区间估计

常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
出发点
区间估计区间估计（interval estimation）是从点估计值和抽样标准误差出发，按给定的概率值建立包含 待估计参数的区间.其中这个给定的概率值称为置信度或置信水平(confidence level），这个建立起来的包含 待估计参数的区间称为置信区间（confidence interval），指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而 置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。置信区间越大，置信水平越高。划定置 信区间的两个数值分别称为置信下限(lower confidence limit,lcl）和置信上限（upper confidence limit,ucl)
正文
形式
构造
贝叶斯方法参数估计的一种形式。通过从总体中抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适 当的区间，以作为总体的分布参数（或参数的函数）的真值所在范围的估计。例如，估计一种药品所含杂质的比 率在1～2%之间；估计一种合金的断裂强度在1000～1200千克之间，等等。在有的问题中，只需要对未知量取值 的上限或下限作出估计。如前例中，一般只对上限感兴趣，而在第二例中，则只对下限感兴趣。
区间估计
统计学方法
01 基本定义
03 常见形式 05 区间理论
目录
02 出发点 04 正文 06 优良准则
07 置信区间
09 推断法
目录
08 假设检验
区间估计（interval estimate）是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由 样本统计量加减估计误差得到。与点估计不同，进行区间估计时，根据样本统计量的抽样分布可以对样本统计量 与总体参数的接近程度给出一个概率度量。下面将以总体均值的区间估计为例来说明区间估计的基本原理。
优良准则
区间估计置信系数1-α反映了置信区间【A(X),B(X）】的可靠程度，1-α愈大，【A(X),B(X）】用以估计 θ时，犯错误（即θ并不在【A(X），B(X）】之内）的可能性愈小。但这只是问题的一个方面。为了使置信区间 【A(X),B(X）】在实际问题中有用，它除了足够可靠外，还应当足够精确。比如说，估计某个人的年龄在 5至95 岁之间，虽十分可靠，但太不精确，因而无用。通常指定一个很小的正数α（一般，α取0.10,0.05，0.01等 值），要求置信区间【A(X),B(X）】的置信系数不小于1-α，在这个前提下使它尽可能地精确。对于“精确”的 不同的解释，可以导致种种优良性标准。比较重要的有两个：一是考虑区间的长度B(X)-A(X）愈小愈好。这个值 与X有关，一般用其数学期望Eθ（B(X)-A(X））作为衡量置信区间【A(X),B(X）】精确程度的指标。这个指标 愈小，置信区间的精确程度就愈大。另一个是考虑置信区间 【A(X),B(X）】包含假值（指任何不等于被估计的 θ的值）θ┡的概率，它愈小，【A(X),B(X）】作为θ的估计的精度就愈高。
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在本例以及其他某些简单问题中，用费希尔的方法与用奈曼的方法得出一致的结果。但是，这两个方法不仅 在基本观点上不一致，而且在较复杂的问题中，所得出的结果也不同。一个著名的例子是所谓的费希尔－贝伦斯 问题：设两个正态分布μ1，μ2，σ娝，σ娤都未知，要求μ1-μ2的区间估计。费希尔用他的方法提供了一个 与奈曼理论不一致的解法，奈曼在1941年曾对此进行了详尽的讨论。
推断法
费希尔的信任推断法20世纪30年代初期，统计学家R.A.费希尔提出了一种构造区间估计的方法，他称之为信 任推断法。其基本观点是：设要作θ的区间估计，在抽样得到样本X以前，对θ一无所知，样本X透露了θ的一些 信息，据此可以对θ取各种值给予各种不同的“信任程度”，而这可用于对θ作区间估计。例如，设X是从正态总 体N（θ，1）中抽出的样本，则服从标准正态分布N(0,1），由此可知，对任何α<b）有
对θ的上、下限估计有类似的概念，以下限为例，称A(X）为θ的一个置信下限，若一旦有了样本X，就认为 θ不小于A(X），或者说，把θ估计在无穷区间【A(X），∞）内。"θ不小于A(X)"这论断正确的概率为θ）。 π1（θ）对不同的θ取的最小值1-α（0<；α<1）称为置信下限A(X）的置信系数。
在数理统计中，常称不超过置信系数的任何非负数为置信水平。
区间估计如果A(X）是θ的置信下限，则在保证A(X）的置信系数不小于1-α的前提下，A(X）愈大，精确程 度愈高。这也可以用【A(X），∞）包含假值θ┡（θ┡<；θ）的概率来衡量，此概率愈小，置信下限A(X）的 精确程度愈高。对置信上限有类似的结果，若在某个准则下，一个置信区间（或上、下限）比其他置信区间都好， 则称它为在这个准则下是一致最优的。例如，在上述准则下，置信系数1-α的一致最优置信下限A(X）定义为： A(X）有置信系数1-α，且对任何有置信系数1-α的置信下限A1(X），当θ┡<；θ时，成立
基本定义
区间估计，是参数估计的一种形式。1934年，由统计学家J.奈曼所创立的一种严格的区间估计理论。置信系 数是这个理论中最为基本的概念。通过从总体中抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的 区间，以作为总体的分布参数(或参数的函数)的真值所在范围的估计。
区间估计用数轴上的一段距离或一个数据区间，表示总体参数的可能范围.这一段距离或数据区间称为区间估 计的置信区间。
还有一种方法是利用大样本理论（见大样本统计）。例如，设x1,x2，…，xn为抽自参数为p的二点分布（见 概率分布）的样本，当n→∞时，依分布收敛（见概率论中的收敛）于标准正态分布N(0,1），以 uα/2记N (0， 1）的上 α/2分位数，则有。所以，可作为p的一个区间估计，上面的极限值1－α就定义为它的渐近置信系数。
一种是利用已知的抽样分布（见统计量）。例如，设x1,x2，…，xn为正态总体N（μ，σ2）（见正态分布） 中抽出的样本，要作μ的区间估计，记，·则服从自由度为n-1的t分布。指定α>0，找这个分布的上α/2分位数 tα/2(n-1），则有
即
由此得到 μ的一个置信系数为 1-α的置信区间。类似地可以定出μ的置信系数为1-α的置信上、下限分别 为。
假设检验
贝叶斯方法另一种是利用区间估计与假设检验的，设要作θ的置信系数为1－α的区间估计，对于任意的θ0， 考虑原假设为 H：θ=θ0，备择假设为 K：θ≠θ0。设有一水平为α的检验，它当样本X属于集合A( θ0）时接 受H。若集合{θ0∶X∈A（θ0)}是一个区间，则它就是θ的一个置信区间，其置信系数为1-α。就上例而言，对 假设H：μ=μ0的检验常用t检验：当时接受μ=μ0，集合即为区间这正是前面定出的μ的置信区间。若要求θ的 置信下限（或上限），则取原假设为θ≤θ0（或θ≥θ0），备择假设为θ>；θ0（或θ<；θ0），按照同样的 方法可得到所要求的置信下（上）限。
在数理统计学中，待估计的未知量是总体分布的参数θ或θ的某个函数g（θ）。区间估计问题可一般地表述 为：要求构造一个仅依赖于样本X=(x1,x2，…，xn）的适当的区间【A(X),B(X）】，一旦得到了样本X的观测值 尣，就把区间【A（尣），B（尣）】作为θ或g（θ）的估计。至于怎样的区间才算是“适当”，如何去构造它， 则与所依据的原理和准则有关。这些原理、准则及构造区间估计的方法，便是区间估计理论的研究对象。作为参 数估计的形式，区间估计与点估计是并列而又互相补充的，它与假设检验也有密切的。
区间理论
这是1934年，由统计学家J.奈曼所创立的一种严格的区间估计理论。置信系数是这个理论中最为基本的概念。
区间估计置信系数 奈曼以概率的频率解释为出发点，认为被估计的θ是一未知但确定的量，而样本X是随 机的。区间【A(X），B(X）】是否真包含待估计的θ，取决于所抽得的样本X。因此，区间 【A(X),B(X）】只能 以一定的概率包含未知的θ。对于不同的θ，π（θ）之值可以不同，π（θ）对不同的θ取的最小值1-α（0<； α<1）称为区间【A(X），B(X）】的置信系数。与此相应，区间【A(X），B(X）】称为θ的一个置信区间。这个 名词在直观上可以理解为：对于“区间【A(X),B(X）】包含θ”这个推断，可以给予一定程度的相信，其程度则 由置信系数表示。