高考解码2022届高考数学二轮复习 椭圆双曲线抛物线测模拟试题

【高考解码】（新课标）2022届高考数学二轮复习 椭圆、双曲线、抛

物线测试题

一、选择题

1．(2022·全国新课标Ⅰ高考)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2

＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )

m C ．3 D ．3m 【解析】 由双曲线的方程可知右焦点F (3m ＋3，0)，一条渐近线的方程为x －my ＝0，

∴由点到直线的距离公式d ＝3m ＋3

m ＋1

＝ 3.故选A.

【答案】 A

2．(2022·江西高考)过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线

相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C

的方程为( )

－

y 212＝1 －y 2

9

＝1 －y 28＝1 －y 2

4

＝1 【解析】 由题意知c ＝4，A (a ，b )，所以(a －4)2＋b 2＝16，又a 2＋b 2

＝16，

∴a ＝2，b 2

＝12；所以双曲线的方程为x 24－y 2

12

＝1，故选A.

【答案】 A

3．(2022·辽宁高考)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2

＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )

A ．－43

B ．－1

C ．－34

D ．－12

【解析】 因为点A 在抛物线的准线上，所以－p

2

＝－2，所以该抛物线的焦点F (2,0)，

所以k AF ＝3－0－2－2＝－3

4，选C.

【答案】 C 4．(2022·福建高考)设P ，Q 分别为圆x 2

＋(y －6)2

＝2和椭圆x 2

10

＋y 2

＝1上的点，则P ，Q

两点间的最大距离是( )

A ．5 2 ＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2

【解析】 记圆心M (0,6)，圆的半径为R ，设Q (x ，y )椭圆上动点， 则|PQ |max ＝|MQ |max ＋R ，

∵|MQ |＝x 2＋y －62＝－9y 2

－12y ＋46 (－1≤y ≤1)，

∴当y ＝－2

3时，

|MQ |max ＝52，∴|PQ |max ＝6 2.故选D. 【答案】 D

5．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y

＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )

－

y 220＝1 －y 2

5＝1 －3y 2100＝1 －3y

225

＝1 【解析】 双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1，焦点在x 轴上，对于方程y ＝2x ＋10，令y ＝0，得x ＝－5，

∴c ＝5①，又∵b a

＝2②，且c 2＝a 2＋b 2③，解①②③得a 2＝5，b 2

＝20，故选A.

【答案】 A 二、填空题

6．(2022·江西高考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的

垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．

【解析】 将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得y ＝b 2a ，∴|AB |＝2b

2a

，由F 1与B 点横坐标之和为0，

则D 为BF 1的中点，即|AF 1|＝|AB |，∴2b 2a ＝2a －b 2a ，解得(b a )2＝23，∴e ＝c 2a 2＝

1－b a

2

＝

13＝3

3. 【答案】

33

7．(2022·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．

【解析】 由题意知抛物线的方程为y 2

＝4x ，过P 斜率为k 的直线

方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝4x ，y ＝k x ＋1

得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2

＝0，

由题意⎩

⎪⎨

⎪⎧

k ≠0，Δ＜0，

解得k ＜－1或k ＞1.

【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)

8．(2022·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 2

16

＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ

的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．

【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|PA |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|PA |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.

【答案】 44 三、解答题

9．(2022·衡水中学二调)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点

分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；

(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为122

7

，求以F 2为圆心且

与直线l 相切的圆的方程．

【解】 (1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫322＋22

＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.

(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝

⎛⎭⎪⎫－1，－32， B ⎝

⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x

2

＋8k 2x ＋4k 2

－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k

2，x 1·x 2

＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝12k 2＋13＋4k

2

， 又圆F 2的半径r ＝2|k |

1＋k 2

，∴△AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2

＋13＋4k 2＝1227，化简得：17k 4＋k 2

－18＝0，得k ＝±1，∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2

＋y 2

＝2.

10．(2022·辽宁高考)

圆x 2

＋y 2

＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，

切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)过点P 且离心率为 3.

(1)求C 1的方程；

(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．