2020_2021学年高中物理第六章万有引力与航天2太阳与行星间的引力学案新人教版必修

太阳与行星间的引力
知识点一 太阳对行星的引力
行星绕太阳做近似匀速圆周运动时，需要的向心力是由太阳对行星的引力提供的，设行星的质量为m ，速度为v ，行星到太阳的距离为r ，则行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心
力F ＝mv 2
r
.
F ∝m
r
2表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星与太阳间距离的二次方成反比．
行星绕太阳运动的轨迹是椭圆，本节乃至本章均把行星的运动视为匀速圆周运动，这样做是否违背了客观事实？
提示：建立理想化物理模型的目的是简化对问题的分析过程，降低问题的难度．由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的椭圆轨道的两个焦点靠得很近，椭圆非常接近于圆，因此在现阶段只要没有特殊说明，我们就将天体的运动看成是匀速圆周运动．
知识点二 行星对太阳的引力
太阳对行星的引力和行星对太阳的引力大小相等，方向相反，是作用力与反作用力．根据牛顿第三定律有行星对太阳的引力F ′满足：F ′∝M r
2.
知识点三 太阳与行星间的引力
F ＝
G Mm
r
2中，G 是比例常数，与太阳、行星都没有关系，M 是太阳质量，m 是行星质量，r
是太阳与行星之间的距离．
在推导太阳与行星间的引力表达式时，是否需要考虑太阳与行星的形状和大小？ 提示：不需要考虑太阳与行星的形状和大小，因为行星及太阳的大小与行星和太阳间的距离相比可以忽略，所以在处理相关问题时可以把行星与太阳看做质点．
考点一 太阳对行星的引力
(1)将行星绕太阳做椭圆运动简化为匀速圆周运动，则行星做匀速圆周运动的向心力由太阳对行星的引力来提供．
(2)设行星质量为m ，运动线速度为v ，行星到太阳的距离为r ，行星绕太阳运动的周期为T ，太阳的质量为M ，由匀速圆周运动的规律可知
向心力公式F ＝m v 2r ①，又v ＝2πr
T
②，
由①②解得F ＝4π2
mr
T
2 ③，
又由开普勒第三定律得T 2
＝r 3
k
④，
由③④解得F ＝4π2
k ·m r 2，即F ∝m r
2.
表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量m 成正比，与行星和太阳间距离r 的二次方成反比．
【例1】 设地球E (质量为M )是沿圆轨道绕太阳S 运动的，当地球运动到位置P 时，有
一艘宇宙飞船(质量为m )在太阳和地球连线上的A 处，从静止出发，在恒定的推进力F 的作用下，沿AP 方向做匀加速运动，如图所示，两年后到达P 处(飞船与地球之间的引力不计)，再过半年到达Q 处．根据以上条件，求地球与太阳之间的引力．
解答本题的关键是知道太阳与行星之间的引力提供行星做圆周运动的向心力，这也是解决天体运动问题的一个重要切入点．
【解析】 设半年时间为t ，地球绕太阳运行的半径为R ，则飞船由A 运动到P 点的时间为4t ，到达Q 点的时间为5t ，P 、Q 两点的距离为2R ，根据牛顿第二定律和运动学公式，得
2R ＝12×F m (5t )2－12×F m (4t )2
＝9Ft 2
2m
地球绕太阳运行的周期为一年，即T ＝2t ，其向心力由地球与太阳间的引力提供，所以F 引＝F 向＝MR 4π2
T 2＝4π2
MR 2t 2＝π2
MR t 2，解得F 引＝
9π2
MF
4m
. 【答案】 9π2
MF
4m
总结提能 (1)行星绕太阳做圆周运动时，所需向心力由太阳对行星的引力来提供．(2)太阳对行星的引力与行星的质量和行星到太阳间的距离有关．
(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法中，正确的是( AD ) A ．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B ．太阳对行星引力的大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比
C ．太阳对行星的引力是由实验得出的
D ．太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动规律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
解析：太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，其大小是牛顿结合开普勒
行星运动定律和圆周运动规律推导出来的，它不是实验得出的，但可以通过天文观测来检验其正确性，故A 、D 正确，C 错误．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的平方成反比，故B 错误．
考点二 太阳与行星间的引力
由F ∝m r
2、F ′∝M r
2，又根据太阳对行星的引力F 与行星对太阳的引力F ′大小相等，则太阳和行星间引力的大小应该与太阳的质量和行星的质量的乘积成正比，与两者距离的二次方成反比，即F ∝Mm r
2，写成等式F ＝G Mm r
2.
公式中的G 是比例系数，与太阳和行星都没有关系． 太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线并指向施力物体．
【例2】 两个行星的质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别为r 1和r 2，求它们与太阳间的引力之比．
解答本题的关键是能够运用太阳与行星间的引力公式，求出两个行星与太阳间的引力的比值即可．
【解析】 设太阳的质量为M ，由引力公式得两行星与太阳间的引力之比为F 1
F 2＝G
Mm 1r 21G Mm 2
r 22
＝
m 1r 22
m 2r 21
. 【答案】 m 1r 22
m 2r 21
总结提能 物体与天体之间存在相互吸引力，其大小可由F ＝G Mm
r
2求出，其中M 、m 分别为天体的质量和物体的质量，r 为两者之间的距离．公式中G 未知，但可由比值关系确定引力间
的大小关系．
火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1
9
，那么地球表面质量为50 kg
的人受到地球的引力约为火星表面同质量物体受到火星引力的多少倍？
解析：可用万有引力公式求解．
设火星质量为m1，地球质量为m2，火星半径为r1，地球半径为r2，则由F＝G
Mm
r2
得
F2
F1
＝
m2
r22
m1
r21
＝
m2
m1
·
r21
r22
＝9×(
1
2
)2＝
9
4
.
答案：
9
4
1．行星之所以绕太阳运行，是因为( C )
A．行星运动时的惯性作用
B．太阳是宇宙的控制中心，所有星体都绕太阳旋转
C．太阳对行星有约束运动的引力作用
D．行星对太阳有排斥力作用，所以不会落向太阳
解析：惯性应使行星沿直线运动，选项A错误；太阳不是宇宙的中心，并非所有星体都绕太阳运动，选项B错误；行星绕太阳做曲线运动，轨迹向太阳方向弯曲，是因为太阳对行星有引力作用，选项C正确；行星之所以没有落向太阳，是因为引力提供了向心力，并非是对太阳有排斥力，选项D错误．
2．地球对月球具有相当大的万有引力，可它们没有靠在一起，这是因为( D )
A．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相抵消了
B．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系中的其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力为零
C．地球对月球的引力还不算大
D．地球对月球的万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球围绕地球运动
解析：地球对月球的引力和月球对地球的引力是相互作用力，作用在两个物体上不能相互抵消，选项A 错误；地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，从而不断改变月球的运动方向，所以选项B ，C 错误，D 正确．
3．(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( BD ) A ．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大 B ．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在近日点所受引力大，在远日点所受引力小
C ．由F ＝G Mm r 2可知，G ＝Fr 2Mm
，由此可见G 与F 和r 2
的乘积成正比，与M 和m 的乘积成反
比
D ．行星绕太阳运动的椭圆轨道可近似看做圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
解析：行星间的引力大小除了与距离有关外还与质量有关，选项A 错误；F ＝
GMm
r 2
引力大小由r 决定，选项B 正确；G 是一个常数，与其他物理量无关，选项C 错误；行星绕太阳运动的椭圆轨道可近似看做圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力，选项D 正确．
4．(多选)下列说法正确的是( AB )
A ．在探究太阳对行星的引力规律时，引用了公式F ＝mv 2
r
，这个关系式实际上是牛顿第
二定律，是可以在实验室中得到验证的
B ．在探究太阳对行星的引力规律时，引用了公式v ＝2πr
T
，这个关系式实际上是匀速圆
周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C ．在探究太阳对行星的引力规律时，引用了公式a 3
T
2＝k ，这个关系式是开普勒第三定律，
是可以在实验室中得到证明的
D ．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到证明的
解析：开普勒第三定律a 3
T
2＝k 是无法在实验室中得到验证的．它是开普勒在研究天文学
家第谷的行星观测记录资料发现的，选项A ，B 正确．
5．(多选)将行星的轨道当作圆处理，追寻牛顿的足迹，用自己的手和脑重新“发现”太阳与行星间的引力关系的部分过程如下，其中正确的是( BD )
A ．根据牛顿运动定律，行星绕太阳的向心力与行星的速度成正比
B ．用天文观测的行星周期，可推知行星的向心力与其周期的平方成反比
C ．根据开普勒第三定律和推理可知，太阳对行星的引力与行星质量成反比
D ．从行星与太阳的作用看，两者地位相等，故它们间的引力与两者质量的乘积成正比
解析：根据牛顿第二定律可知，F ＝m v 2
r
可知，行星绕太阳的向心力与行星的速度不成正
比，故A 错误；根据F ＝m 4π2
r
T
2可知，行星的向心力与其周期的平方成反比，故B 正确；根据
开普勒第三定律和推理可知，太阳对行星的引力与行星质量成正比，故C 错误；从行星与太阳的作用看，两者地位相等，故它们间的引力与两者质量的乘积成正比，故D 正确．。