苏教版高中数学必修二课件归纳整合2.pptx

【例2】当a≥0时，方程x＋a＝a|x|有两解，则a的取值范围 是________．
解析 令 y＝x＋a，y＝a|x|， 则直线 y＝x＋a 是斜率为 1，纵截距为 a 的直线． 曲线 y＝a|x|，当 x≥0 时，y＝ax，这是一条斜率为 a 的射线， 当 x≤0 时，y＝－ax 是一条斜率为－a 的射线． 显然，当 a＞1 时，y＝x＋a 与 y＝ax(x≥0)，y＝－ax(x≤0)都 相交，即直线 y＝x＋a 与 y＝a|x|有两个交点．如图①.
化为点的对称问题求解．
专题五 最值问题 几何最值问题一般转化为代数问题处理，或结合图形的特点 利用数形结合的方法处理，与圆有关的最值一般与圆的切线或圆 心和半径有联系．
【例 5】 已知实数 x，y 满足(x－3)2＋(y－3)2＝6，求yx的最值 和 y＋x 的最值．
设此方程两根为 x1，x2，AB 的中点坐标为 P(x，y)， 由韦达定理和中点坐标公式，得 x＝x1＋2 x2＝261＋＋4kk2＝31＋＋2kk2 .① 又 P 点在直线 y＝kx 上，∴k＝xy.②
将②代入①，得 x＝31＋＋2yxyx2(x≠0)． 整理得 x2＋y2－3x－2y＝0. ∴轨迹是圆 x2＋y2－3x－2y＝0 位于圆 x2＋y2－6x－4y＋10＝0 内的一段弧．
6．圆和圆的位置关系 (1)代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组．若方 程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的 实数解，则两圆相切；若无实数解，则两圆相离． (2)几何法：设两圆半径分别为 r1，r2，两圆心分别为 C1，C2， 则 当 C1C2＞r1＋r2 时，两圆相离； 当 C1C2＝r1＋r2 时，两圆外切； 当|r1－r2|＜C1C2＜r1＋r2 时，两圆相交； 当 C1C2＝|r1－r2|时，两圆内切； 当 C1C2＜|r1－r2|时，两圆内含．
高中数学课件
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要点归纳 1．直线的倾斜角和斜率 令直线的倾斜角为 α，斜率为 k. (1)k＝tan α(α≠90°)，其中 0°≤α<180°，k∈R，当 α＝90°时， 斜率不存在； (2)过 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)．
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离是 d＋r， 最小距离是 d－r，其中 d 为圆心到直线的距离．
②当直线与圆相交时，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r， 则有2l 2＋d2＝r2.
(3)当直线与圆相切时，切线的求法 ①若点(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则切线方程为 x0x＋y0y＝r2. 若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上时，则切线方程为(x0 －a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
【例1】已知直线经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三 角形面积是1，求直线方程．
解 设所求直线的方程是ax＋by＝1，
由题意得－a2＋2b＝1， 12|ab|＝1，
解得ab＝ ＝21， ， 或ab＝ ＝－ －12， . ∴所求直线方程为2x＋1y＝1 或－x1＋－y2＝1， 即 x＋2y－2＝0 或 2x＋y＋2＝0.
②求斜率为 k 且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 相切的切线方程，可 以设切线为 y＝kx＋m，然后化成一般式 kx－y＋m＝0，利用圆心 到切线的距离等于半径列出方程求 m.
③若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的外部，则设切线方 程为 y－y0＝k(x－x0)，化成一般式 kx－y＋y0－kx0＝0，因为与圆相 切，所以有|ka－b＋ k2＋y0－ 1 kx0|＝r.由此解出 k，若此方程有一个实根， 则还有一条斜率不存在的切线，务必要补上．
2．直线方程的几种形式 (1)点斜式 y－y0＝k(x－x0)． ①当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x ＝x0. ②在解题时若选用点斜式的话，应单独考虑斜率不存在的情 况． (2)斜截式 y＝kx＋b. 在解题时若选用斜截式的话，应单独考虑斜率不存在的情况．
(3)两点式yy2－－yy11＝xx2－－xx11[(y2－y1)(x2－x1)≠0]． 两点式不能表示平行(或重合)于坐标轴的直线． (4)截距式ax＋by＝1(ab≠0)． ①截距不是长度． ②当斜率不存在或为零，或直线过原点时，都不能用截距式 因此用截距式时应单独考虑这几种情况． (5)一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
∴3yx00×－ －202＋＝2 x430，＋4×0＋2 y0－1＝0，
解得yx00＝＝－ 45，85.
即 B45，－85. ∴所求 n 的方程为－y－85－－－22＝45x－－33，
即 2x＋11y＋16＝0.
[点评 ] 点的对称问题是基本的对称，其他的对称一般要转
(2)空间两点间的距离与中点坐标： P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)， 则 P1P2＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12. P1P2 的中点坐标为x1＋2 x2，y1＋2系数法 待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它 的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数 的方法．直线和圆的方程常用待定系数法求解．
3．两直线的位置关系 (1)两直线的位置关系 设 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ①l1 与 l2 相交⇔k1≠k2， 特别地，k1·k2＝－1⇔l1⊥l2； ②l1∥l2⇔k1＝k2，且 b1≠b2； ③l1 与 l2 重合⇔k1＝k2，且 b1＝b2. (2)点到直线的距离 设 M(x0，y0)，直线 l：Ax＋By＋C＝0，点 M 到直线 l 的距离 为 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|，
当 0＜a≤1 时，直线 y＝x＋a 与射线 y＝－ax(x≤0)相交于一 点，而与射线 y＝ax(x≥0)不相交，故直线 y＝x＋a 与曲线 y＝a|x| 只有一个交点，如图②.
当 a＝0 时，直线 y＝x 与直线 y＝0 相交于原点． 当 a＜0 时，无交点． 答案 a＞1 点评 若直接解方程，过程会比较繁琐，因此把方程解的 问题转化为曲线交点问题，体现了从“数”到“形”的变化．
专题四 对称问题 对称问题有两类：①中心对称：②轴对称．这些对称一般转 化为点的对称解决，涉及到平面中的中点坐标公式、垂直知识 等．一些其他问题，如角平分线、反射、距离问题也可转化为对 称问题．
【例4】求直线m：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0 对称的直线n的方程．
解 法一 由 m：2x＋y－4＝0， 知 A(2,0)，B(0,4)为 m 上的点， 则 A、B 关于 l 的对称点为 A′(a，b)，B′(a′，b′)，
专题三 动点轨迹问题 求曲线的方程或者求动点的轨迹方程是解析几何中重要的题 型，解答这种问题常用的方法有：直接法、定义法、消参法、代 入法等．
【例3】直线y＝kx与圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0相交于A、B 两点，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹方程．
解 法一 由xy2＝＋kyx2，－6x－4y＋10＝0， 消去 y，得(1＋k2)x2 －(6＋4k)x＋10＝0，
[点评] 选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况 下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜 率有关的，可设直线的斜截式方程或点斜式方程等．
专题二 数形结合的思想方法 数形结合作为一种数学思想方法，在数学中无处不在．它可 以将抽象的代数问题转化为直观的几何问题，也可将几何问题转 化为简单的代数运算．
∴xy－ －32＝－yx11－ －yx22＝－k.③ 又∵y＝kx，④ 由③④得 x2＋y2－3x－2y＝0. ∴所求轨迹为圆 x2＋y2－3x－2y＝0 位于已知圆 x2＋y2－6x－ 4y＋10＝0 内的一段弧．
[点评 ] 设动点 P(x，y)，坐标 x 和 y 均可表示为某一变数 k 的函数，即 x＝f(k)，y＝g(k)．从这两个方程消去它们共同的变数 k，所得仅含动点坐标 x 和 y 的方程 F(x，y)＝0，它就是所求动点 的轨迹方程，变数 k 称作参数. 在求轨迹问题时，常常根据具体问 题引入参数，再消去参数而得到所求轨迹方程．
7．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 ∠xOy＝∠xOz＝135°，∠yOz＝90°，x 轴，y 轴、z 轴的正半 轴分别指向右手拇指、食指、中指． 作点 P(x，y，z)的步骤与方法：从原点出发沿 x 轴正(x＞0)或 负(x＜0)方向移动|x|个单位，再沿 y 轴正(y＞0)或负(y＜0)方向移动 |y|个单位，最后沿 z 轴正(z＞0)或负(z＜0)方向移动|z|个单位．
(3)两平行线间的距离 设 l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)． ∵l1∥l2，∴l1 与 l2 间的距离 d＝|CA－2＋C′B2|.
4．圆的方程 (1)标准式：圆心为点(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程为(x－ a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为 x2 ＋y2＝r2. (2)一般式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． ①在二元二次方程中，x2 和 y2 的系数相等并且没有 xy 项只是 表示圆的必要条件而不是充分条件． ②如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位 置时，一般用标准方程，如果给出了圆上三个点的坐标，一般用 一般方程．
③在一般方程中，当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个点 －D2 ，－E2，当 D2＋E2－4F＜0 时无轨迹．
④由于圆的方程均含有三个参数(a，b，r 或 D，E，F)，而确 定这三个参数必须有三个独立条件，因此，三个独立条件确定一 个圆．
⑤待定系数法是求圆的方程的常用方法．
5．直线和圆的位置关系 (1)代数法：通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组，根 据解的个数来研究．若有两组不同的实数解(即 Δ>0)，则相交；若 有两组相同的实数解(即 Δ＝0)，则相切；若无实数解(Δ＜0)，则相 离． (2)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断．当 d＜r 时，直线与圆相交；当 d＝r 时，直线与圆相切；当 d＞r 时， 直线与圆相离．
∴3a× －b a2＋ ＝2 243＋ ，4×b2－1＝0，
解得 ab＝ ＝－ 45，85.
即 A′45，－85.
由3b× ′a′a－′42＋ ＝043＋ ，4×b′2＋4－1＝0， 解得ab′ ′＝ ＝－ －14558. ， 即 B′－158，－45.
∴kn＝－－45－158－－4585＝－121， ∴所求方程为 y＋45＝－121x＋158，即 2x＋11y＋16＝0. 法二 由23xx＋ ＋y4－y－4＝ 1＝0， 0， 解得 m 与 l 的交点 E(3，－2)，E 在直线 n 上，在直线 2x＋y －4＝0 上找一点 A(2,0)，设点 A 关于 l 对称的点 B 的坐标为(x0， y0)，
法二 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 x12＋y21－6x1－4y1－10＝0，① x22＋y22－6x2－4y2－10＝0，② ①－②得 (x21－x22)＋(y12－y22)－6(x1－x2)－4(y1－y2)＝0， 设 AB 中点为(x，y)，则 x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y. ∴2x(x1－x2)＋2y(y1－y2)－6(x1－x2)－4(y1－y2)＝0， 即(2x－6)(x1－x2)＋(2y－4)(y1－y2)＝0.