2024届高考一轮复习物理课件(新教材粤教版):卫星变轨问题 双星模型
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常见的三 星模型
①G2Rm22+GRM2m=ma 向 ②GLm2 2×cos 30°×2=ma 向
常见的四 星模型
①GLm2 2×cos 45°×2+ G2mL22=ma 向
②GLm2 2×cos 30°×2+GLmM2=ma 向
3
例5 (2023·广东深圳市调研)由于潮汐等因素影响,月球正以每年约3至 5厘米的速度远离地球.地球和月球可以看作双星系统,它们绕O点做匀 速圆周运动.多年以后,地球 A.与月球之间的万有引力变大 B.绕O点做圆周运动的周期不变
2.黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体,以至于光都无法逃逸,科学家 一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞.当天体的逃逸 速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 2 倍)超过光速时,该天体就是黑洞.
考向1 星球的瓦解问题
例8 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)
双星或多星模型
梳理 必备知识
1.双星模型 (1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统, 我们称之为双星系统.如图所示. (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即GmL12m2=m1ω12r1, GmL12m2=m2ω22r2. ②两星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2.
√A.由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速
B.在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期 C.在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度 D.在轨道Ⅲ上,探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度
由高轨道进入低轨道需要点火减速,则由轨道Ⅰ进入 轨道Ⅱ需在O点减速,A正确; 根据开普勒第三定律有Tr2232=Ta3332,因轨道Ⅱ的半径大于轨 道Ⅲ的半长轴,所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期,
√D.在轨道2与轨道3同一近火点的加速度相同
在轨道2上近火点减速做近心运动可进入轨道3, A错误; 在轨道2上运动时,只有引力做功,则机械能不 变,B错误; 在轨道1上的运行速度要超过第二宇宙速度小于第三宇宙速度,C 错误; 在轨道2与轨道3同一近火点只受万有引力,产生的加速度相同,D 正确.
考向2 变轨问题中的能量变化
法正确的是
A.每颗星体所需向心力大小为
m2 2G r2
√B.每颗星体运行的周期均为 2π
r3 3Gm
√C.若 r 不变,星体质量均变为 2m,则星体的角速度变为原来的 2倍
D.若 m 不变,星体间的距离变为 4r,则星体的线速度变为原来的41
任意两颗星体间的万有引力大小 F0=Gmr22,每颗星
体受到其他两个星体的引力的合力为 F=2F0cos 30°
由于卫星要由轨道2变轨到轨道3,必须在A点加速,机械能增加, 所以卫星在轨道3上c点所具有的机械能大于在轨道2上B点所具有的 机械能,故D正确.
考向3 飞船对接问题
例4 北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱 顺利实现径向自主交会对接,整个交会对接过程历时约6.5小时.为实现神舟十 三号载人飞船与空间站顺利对接,飞船安装有几十台微动力发动机,负责精 确地控制它的各种转动和平动.对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止 的某个停泊位置(距空间站200 m).为到达这个位置,飞船由惯性飞行状态转入 发动机调控状态,下列说法正确的是 A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动,合适位置减速靠近即可 B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动,合适位置减速靠近
例3 (2023·广东揭阳市模拟)如图所示是“嫦娥五号”卫星绕月球运行 的三条轨道,轨道1是近月圆轨道,轨道2和3是变轨后的椭圆轨道.轨道1 上的A点也是轨道2、3的近月点,B点是轨道2的远月点,C点是轨道3的 远月点.则下列说法中正确的是 A.卫星在轨道2的周期大于在轨道3的周期 B.卫星在轨道2经过A点时的速率小于在轨
根据v=ωr,两恒星角速度相等,则vA<vB,故D错误.
例7 (多选)如图所示,质量相等的三颗星体组成三星系统,其他星体对
它们的引力作用可忽略.设每颗星体的质量均为m,三颗星体分别位于边
长为r的等边三角形的三个顶点上,它们绕某一共同的圆心O在三角形所
在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动.已知引力常量为G,下列说
√C.恒星A、B的总质量为
π2d3 GT2
D.恒星A的线速度大于B的线速度
每隔时间T两颗恒星与望远共线一次,则两恒 星的运动周期为T′=2T,故A错误; 根据万有引力提供向心力有 GmdAm2 B=mA42πT22rA= mB42πT22rB,由题图知 rA<rB,则 mA>mB,故 B 错误; 由 B 选项得,两恒星总质量为 M=mA+mB=πG2Td23,故 C 正确;
= 3Gmr22,A 错误;
r
由牛顿第二定律可得 F=m(2Tπ)2r′,其中 r′=cos230°= 33r,解得
每颗星体运行的周期均为 T=2π 3Gr3m,B 正确;
星体原来的角速度 ω=2Tπ= 3Gr3m,若 r 不变, 星体质量均变为 2m,则星体的角速度 ω′=T2′π
= 6Gr3m,则星体的角速度变为原来的 2倍,C 正确; 星体原来的线速度大小 v=2πTr′,若 m 不变,星体间的距离变为 4r, 则星体的周期 T′=2π 34Grm3=16π 3Gr3m=8T,星体的线速度大 小 v′=T2′π ×4r′=πrT′,则星体的线速度变为原来的21,D 错误.
③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L.
④两星到圆心的距离 r1、r2 与星体质量成反比,即mm12=rr21.
⑤双星的运动周期 T=2π
L3 Gm1+m2.
⑥双星的总质量 m1+m2=4Tπ22GL3.
2.多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体 外,各星体的角速度或周期相同.常见的多星及规律:
发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms.假设星体为质
量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2.以周期T
稳定自转的星体的密度最小值约为
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
√C.5×1015 kg/m3
D.5×1018 kg/m3
道Ⅲ都需要点火加速,则E1<E2<E3.
考向1 卫星变轨问题中各物理量的比较
例1 2021年2月,“天问一号”探测器成功实施近火制动,进入环火椭圆 轨道,并于2021年5月软着陆火星表面,开展巡视探测等工作,探测器经过 多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示,其中轨道Ⅰ、Ⅲ 为椭圆,轨 道Ⅱ为圆.探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星,O点是轨道Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ的切点,O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点.下列关 于探测器说法正确的是
道1经过A点时的速率 C.卫星在轨道2经过A点时的加速度大于在轨道3经过A点时的加速度
√D.卫星在轨道2上B点所具有的机械能小于在轨道3上C点所具有的机械能
根据开普勒第三定律Tr32=k,轨道 2 的半长轴 小于轨道 3 的半长轴,故卫星在轨道 2 的周 期小于在轨道 3 的周期,故 A 错误; 卫星要由轨道1变轨到轨道2,必须在A点加速,所以卫星在轨道2经 过A点时的速率大于在轨道1经过A点时的速率,故B错误; 在 A 点根据牛顿第二定律有 GMr2m=ma,得 a=GMr2,故卫星在轨道 2 经过 A 点时的加速度等于在轨道 3 经过 A 点时的加速度,故 C 错误;
√C.绕O点做圆周运动的角速度变小
D.做圆周运动的轨道半径变小
多年以后,地球和月球间距离变大,两星球
的质量不变,由万有引力定律可知,地球与
月球之间的万有引力变小,故A错误; 地球和月球绕O点做匀速圆周运动的角速度大小ω相等,周期T相等,
设地球与月球的质量分别为M1和M2,圆周运动的半径分别为r1和r2, 地球和月球间距离为L, 则有 L=r1+r2,由万有引力提供向心力GML12M2=M1(2Tπ)2r1=M1ω2r1, GML12M2=M2(2Tπ)2r2=M2ω2r2,
星球“瓦解”问题 黑洞
1.星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时,星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向 心力时,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,瓦解的临界条件是 赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力,即GRM2m=mω2R,得 ω=
GRM3 .当 ω> GRM3 时,星球瓦解,当 ω< GRM3 时,星球稳定运行.
专
题
强 化
卫星变轨问题
双星模型
七
目标 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统,会解决相关问题.3.会应用万有引力定律解决星 要求 球“瓦解”和黑洞问题.
内容索引
题型一 卫星的变轨和对接问题 题型二 双星或多星模型 题型三 星球“瓦解”问题 黑洞
卫星的变轨和对接问题
1.变轨原理 (1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向先发射卫 星到圆轨道Ⅰ上,卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动,有 GMr1m2 =mvr12,如图所示. (2)在 A 点(近地点)点火加速,由于速度变大,所需向心力变大,GMr1m2 <mvrA12, 卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在椭圆轨道 B 点(远地点)将做近心运动,GMr2m2 >mvrB22,再次点火加速,使 GMr2m2 =mv′r2 2,进入圆轨道Ⅲ.
联立可得GM1L+2 M2=4Tπ22L=ω2L,r1=MM1+2LM2, 地球与月球的质量不变,地球和月球间距离增大, 则地球绕O点做圆周运动的周期T变大,地球绕O点做圆周运动的角 速度变小,地球做圆周运动的轨道半径变大,故B、D错误,C正确.
例6 如图所示,“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B,只在相互引力
(3)周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨 道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律 Tr32=k可知T1<T2<T3. (4)机械能:在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3,从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨
作用下绕连线上O点做匀速圆周运动,彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成
亮度发生周期性变化的两颗恒星.观察者在地球上通过望远镜观察“食双
星”,视线与双星轨道共面.观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线
一次,已知引力常量为G,地球距A、B很远,可认为地球保持静止,则
A.恒星A、B运动的周期为T
B.恒星A的质量小于B的质量
B 错误; 根据 v= GRM可知,在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度, C 错误; 根据开普勒第二定律可知,近地点的线速度大于远地点的线速度,所以在 轨道Ⅲ上,探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度,D错误.
例2 (2023·广东广州市模拟)如图所示,2021年2月我国“天问一号”火 星探测器先由地火转移轨道1进入火星停泊轨道2,进行相关探测后进入 较低的轨道3开展科学探测,则探测器 A.在轨道2上近火点加速可进入轨道3 B.在轨道2上近火点的机械能比远火点小 C.在轨道1上的运行速度不超过第二宇宙速度
即可 C.飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动,合适的位置减速即可
√D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动,合适的位置减速即可
根据卫星变轨时,由低轨道进入高轨道需要点火加速,反之要减速, 所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动,合适位置加速 靠近即可,或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动, 合适的位置减速即可,故选D.
脉冲星稳定自转,万有引力提供向心力,则有 GMr2m≥mr4Tπ22,又知 M =ρ·43πr3,整理得密度 ρ≥G3Tπ2=6.67×10-311××3.51.419×10-32 kg/m3≈ 5.2×1015 kg/m3,故选 C.
2.变轨过程分析 (1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道 Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速,则vA>v1,在B点加速, 则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还 是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,卫星在轨道Ⅱ或轨 道Ⅲ上经过B点的加速度也相同.