭区域 1 x 2 y 2 4 。
例7. 计算二重积分 线
D D
其中D 是由曲
所围成的平面域 .
解: I 5 x d xd y 3 y d xd y
积分区域 ( x 1) 2 ( y 2) 2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
5 x A 3 y A
[5 (1) 3 2] A 9
f ( x, y ) d
dy
f ( x, y ) d x
2 arcsin y
dy
1
0
arcsin y
f ( x, y ) d x
例3. 计算积分 1
3
dx sin y 2 dy
x 1
2
y
sin y 2的原函数不是初等函数, 解:因为
故只能交换积分次序。积分区域如右图: 2
2 D
D x2 y2
围成 .
d xd y
y
1 ( x 2 y 2 ) d xd y 0 2 D 1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0
D
o
1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 , 利用对称性 , 得
a b
四、练习题
1.设 D {( x, y ) a x a, x y a}, D1 {( x, y )
0 x a, x y a}, 则
D( x y cos x sin y ) d x d y
( A) 2
D1 D1
cos x sin y d x d y ( x y cos x sin y ) d x d y
d xd y
x2
o D2
1 x
d x 2 d y d x
1 1
0
2 dy 3
(2) 提示:
I ( x y 2 xy 2) d xd y
2 2 D
( x y 2 ) d xd y
D
y 1
D1 D2
yx
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
a a
b
b
f ( x) f ( y ) dxd y
D
a x b D: a y b
1 [ f 2 ( x) f 2 ( y )] dxd y 2
D
利用 2uv u 2 v 2
f 2 ( x) dxd y = D
(b a) f 2 ( x) dx = 右端
I

2
0
dy
1 y
1
sin y 2 dx
2


2
0
y sin y dy
1
3
x

1 2
(1 cos 4)
例4. 计算二重积分 I ( x x ye
2 D
x2 y2
) d xd y , 其中:
(1) D为圆域
(2) D由直线
解: (1) 利用对称性.
I x d x d y x ye
1 x
2
2
或 I

1
dy
y
1/ y
f ( x, y )dx
(2)环形闭区域 1 x 2 y 2 4 。
y D4
I f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy
D1 D2
D1
D3
D2
x
f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy
(2) I ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y, 其中D 为圆域
D
x 2 y Байду номын сангаас 1 在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x 把与D 分成
2
D1 , D2 两部分, 则
I d xd y
D1
1 1 1 x
1 D1 1
D2
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