保保险精算基础

《保险精算基础》
保险学专业03级讲义
(中大岭南学院保险系宋世斌2005.2）
1第一章精算基础知识
1.1精算、精算师和精算职业制度
精算—–应用各种数理模型来估计和分析未来不确定事件（风险）产生的影响（特别是财务方面）。

以保险业为基础产生的精算科学通常指处理保险业中的风险管理问题精算早已形成完整的体系，在社会保险、金融、投资、证券等领域广泛应用
精算师——针对精算问题逐步形成的一种专门职业的从业人员，经过金融保险监管部门认可其从业资格。

资格认定：北美和英国体系，资格考试分寿险精算师、非寿险精算师、投资与资产管理精算师、养老金精算师、咨询精算
师
精算学起源——起源于人寿保费的计算。

1693年哈雷编制第一张生命表
精算师职业组织——英国精算学会、SOA北美精算师协会、AAA美国精算职业学会、国际精算师学会、……
中国精算职业制度——我国保险法规定：”经营人身保险业务的保险公司，必须聘用金融监督管理部门认可的精算专业人员，建立精算报告制度。

”1999年组织了中国首次精算师资格考试，有43人获中国精算师资格主要应用于寿险业务，而非寿险业务，精算学的应用还是空白。

中国精算师的职业制度基本思路在考试认可制度下，取得精算师考试合格证书仅是精算师职业制度的开端：
①取得中国精算师资格证书者，若以精算师名义在商业保险机构执业，还需向中国保监会申请注册，在取得精算师执业证书后，方可执业;
②执业的精算师应加入精算师的专业团体中国精算师协会，每年需参加中国精算师协会规定的职业培训，接受其
监督管理；
③保险公司聘请一名执业精算师作为公司的首席精算师，并报中国保监会备案(首席精算师需经中国保监会的资格审查认可)；
④首席精算师离职应当报中国保险监督管理委员会备案。

保险公司解除其首席精算师的职务，应当向中国保险监督管理委员会陈述理由，并报中国保险监督管理委员会备案。

中国精算师考试课程
中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。

准精算师考试目的在于考察考生对保险精算的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保险精算实务，考试课程共设9门，均为必考课程。

从2004年开始中国精算师考试增设非寿险方向,开考非寿险原理与实务（科目代码：06G）,其余课程正在安排中。

精算师考试课程共10门，其中3门必考课程，2门选
考课程，考生必须通过3门必考课程、2门选考课程的考试。

3门必考课程内容主要涉及保险公司运营管理、财务、投资以及中国保险业法规、税收、财务制度等。

2门选考课程则为保险业务的不同方向。

考题形式为标准试题和笔答题，考试采用学分制。

考生通过全部基础课程考试，获得270学分，可以获得准精算师考试合格证书；精算师高级课程考试共130学分，90学分必考学分，40学分选考学分。

考生在通过全部课程的考试后，还需有专业训练要求，考生要请一名资深的中国精算师指导，在专业领域工作两年，并有一篇专业报告，经答辩合格后，方取得精算考试合格证书。

准精算师考试基础课程
课程编号　课程名称 学分　考试时间　备注
001 数学基础Ⅰ 30　3 必考
002 数学基础Ⅱ　30　3 必考
003 复利数学 20　2 必考
004 寿险精算数学 50　4 必考
005 风险理论 202 必考006　生命表基础 30　3 必考007 寿险精算实务 30　3 必考008　非寿险精算数学与实务30　3　必考009　综合经济基础 30　3 必考
精算师考试高级课程
课程编号 课程名称　学分　考试时间备注011 财务 303 必考
012 保险法规 30　3 必考
013　资产/负债管理　30　3 必考
014 社会保险 20　3 选考015个人寿险与年金精算实务203 选考016　高级非寿险精算实务　20　3 选考017 团体保险 203 选考
018　意外伤害和健康保险　203 选考019 投资学 20　3　选考
020 养老金计划 20　3 选考
北美精算师考试
一．ASA（准精算师）资格要求：在新的体系下，SOA要求完成初级教育课程考试（包括四门考试和VEE课程）、精算实践基础课程（FAP）和准会员职业课程（APC），才能获得准会员资格，也即我们说的准精算师资格。

1.初级教育课程考试（Preliminary Education Examina-tions）
Exam P：概率及相关知识考试，考试时间3小时；ExamMF：金融数理基础，主要是涉及利息理论和金融经济学介绍，考试时间2小时；
Exam M：风险模型，主要涉及人寿保险常用模型，总体损失模型，考试时间4小时；
Exam C：风险模型的建立和评价，涉及模型拟合和可信度理论（Credibility theory）,考试时间4小时。

2.VEE课程（Validated by Educational Experience）
该课程是针对那些在学校已修过相关课程的人士，
他们可以凭课程证明获得学分。

课程包括公司财务，经济学和数理统计应用。

对于没有在学校学习
过相关课程，或者SOA不认证你所在学校所提供的课
程的人士，仍然可以通过考试来获得相应的VEE学分。

可密切关注CAS提供的考试（TRANSITIONAL EX-AMS）/admissions/news/vffexams.htm）。

这个考试8月会举行，通过考试的人仍可以得到VEE的学分。

3.精算实践基础（Fundamentals of Actuarial Practice）
这部分考试内容分为8个模块，分成两个考试，第一
个考试涵盖第1到第5个模块的内容，第二个考试涵盖
第6到8个模块的内容，这两个考试与原来考试体系下
的course5和course6相似。

Module1:Role of the Professional Actuary
Module2:Core External Forces
Module3:Typical Actuarial Problems
Module4:Solutions to Selected Actuarial Problems
Module5:Design and Pricing of an Actuarial Solution
Module6:Selection of an Actuarial Design and Model
Module7:Selection of Initial Assumptions
Module8:Monitoring Experience-Model and Assumptions
4.准会员职业课程（APC）准会员职业课程（APC）这
部分内容与原来考试体系没有差异。

二．总结：考试
的根本内容没有改变—即原有考试要求的基本概念，定
义，定理，公式在新的考试制度之下仍然是考点。

只
是COURSE1、2、3、4变成了COURSE P、FM、M、C，
和VEE课程。

EXAM P=COURSE1
EXAM FM+VEE(ECONOMICS，COPORATE FINANCE)=COURSE2
EXAM M=COURSE3
EXAM C+VEE(STATISTICS)=COURSE4
1.2 1.2生存分布
1.生存函数:随机变量X表0岁婴儿（刚出生）的死亡年龄，X是连续型变量，其分布函数F(x):
F(x)=P r(X≤x)x≥0
f(x)=F’(x)是X的密度函数，X的均值与方差分别是
E(X)= +∞
xf(x)dx
V ar(X)= +∞
[x−E(X)]2f(x)dx=E(X2)−(E(X))2
定义生存函数s(x)为
s(x)=1−F(x)=P r(X>x)x≥0 s(x)表示新生婴儿能活到x岁的概率，有如下性质：（1）s(0)=1,s(∞)=0;
（2）s(x)是单调递减函数;
（3）s(x)是一个右连续函数.
通常s(x)有一个极限年龄w,对x>w,s(x)=0.
例如s(x)=1−x/96,0≤x<96,其中w=96.
2.未来寿命T(x)的生存分布
用(x)表示年龄为x岁的人，X是新生婴儿的死亡年龄。

新生儿在x岁活着的条件下，未来仍生存的时间T(x)=X−x称为新生儿在x岁时的未来寿命。

T(x)的分布
G(t)=P(T(x)≤t)
用精算函数符号记
q x=P r(T(x)≤t),t≥0
t
p x=1−t q x=P r(T(x)>t),t≥0
t
符号t q x可解释为(x)将在t年内死亡的概率，是(x)将
在x+t岁时仍生存的概率。

p0=s(x),x≥0
t
T(0)=X
当t=1时，上面符号的前缀允许省略，
q x=1q x,p x=1p x
T(x)在x+t岁与x+t+u岁之间死亡的概率，用精算函数符号表示成
q x=P r(t<T(x)≤t+u)=t+u q x−t q x=t p x−t+u p x t|u
当u=1时，符号t|u q x可简写成t|q x。

3.离散型未来寿命的生存分布
K(x)表示(x)未来寿命的整年数，K(x)=[T(x)]，是离散型的整数寿命随机变量，K(x)=0,1,2,3,···。

事件{K(x)=k}等价于事件{k≤T(x)<k+1}
故K(x)的分布为
P r(K(x)=k)=P r(k<T(x)≤k+1)
=k+1q x−k q x=k p x−k+1p x=k|q x
即K(x)的分布是k|q x k=0,1,2,···.
4.死力函数
死力是指0岁新生儿在达到x岁时的瞬间死亡的比率，也叫瞬间死亡率或死亡密度.l个0岁婴儿到x岁生存人数ls(x)，经过∆x时间后死亡了l(s(x)−s(x+∆x)),死亡比例为
l(s(x)−s(x+∆x))
ls(x)×∆x
对上式求极限，得到:
µx=−s (x)
s(x)
=
F (x)
1−F(x)
(1)
5.基本函数间关系
t q x=1−
s(x+t)
s(x)
(2) t
p x=
s(x+t)
s(x)
(3)
t|u q x=
s(x+t)−s(x+u+t)
s(x)
(4)
=t p x−t+u p x=t+u q x−t q x=t p x·u q x+t(5) t|
q x=t|1q x=t p x−t+1p x=t p x·q x+t(6)
t p x=exp(−
x+t
x
µy dy)=exp(−
t
µx+s ds)(7) s(x)=x p0=exp(−
t
µs ds)(8)
例：公式(2)的推导：
t
q x=P r(T(x)≤t)=P r{x<X≤x+t|X>x}
=P r(x<X≤x+t)
P(X>x)
=
s(x)−s(x+t)
s(x)
=1−
s(x+t)
s(x)
X和T(x)的分布与密度函数可表成：
F X(x)=1−s(x)=1−exp(− x
µs ds)(9)
f X(x)=−s (x)=µx·exp(− x
µs ds)=x p0·µx(10)
F T(t)=1−t p x=1−exp(− t
µx+s ds)(11)
f T(t)=−
d
dx
(t p x)=t p x·µx+t(12)
例设死力为µx=1
1+x
,x≥0，试求:
（1）X,T(x)的分布函数;
（2）P r(10<X≤30);
（3）5|5q20.
解：(1)F X(x)=1−exp(− x01
1+s
ds)=1−exp(−ln(1+x))=
x
1+x
,x≥0.
F T(t)=1−exp(− t01
1+x+s
ds)=1−exp(−ln(1+t+x)+ln(1+x))=
t
1+x+t
,x,t≥0.
(2)P r(10<X≤30)=F X(30)−F X(10)=30
1+30−10
1+10
=
0.05865.
(3)5|5q20=s(25)−s(30)
s(20)=F(30)−F(25)
1−F(20)
=0.13027
1.3生命表
生命表是描述人的寿命或（x）的未来寿命概率分布的一
种表现形式，是寿险纯保费计算的重要依据之一。

生命表中通常含有基本函数及换算函数（如q x,l x,d x,C x,M x 等）的数值，并按年龄排列成表格。

1生命表函数
l0:考察一组0岁新生婴儿群体的生存情况，数量为l0,通
常取十万或百万，这组婴儿的生存函数为s(x).
l x:l0个新生婴儿能活到x岁的期望人数，
l x=l0s(x)
公式推导：定义I j,当第j个婴儿生存到x岁时I j=1，否
则I j=0。

则
E(I j)=1·s(x)+0·s(x)=s(x)
从而
l x=E(I1+I2+···+I l
0)=
l0
j=1
s(x)=l0s(x)
.
n
d x:l0个新生婴儿在x−−x+n之间死亡的人数，
n
d x=l x−l x+n
d x=1d x=l x−l x+1
平均余命o e x,e x:分别表示未来寿命和整值未来寿命的平均值，是未来存活年龄的平均值。

o e
x
=E[T(x)],e x=E[K(x)]
2.函数间关系
t q x=
l x−l x+t
l x
=t
d x
l x
(13)
t
p x=
l x+t
l x
(14)
t=1时，q x=l x−l x+1
l x =d x
l x
,p x=l x+1
l x
.
e x=E[K(x)]=
∞
k=0
kP r(K=k)
=
∞
k=0
k(k p x−k+1p x)=
∞
k=0
k+1
p x
=l x+1+l x+2+···
l x
l(x)=l0s(x)=l0exp(− x
u t dt)(15)
t d x=l x−l x+t=
x+t
x
u s ds(16)
3.关于尾龄的假设
寿命表只给出了寿命是整年数时的生存函数及相关数据，当考虑的时间t为非整数时，其寿命数据仍然未给出，为此，对年龄的小数部分，即尾龄的死亡分布作出近似的估计，常用的近似假设有三种：死亡均匀分布假设（UDD）、常值死力假设（CFM）、Balducci假设。

1.UDD假设(死亡均匀分布)
生存函数满足
s(x+t)=(1−t)s(x)+ts(x+1)0≤t≤1(17)
或
t
q x=t·q x t p x=1−t q x=1−tq x0≤t≤1
可以推出
l x−l x+t=t·d x0≤t≤1
这表示在[x,x+1)中，时间t的死亡人数与[x,x+1)的死亡人数成比例，即在[x,x+1)上死亡是均匀分布。

其他结果：
l x+t=l x−t·d x
u x+t=
q x 1−tq x
t
p x u x+t=q x
o e x =e x+
1
2
2.CFM假设(常值死力)
死力函数在两整值年龄间为常数，
µx+t=µx,0≤t≤1
此时s(x+t)=s(x)exp(−µx t).
其他关系：
l x+t=l x e−µx t=l x(p x)t
t
q x=1−(p x)t
µx=−ln(p x)
3.Balducci假设
设生存函数满足
1
s(x+t)=
1−t
s(x)
−
t
s(x+1)
0≤t≤1
此时有：
l x+t=
l x l x+1
tl x+(1−t)l x+1
t q x=
tq x
1−(1−t)q x
µx+t=
q x
1−(1−t)q x
4.生命表种类及关系
国民生命表：以全社会或某地区为统计对象，按人口普查资料编制
经验生命表：以寿险公司经验而允予承保的人为调查对象制成，分成多种，如寿险生命表、年金生命表、男性及女性生命表、检选生命表、终极生命表、综合生命表等。

寿险生命表与年金生命表：寿险合同是以死亡为给付条件，而年金合同是以到时生存为给付条件的，两种保单购买者的死亡率不同，基于这种差异分别编制生命表，有利于业务的稳定。

男性及女性生命表：女性寿命长于男性，死亡率不同，一般分别编制
检选生命表与终极生命表：死亡率与年龄有关，同时，同年龄的人由于签单年龄不同所表现的死亡率也会有差异，精算师设计出能区分不同年龄签单者的死亡率生命表，即检选生命表。

表上有q[x]+n,其中，x为签单年龄，n为签单后经历的保险年度。

n有一定期限，5-10年，过后则死亡率趋同，是终极死亡率，基于终极死亡率的生命表为终极生命表。

综合生命表：不区分被保险人投保后的时间，仅根据整个保险期间的死亡状况来编制的生命表。

作业题（第二周）：
1、设生存函数s(x)=1−√
x
10
,0≤x≤100，试计算：
（1）年龄为0岁的婴儿在16岁到36岁之间的死亡概率；（2）年龄为16岁的人将生存到36岁的概率。

2、设l(x)=200(100−x),0≤x≤100，试求：
（1）2|q x,10|p x；（2）死力µx。

3、设l40=7746,l41=7681,在三种尾龄假设条件下，分别计算µ40.25.
4、设死亡均匀分布,用附录五的表一计算s(59.12),µ59.12, 0.12
p59,0.38q59.12。

1.4利息与确定年金
名义利率i：一年结算多次的年利率
(1+i(m)
m
)
m
=1+i
贴现因子v：v=1/(1+i)，d=1−v为贴现率。

期初付年金现值
¨a¯n|i=1+v+v2+···v n−1=1−v n
d
期初付年金终值
¨S ¯n|i =(1+i)n+(1+i)n−1+···+(1+i)=
(1+i)n−1
d
2第二章生存年金
生存年金：被保险人在合同期内生存，保险人支付给被保险人的一系列金额，与生存及利率有关。

2.1生存年金现值计算原理
纯粹生存保险:n E x表x岁的人n年期生存保险，到期生存时给付1元的保险现值，则
n E x=v n.n p x=v n×
l x+n
l x
(18)
例：50岁的人购买10年期的1000元生存保险，利率i= 0.06,求现值。

1000.10E50=1000.v10l60
l50
=513.42
而1000元10年定期储蓄的现值是558.35元,相差45元.
这种差异是由于生存者分享了期间已死亡的参保者的保险金，这就是”生者利”。

生存年金现值计算方法：
•求出时刻t给付年金的数额
•计算t时给付额的精算现值(利用公式(18)计算)
•对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
2.2一年支付一次的生存年金现值
定期生存年金:¨a x:¯n|,a x:¯n|表示现年x岁者每年支付一次,年金额为1元的n年生存年金的现值.
年初给付情形
¨a x:¯n|=l x+l x+1v+···+l x+n−1v n−1
l x
(19)
年末给付情形
a x:¯n|=l x+1v+···+l x+n v n
l x
(20)
终身生存年金:现年x岁者每年支付一次,年金额为1元,直至死亡的生存年金的现值.
年初给付情形
¨a x=l x+l x+1v+···
l x
=
w−x
k=0
l x+k·v k
l x
(21)
年末给付情形
a x=l x+1v+···
l x
=
w−x
k=1
l x+k·v k
l x
(22)
延期生存年金:现年x岁者每年支付一次,年金额为1元,延期m年的n年定期生存年金的现值
年初给付情形
m |¨a x:¯n|=
l x+m v m+l x+m+1v m+1+···+l x+m+n−1v m+n−1
l x
(23)
年末给付情形
m |a x:¯n|=
l x+m+1v m+1+···+l x+m+n v m+n
l x
(24)
延期终身年金
m |¨a x=
l x+m v m+l x+m+1v m+1+···
l x
(25)
m |a x=
l x+m+1v m+1+l x+m+2v m+2+···
l x
(26)
生存年金的换算符号
引进如下换算符号函数
D x=v x l x
N x=D x+D x+1+···= ∞t=0D x+t
S x=N x+N x+1+···= ∞t=0N x+t 可以用于将生存年金的计算公式进行简化,例如
¨a x:¯n|=l x+l x+1v+···+l x+n−1v n−1
l x
=l x v x+l x+1v x+1+···+l x+n−1v x+n−1
l x v x
=D x+D x+1+···+D x+n−1
D x
=
N x−N x+n
D x
同样有
a x:¯n|=N x+1−N x+n+1
D x
¨a x=N x
D x
,a x=
N x+1
D x
m |¨a x:¯n|=
N x+m−N x+m+n
D x
在生命表中列出D x,N x等数据,可以方便地计算生存年金
现值.
生存年金的关系
¨a x=a x+1,¨a
x:¯n|=a
x:¯
n−1|
+1,¨a x=¨a
x:¯n|
+n|¨a x
非整数年龄开始的生存年金
在死亡是均匀分布(UDD)假设下,非整数年龄开始的生存年金¨a x+u(x为整数,0<u<1,可以推出
¨a x+u=
1−u
1−uq x
¨a x+
u(1−q x)
1−uq x
¨a x+1(27)
当q x的值很小时,(27)近似为
¨a x+u≈(1−u)¨a x+u¨a x+1
2.3每年支付多次的生存年金现值
考虑现年x的人年金1元,每年分m次支付的生存年金的现
值,假设死亡均匀分布(UDD),则有
a(m) x =
1
m
·
D
x+1m
+D
x+2m
+···
D x
=a x+
m−1
2m
¨a(m)
x
=a(m)
x
+
1
m
=¨a x−
m−1
2m
2.4连续型生存年金
指每时每刻连续不断地支付的生存年金,以¯a x表示以连续方式支付的年金额1元的终身年金,在t后的微小区间[t,t+dt)中给付的现值是v t dt·t p x,从而年金的给付现值是
¯a x= ∞
v t·t p x dt(28)
在UDD假设下,¯a x可利用a(m)
x
中取m→∞
¯a x=lim
m→∞a(m)
x
=lim(a x+
m−1
2m
)=a x+
1
2
(I¨a)x表示x岁的人投保第一年年初付1元,以后每年递增1元的终身生存年金的现值.
(I¨a)x=1+2v·p x+3v2·2p x+···
=1+
∞
k=1
(k+1)v k·k p x
=1+
∞
k=0
k
|a x+a x=
S x
D x
类似地
(Ia)x=S x+1 D x
2.6利率,死亡率对年金现值的影响
利率减少,年金现值增加,反之,利率升高,则年金现值减少.死亡率上升,年金现值减少,死亡率降低,
则年金现值增加.
x岁的人,现存入1元,利率i,n年后生存时可得到款项为X满足:
(1+i)n=X·n p x
X=l x(1+i)n
l x+n
由此可求出n年期生存年金终值为
¨S x:¯n|=
D x
D x+n
+
D x+1
D x+n
+···+
D x+n−1
D x+n
=
N x−N x+n
D x+n
(29)
2.8生存年金的实务应用
社会养老保险
社会养老保险是劳动者达到国家规定的劳动年龄界限,解除劳动义务,由国家和社会提供物质帮助和服务,保障晚年基本生活的一种社会保障制度.
养老保险层次:国家基本养老保险,补充养老保险,个人储蓄性保险
我国基本养老保险构成:基础养老金+附加养老金+个人账户
企业年金计划
作为补充养老保险,由企业和职工个人购买,社会化商业化经营,国家法定推行,税费优惠.
企业年金设计:
薪水评估(工资,长期贡献),权益归属比例,替代率
结构(总账户,公司账户,个人账户)
实例
企业年金精算分析
年金函数关系:
B(t)=F[C(t),V(t),P(t)]
其中,B(t)是退休时的年金额,C(t)是投入的年金额,V(t)是
利息因数,P(t)是年金的提取率.
设q(w)
x
,q(d)x,q(i)x,q(r)x分别表示研究的群体从x岁到x+1岁的一年中,解约、死亡、因残废而退休、因年老而退休的概
率，l(τ)
a
表年龄为a岁的人组成的群体人数，a为最开始的
年龄，而l(τ)
x
则表年龄到了x岁时该群体人数的期望值。

l(τ)x+1=l(τ)x[1−(q(w)
x
+q(d)x+q(i)x+q(r)x)]=l(τ)x p(τ)x
k p(τ)x=
l(τ)x+k
l(τ)x
由此可建立养老金函数用表，用来进行年金的精算。

由企业和员工共同为年金的缴费称为捐纳金。

企业养老金计划是为年老退休时提供一个延期年金，退休时年金现值就是捐纳金的实际累积值。

企业年金的精算方法：先确定退休时年金的给付额，求出其精算现值；再由此定出应缴纳的捐纳金和缴费方法，使其捐纳金精算现值等于年金精算现值。

3第三章人寿保险趸缴纯保费
3.1趸交纯保费计算原理
鉴约时一次缴清的纯保费，是未来保险金给付在鉴单时的精算现值，称做趸缴纯保费。

设投保年龄为x岁，投保1年定期寿险。

若被保险人在x+1岁之前死亡，则获得赔付R元，其纯保费Z x满足
Z x·l x=R·d x·v
Z x=R·d x v
l x
(30)
引入换算函数:C x=v x+1d x,M x=C x+C x+1+···,R x= M x+M x+1+···,则上式可表为
Z x=R·C x/D x
人寿保险纯保费计算原理
对离散型死亡保险,(x)在K(x)=k死亡时,K+1赔付b k+1元,v k+1为利息贴现系数,Z为保单给付现值,Z=
b k+1v k+1,是K(x)的函数,其期望即为伅保费:
E(Z)=
∞
k=0
v k+1b k+1·k|q x
同样,对连续型死亡保险,Z=b t v t,是T(x)的函数,其期望即为纯保费:
E(Z)= ∞
v t b t·t p xµx+t dt
3.2保险年度末给付的寿险趸缴纯保费
1.定期寿险
A1
x:¯n|
表示x岁者购买保额为1元的n年定期寿险的趸缴保费，此时,b k+1=1,k=0,1,···,n−1,v k+1=v k+1.根据保费计算原理，
A1
x:¯n|=
n−1
k=0
v k+1·k|q x=
n−1
k=0
v k+1
d x+k
l x
=
M x−M x+n
D x
2.终身寿险
A x表示x岁者购买保额为1元的n年定期寿险的趸缴保费，此时,b k+1=1,k=0,1,2···,v k+1=v k+1.根据保费计算原理，
A x=
∞
k=0
v k+1·k|q x=
∞
k=0
v k+1
d x+k
l x
=
M x
D x
3.生存寿险
A x:1¯n|表示x岁者购买保额为1元的n年定期生存保险的趸缴保费，则
A x:1¯n|=n E x=l x+n
l x
v n=
D x+n
D x
4.生死两全保险
保险期内死亡或到期生存时给付的寿险，A x:1
¯n|
表示x岁者购买保额为1元的n年定期生死两全保险的趸缴保费，则
A
x:¯n|=A1¯
n|
+A x:1¯n|=
M x−M x+n
D x
+
D x+n
D x
=
M x−M x+n+D x+n
D x
5.延期寿险
m |A1
x:¯n|
表示x岁者购买延期m年给付，保额为1元的n年定
期寿险的趸缴保费，此时,b k+1=1,k=m,m+1,···,m+
n−1,v k+1=v k+1.根据保费计算原理，
m |A1
x:¯n|
=
m+n−1
k=m
v k+1·k|q x=
M x+m−M x+m+n
D x
m |A1
x:¯n|
等于m+n年定期寿险与m年定期寿险的纯保费之
差额。

6.变额寿险
考虑每年的给付变化的寿险，如每年的给付额递增（或递减）1元的定期寿险，由前面的分析，可推出
递增终身寿险
(IA)x=n−1
k=0
(k+1)v k+1·k|q x
=n−1
k=0
(k+1)v k+1
d x+k
l x
=
1
D x
(k+1)v x+k+1d
x+k
=
1
D x
(k+1)C
x+k
=
M x+M x+1+···
D x
=
R x
D x
递增定期寿险
(IA)1
x:¯n|=
R x−R x+n−nM x+n
D x
3.3递推方程式，与年金的关系终身寿险的递推公式：
A x=
∞
k=0
v k+1·k|q x=vq x+vp x·A x+1(31)
公式的含义：年龄为x者终身寿险现值A x是由两项构成，若一年内死亡，则为的保额现值，若一年后存活，则为年龄x+1的终身寿险现值。

寿险与年金的关系：
1=d¨a x+A x(32)公式的含义：x岁生存者，在年利率为i的条件下，只要交纳1元，便可享有年金额为d元的期初付终身年金，且死亡时还能获得1元的寿险给付。

类似地有：
1=d¨a
x:¯n|+A
x:n|
(33)
3.4连续型(随时给付）人寿保险模型
考虑死亡时给付的人寿保险，(x)的寿命分布为T(x),死亡
时的给付为b t,则给付的现值为Z T=b T v T是关于T的随机变量,对其求期望即得到纯保费。

1.n年定期寿险：b t=1,v t=v t,0≤t≤n,
¯A1 x:¯n|=E(Z T)=
n
v t f T(t)dt=
n
v t t p xµx+t dt
引入换算函数：
¯C x =
1
D x+tµx+t dt
¯M
x
=¯C x+¯C x+1+···
¯R
x
=¯M x+¯M x+1+···则
¯A1 x:¯n|=
n
v t t p xµx+t dt=
n
v t
l x+t
l x
µx+t dt
=
1
D x
n
D x+tµx+t dt=
1
D x
(¯C x+¯C x+1+···¯C x+n−1) =
¯M
x
−¯M x+n
D x
同样可得到
终身寿险：¯A x= ∞0v t t p xµx+t dt=¯M x
D x
两全保险：¯A x:¯n|=¯A1x:¯n|+A x:¯n|1=¯M x−¯M x+n+D x+n
D x
延期终身寿险:m|¯A x=¯M x+m
D x
3.5死亡均匀分布时连续型寿险计算(x)的寿命T x看成两部分：
T(x)=K(x)+S(x),0<S(x)<1
¯A
x
=E(Z T)=E(v T)=E(v K+S)=E(v K+1)·E(v S−1)
=A x 1
v s−1ds=A x(v s−1/lnv)|10=−
i
lnv
A x=
i
δ
A x
同样可得
¯A1 x:¯n|=
i
δ
A1x:¯n|
¯A1 x:¯n|=
i
δ
A1x:¯n|+A x:¯n|1
m |¯A x=
i
δ
·m|A x
3.6连续型生存年金
指按瞬时利率连续不断支付的生存年金。

¯a x表年支付金额为1元的连续型终身年金，则
¯a x= ∞
v t t p x dt=
1
l x
∞
v t l x+t dt
=
1
D x
∞
v x+t l x+t dt=
¯N
x
D x
其中¯N x= ∞0D x+t dt.同样有：
¯a x¯n|=¯N
x
−¯N x+n
D x
¯a x与¯A x的关系：
1=δ¯a x+¯A x
4第四章年缴纯保费
在实际的情况中，保费是分期支付的，每期支付额相同，称为年缴纯保费（均衡纯保费），按年保费缴付及死亡给付的方式，有三种模式：离散、半连续、全连续型。

计算原理:保险给付现值期望值(趸缴纯保费)=各年缴纳纯保费的精算现值
4.1全离散型寿险年缴纯保费
保费分k年年初缴纳,死亡年度末给付.此时年缴保费相当于k年的年金.
n年定期寿险年缴纯保费:
记年缴纯保费为k P1x:¯n|,k年的纯保费现值是k P1x:¯n|·¨a x:¯n|,从而有
k
P1x:¯n|·¨a x:¯n|=A1x:¯n|
k P1x:¯n|=
A1x:¯n|
¨a x:¯n|
=
M x−M x+n
N k−N x+k
(34)
其他情形:终身寿险
k P x=
A x
¨a x:¯n|
=
M x
N k−N x+k
两全保险
k P x:¯n|=
A x:¯n|
¨a x:¯n|
=
M x−M x+n+D x+n
N k−N x+k
若缴费按保险期限分年缴纳,这是全期缴费情形,上式中取k=n即可.
4.2半连续型寿险的年缴纯保费
考虑保费按年初付的生存年金缴纳,保险金在死亡时给付.终身寿险年缴纯保费k P(¯A x),分k年缴费,则
k
P(¯A x)¨a x:¯k|=¯A x
k P(¯A x)=
¯A
x
¨a x:¯k|
=
¯M
x
N x−N x+k
(35)
在UDD假定下,有
k P(¯A x)=
i
δ
·
A x
¨a x:¯k|
=
i
δ
·k P x(36)
特别地,在全期缴费情形,上式化为
P(¯A x)=¯A
x
¨a x
=
i
δ
·P x(37)
其他情形:
k年缴费的n年定期寿险
k P(¯A1x:¯n|)=
¯A1
x:¯n|
¨a x:¯k|
=
i
δ
·k P1x:¯n|
k年缴费的n年定期两全保险
k P(¯A x:¯n|)=
¯A
x:¯n|
¨a x:¯k|
=
i
δ
·k P x:¯n|+k P x:¯n|1
4.3全连续型寿险的年缴纯保费每年按连续方式缴纳纯保费,死亡时给付.
先考虑全期缴费的终身寿险年缴纯保费¯P(¯A x),考虑保险损失函数
L=v T−¯P(¯A x)¯a¯T|
根据精算原理,E(L)=0,而
E(L)=E(v T)−¯P(¯A x)·E(¯a¯T|)=¯A x−¯P(¯A x)¯a x
即得到公式
¯P(¯A
x )=
¯A
x
¯a x
=
¯M
x
¯N
x
(38)
k年限期缴费的终身寿险
k ¯P(¯A
x
)=
¯A
x
¯a x:¯k|
=
¯M
x
¯N
x
−¯N x+k
(39)
k年限期缴费的n年定期寿险
k ¯P(¯A1
x:¯n|
)=
¯A1
x:¯n|
¯a x:¯k|
=
¯M
x
−¯M x+n
¯N
x
−¯N x+k
(40)
k年限期缴费的n年定期两全保险
k ¯P(¯A
x:¯n|
)=
¯A
x:¯n|
¯a x:¯k|
=
¯M
x
−¯M x+n+D x+n
¯N
x
−¯N x+k
(41)
在UDD假设下,由关系式δ¯a x+¯A x=1及¯A x=i
δ
A x,可以
得到
¯P(¯A
x )=
δiA x
δ−iA x
(42)
4.4收支平衡的一般模型
考虑全离散寿险的保单,每年的投保额和保费可以变化,设保单鉴发后第j年的投保额为c j,而纯保费第一年缴纳π0,以后各年保费分别是π1,···πk,···.根据收支平衡原则,有如下平衡方程:
∞
k=0c k+1v k+1·k p x·q x+k=
∞
k=0
πk v k·k p x(43)
其中,πk可以为负数.
例如,对n年两全保险,c j=1,1≤j≤n;πj=P x:¯n|,0≤j≤n−1,πn=−1.
5第五章总保费
实际费用除纯保费之外,还要考虑保险公司费用,实际利率与预定利率差异,实际死亡率与预定死亡率的差异及公司的风险等因素,这就要求收取一定的附加保费.
厘定总保费的基本原则仍是精算等价原理,即
总保费的现值=纯保费的现值+附加保费的现值
5.1附加保费
一种分类:
固有费用,与保单金额无关,如手续费,理赔时费用等;
与保费大小有关的费用,如保费税,代理人佣金等;
与保额大小有关的费用,如体检费用等.
另一种分类:
新契约费(如销售费等);
维持费;
营业费用(如税金);
给付费用.
5.2总保费计算方法
1比例法
附加费为总保费的一定比例.P’是年缴总保费,L是年附加费,P是年纯保费,k为比例常数,则
L=kP ,,P −P=kP
即
P =
P 1−k
2.比例常数法
除前面的比例费用外,再加上一固定常数费用,
P =
P
1−k
+e
3.三元素法
按费用的分类来看,有三种类型,按保额比例提取首年费用(设比例为α),每年固定费用(设比例为β)及按总保费比
例提取费用(设为γ).
例如,x岁投保1元的全期缴费n年两全保险,
年缴总保费现值P
x:¯n|
·¨a x:¯n|
年缴纯保费现值P x:¯n|·¯a x:¯n|
附加费用现值α+β¨a x:¯n|+γP x:¯n|¨a x:¯n|
按总保费的计算原则,可得到
P x:¯n|=
1
1−γ
(P x:¯n|+
α
¨a x:¯n|
+β)(44)
6第六章寿险责任准备金
保费缴纳一般是分期或趸缴,每期金额一般相等.而随年龄增大,死亡率增大,因而寿险赔付变大,在保险期内,前段时间保费多于赔付,而后段时间则会出现保费少于赔付.因此,需要预留一定数量的准备金,以备后期的赔付.
6.1理论责任准备金
1.自然纯保费:
即一年期的纯保费,是一年中的平均赔付成本:c x=C x
=
D x vq x.
从生命表中可知,x≥12时,死亡率q x上升,每年的自然纯保费递增.因此在前段时间的保费应有结余,这种结余的复利累积就是理论责任准备金.
责任准备金是保险公司的收入,是对被保险人的负债,而不是利润.。