重庆市中考数学一轮复习 第四章 三角形 第2节 三角形及其性质练习册-人教版初中九年级全册数学试题

第2节三角形及其性质
课时1 一般三角形及等腰三角形
(建议答题时间：40分钟)
1. (2017某某)三角形的重心是( )
A. 三角形三条边上中线的交点
B. 三角形三条边上高线的交点
C. 三角形三条边垂直平分线的交点
D. 三角形三条内角平分线的交点
2. (2017某某)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )
A. 2，3，4
B. 5，7，7
C. 5，6，12
D. 6，8，10
3. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是( )
A. 145°
B. 150°
C. 155°
D. 160°
第3题图
4. (2017某某)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )
A. 2a＋2b－2c
B.2a＋2b
C.2c
D. 0
5. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
第5题图第6题图
6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A. 40°
B. 36°
C. 30°
D. 25°
7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 75°
第7题图第8题图第9题图
8. (2017某某)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A ＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( )
A. 180°
B. 210°
C. 360°
D. 270°
9. (2017某某)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )．
A. BC
B. CE
C. AD
D. AC
10. (2017某某)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．
第10题图第12题图第13题图
11. (2017某某)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．
12. (2017某某)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀X开的角为30°，则∠A＝________度．
13. (2017某某)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．
14. (2017某某)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.
15. (2017某某)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．
16. (2017某某)如图，在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．
第16题图第18题图
17. (2017某某)在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝________.
18. (2017某某)在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13
DM ，当AM ⊥BM 时，则BC 的长为________．
19. (2017达州)△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值X 围是________．
20. (2017内江)如图，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，DE ∥AC .
求证：△BDE 是等腰三角形．
第20题图
21. (2017)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
求证：AD＝BC.
第21题图
22. (2017某某)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD ＝AE，连接BE、CD交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.
第22题图
课时2 直角三角形及勾股定理 (建议答题时间：40分钟) 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5
B. 1，2， 3
C. 6，7，8
D. 2，3，4
2. (2016某某)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( ) A. 433
B. 4
C. 83
D. 4 3
第2题图第3题图
3. (2017某某)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )
A.2a
B. 22a
C. 3a
D. 433
a 4. (2017某某)如图，在△ABC 中，E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，AB ＝2，AC ＝1，DE ＝32
，则∠CDE ＋∠ACD ＝( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 105°
第4题图第5题图
5. (2017某某巴蜀月考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .若BC ＝4，AC ＝8，则BD ＝( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6. (2017某某)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A ′B ′C ′拼在一起，其中点A ′与点A 重合，点C ′落在边AB 上，连接B ′C .若∠ACB ＝∠AC ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，则B ′C 的长为( )
A. 3 3
B. 6
C. 3 2
D. 21
第6题图第7题图
7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．
第8题图第11题图第12题图
9. (2017某某)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．
10. (2017某某)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．
11. (2017某某)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值X围是________．12. (2017某某)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)
13. (2017某某)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．
第13题图第14题图
14. (2017某某)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．
15. (2017某某)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.
第15题图第16题图
16. (2017某某)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边
BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终
．．落在边AC上，若△MB′C 为直角三角形，则BM的长为________．
17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)
第17题图
18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
第18题图
19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，
(1)求AB的长；
(2)求CD的长．
第19题图
20. (2017某某)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.
(1)线段DC＝________；
(2)求线段DB的长度．
第20题图
答案
课时1 一般三角形及等腰三角形
1. A
2. C
3. B
4. D 【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a ＋b >c ，∴c －a －b ＝c －(a ＋b )<0，∴|c －a －b |＝a ＋b －c ，|a ＋b －c |＝a ＋b －c ，∴|a ＋b －c |－|c －a －b |＝0.
5. B 【解析】∵BE 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABC ＝2∠ABE ＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C ＝70°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝20°.
6．B 【解析】设∠C ＝x °，∵AD ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ＝x °，∴∠ADB ＝2x °，∵AB ＝BD ，∴∠BAD ＝∠ADB ＝2x °，∴∠B ＝180°－4x °，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝x °，∴180°－4x °＝x °，解得x ＝36，∴∠B ＝∠C ＝36°.
7．B 【解析】∵∠A ＝30°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝75°，又∵l 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∠DBA ＝∠A ＝30°∴∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝75°－30°＝45°.
8.B 【解析】如解图，∵∠C ＝∠F ＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D ＋∠1＝∠D ＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D ＋180°＝30°＋180°＝210°.
第8题解图
9.B 【解析】∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴点B 关于AD 的对应点为点C ，∴CE 等于BP ＋EP 的最小值．
10. 15° 11. 40° 12. 75 13. CD ＝DE
14. 14
15. 100° 【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.
16. 64° 【解析】∵在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD ＝12
∠ABC ，∠2＝∠ACE ＝12∠ACB ，∴∠1＋∠2＝12
(∠ABC ＋∠ACB )，∵∠ABC ＋∠ACB ＋∠A ＝180°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12
×
128°＝64°.
17. 2 3 【解析】假设点D 与点B 重合，可得DE ＋DF 为等边三角形AC 边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC 边上的高为23，故DE ＋DF ＝2 3.
18. 8 【解析】∵AM ⊥BM ，∴∠AMB ＝90°，在Rt △ABM 中，∵D 是AB 的中点，∴DM ＝12
AB ＝3，∵ME ＝13
DM ，∴ME ＝1，DE ＝4，又∵DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝8. 19. 1＜m ＜4 【解析】如解图，延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∵在△ABD 和△ECD 中，BD ＝CD ，DE ＝AD ，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝EC ，在△AEC 中，∵AC ＋EC ＞AE ，且EC －AC ＜AE ，即AB ＋AC ＞2AD ，AB －AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4即1＜m ＜4.
第11题解图
20. 证明：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠DAC ，
∵DE ∥AC ，
∴∠ADE ＝∠DAC .
∴∠BAD ＝∠ADE ，
∵AD ⊥BD ，
∴∠ADB ＝90°，
∴∠BAD ＋∠B ＝90°.
∵∠BDE ＋∠ADE ＝90°，
∴∠B ＝∠BDE ，
∴BE ＝DE ，
∴△BDE 是等腰三角形．
21. 解：∵AB ＝AC
∴在△ABC 中，
∠ABC ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝1
2×(180°－36°)＝72°，
又∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝1
2×72°＝36°，
∴∠ABD ＝∠A ，∴AD ＝BD ，
又∵在△ABC 中，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝36°＋36°＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴BD ＝BC ， ∴AD ＝BC .
22. (1)解：∠ABE ＝∠ACD .理由如下： ∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ， ∴△ABE ≌△ACD (SAS )． ∴∠ABE ＝∠ACD ； (2)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB . 由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC . 又∵AB ＝AC ，
∴点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上，即过点A 、F 的直线垂直平分线段BC .
课时2 直角三角形及勾股定理
1. B
2. D
3.B 【解析】∵CD ⊥AB ，CD ＝DE ＝a ，∴CE ＝2a ，∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 是
AB 的中点，∴AB ＝2CE ＝22a .
4. C 【解析】∵点E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，DE ＝
32，∴BE ＝CE ＝DE ＝3
2
，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2
＋BC 2
＝1＋(3)2
＝4＝AB 2
，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.
5.C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，
在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2
－(8－x )2
＝42
，解得x ＝5.
6.A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2
＋BC 2
＝32
＋32
＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2
＋AB′2
＝32
＋（32）2
＝3 3. 7. C 【解析】如解图，∵S
正方形ABCD
＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2
＝
13，∵(a ＋b )2
＝a 2
＋2ab ＋b 2
＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2
－a 2
－b 2
＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝1
2
×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.
第7题解图
8. 25 9.52
10. 2 【解析】∵方程x 2
－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2
－4ac ＝16－4b ＝0，解得
b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，
∴AC 边上的中线长为2.
11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝1
2BE ＝EF
＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE ＝∠EAF ，∴CD ∥AF ，∴CD AF ＝ED
EA
.当D 与A 重合时，CD 与AF 重合，取得最大值为5，当D 接近于E 时，DE 越小，CD 越小，∵线段CD 不能为0，∴0<CD ≤5.
第11题解图
12. 2＋2m 【解析】如解图，连接BD ，∵D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC ，∴∠BDC ＝90°，∠ABD ＝∠C ＝45°，∴∠BDF ＋∠FDC ＝90°，又∵∠EDF ＝90°，∴∠BDF ＋∠BDE ＝90°，∴∠CDF ＝∠BDE ，∴△BED ≌△CFD (ASA )，∴BE ＝CF ，DE ＝DF ，则BE ＋BF ＋
EF ＝BC ＋EF ＝2＋EF ，而Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝m ，∴EF ＝2m ，则△BEF 的周长为2＋2m .
第12题解图
13. 78 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC ＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152
＋202
＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝15
25
×20＝12.
第13题解图
14. 33－3 【解析】∵AB ＝AC ＝23，∠BAC ＝120°，∴BC ＝6，∠B ＝∠BCA ＝30°，如解图，将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACD ′，∴∠D ′CA ＝∠B ＝30°，AD ＝AD ′，∴∠D ′CE ＝60°，∵∠DAE ＝60°，∠DAD ′＝120°，∴∠EAD ′＝60°，∴△EAD ′≌∠
EAD (SAS )，∴ED ′＝ED ，∴ED ′＋BD ＋EC ＝6，∴EC ＝
6－DE
3
，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2
＋EC 2
＝D ′C 2
，即DE 2
＋(
6－DE 3)2＝(6－DE 3
×2)2
，解得DE ＝33－3(负根舍去)．
第14题解图
15. 2＋ 6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt
△ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝1
2AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，
∴△ADE 为等边三角形 ，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2
＋EF 2
＝DE 2
，即x 2
＋(2＋3)2x 2
＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6)
cm .
第15题解图
16.
2＋1
2
或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋1
2；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据
折叠性质得，BM ＝B ′M ，BN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴MC BC ＝B ′M AB ，即MC B ′M ＝BC AB ＝2，∴MC
B ′M ＝2，
即MC ＋BM BM ＝2＋11，即BC BM ＝2＋11，∵BC ＝2＋1，∴BMBM 长为2＋1
2
或1.
第16题解图
17. 解：∵∠BDC ＝45°，∠ABC ＝90°， ∴△BDC 为等腰直角三角形， ∴BD ＝BC ，
∵∠A ＝30°，∴BC ＝1
2
AC ，
在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AC 2
＝AB 2
＋BC 2
，即(2BC )2
＝(4＋BD )2
＋BC 2
， 解得BC ＝BD ＝2＋23(负根舍去)．
18. 解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52
－42
＝3；
(2)如解图，延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 交CB 延长线于点E ， ∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，
∴AE ∥DB ，∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝1
2AE ，
∴AE ＝6，即BC 边上高的长为6.
第18题解图
19. 解：(1)在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20， ∴AB ＝AC 2
＋BC 2
＝202
＋152
＝25， 即AB 的长是25；
(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝1
2AB ·CD ，
∴20×15＝25·CD ，∴CD ＝12. 20. 解：(1) 4；
【解法提示】在△ACD 中， ∵∠A ＝60°，AC ＝AD ， ∴△ACD 是等边三角形， ∴DC ＝AC ＝4.
(2)如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E .
第20题解图
在△CDE 中，∠DCE ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－60°＝30°，CD ＝4， ∴DE ＝2，根据勾股定理得CE ＝CD 2
－DE 2
＝23，
∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，
∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。