学案4：1.1.3 四种命题间的相互关系

1.1.3四种命题间的相互关系
学习目标
1.会分析四种命题的关系，并能利用其关系解决一些问题.
2.理解转化思想和正难则反的方法，培养辨析能力、分析问题和解决问题的能力．
学习重点：四种命题的相互关系．
学习难点：会用互为逆否关系解决一些问题．
要点整合
知识点一四种命题之间的关系
[学一学]
[答一答]
1．在四种命题中，具有互逆、互否、互为逆否关系的命题各有两对？
知识点二四种命题的真假性之间的关系
[填一填]
1．两个命题互为逆否命题，它们有真假性；
2．两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性．
[答一答]
2．四种命题中真命题有几个？
3．如何运用互为逆否命题的两个命题之间的关系？
特别关注
1．对四种命题的真假性判断要注意：原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价．2．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．如果直接判断或证明一个命题的真假性有困难，那么可以转化为判断或证明它的逆否命题的真假性．这种证法可称为逆否证法．
典例讲练
类型一 四种命题间的相互关系
例1 已知命题“如果|a |≤1，那么关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的有几个？并说明理由．
通法提炼
1.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”.互为逆否的命题同真同假.
2.判定命题为假命题，只要举一反例即可.
针对训练1
原命题：“已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
类型二 原命题与逆否命题等价性的应用
例2 求证：当a 2＋b 2＝c 2时，a ，b ，c 不可能都是奇数．
通法提炼
正难则反思想的利用：我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.
针对训练2
求证：若a ＋b ≥6，则a ，b 中至少有一个不小于3.
类型三 由命题的真假求参数
例3 已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24
<1，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．
通法提炼
一般地，若命题q 是假命题，那么命题非q 就是真命题，它们的交集为∅，并集为全集R ，
实质上当命题q是假命题时，可先求出命题q为真命题时的解集，然后求其补集即命题q 为假命题时的解集即可.
针对训练3
已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x<0}，若命题A∩B＝∅是真命题，试求实数a的取值范围．
类型四素养提升
等价命题的应用
例4证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
【解后反思】根据原命题的逆否命题的真假来判断原命题的真假，有时可以简化解题步骤，达到事半功倍的效果．
针对训练4
判断下列命题的真假．
(1)若xy≠6，则x≠2或y≠3；
(2)若x＝2或x＝3，则(x－2)(x＋1)＝0.
课堂达标
1．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是()
A．命题p是真
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
2．若p⇒q，则下列式子恒成立的是()
A．q⇒p B．p⇒q
C．q⇒p D．q⇒/p
3．“若tanθ＝3，则θ＝60°”的否命题是若tanθ≠3，则θ≠60°，否命题是命题(填真、假)．
4．命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为，是命题(填真、假)．
5．写出命题“设x为实数，若x>0，则x2>0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
参考答案
[答一答]
1．提示：正确，从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系各有两对．
知识点二四种命题的真假性之间的关系
[填一填]
1．相同的
2．没有关系
[答一答]
2．提示：因为原命题与逆否命题有相同的真假性，逆命题与否命题有相同的真假性，因此四种命题中真命题的个数一定为偶数，即真命题的个数只可能为0,2,4.
说明：根据四种命题中真命题的个数只可能为0,2,4，可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确．
3．提示：互为逆否命题的两个命题同真同假，也称为等价命题，在本节的主要应用有两点：
(1)通过判断逆否命题的真假判断原命题的真假．
(2)用于证明命题：当原命题的真假性不易证明时，可以先证明它的逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性．
典例讲练
类型一 四种命题间的相互关系
例1 解：由|a |≤1，得－1≤a ≤1，且Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)＝5⎝⎛⎭⎫a ＋252－45－12≤5⎝⎛⎭⎫1＋252－45
－12<0.所以原命题为真、逆否命题为真；反之，如a ＝－2时，所给不等式的解集为空集，但a ∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．所以假命题有2个．
针对训练1
解：逆命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d .假命题． 否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d .假命题。

逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d .真命题．
类型二 原命题与逆否命题等价性的应用
例2 证明：构造命题p ：若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数．
该命题的逆否命题是：若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2.下面证明该逆否命题是真命题． 由于a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数，于是a 2＋b 2必为偶数，而c 2为奇数，所以有a 2＋b 2≠c 2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．
针对训练2
证明：构造命题p ：若a ＋b ≥6，则a ，b 中至少有一个不小于3，则其逆否命题为：若a ，b 都小于3，则a ＋b <6.
而当a <3，且b <3时，必有a ＋b <6，所以逆否命题为真，从而原命题p 为真命题，故原结论成立．
类型三 由命题的真假求参数
例3 解：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，
即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.
由1－x ＋x 24
<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4. 因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4. 所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
针对训练3
解：命题A ∩B ＝∅是真命题，即A ∩B ＝∅成立．
当a ＝0时，集合A ＝∅，满足题意；
当a ≠0时，集合A ＝{x |x ＝1a }，若A ∩B ＝∅，则1a
≥0，解得a >0. 综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥0}．
类型四 素养提升
等价命题的应用
例4 【证明】 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．
若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，
又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f (a )<f (－b ), f (b )<f (－a )．
∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，
即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．
针对训练4
解：(1)所给命题的逆否命题是“若x ＝2且y ＝3，则xy ＝6”，显然成立，所以所给命题是真命题．
(2)所给命题的逆否命题是“若(x －2)(x ＋1)≠0，则x ≠2且x ≠3”，是假命题，所以所给命题是假命题．
课堂达标
1．【答案】B
【解析】由于一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，且互为逆否命题的真假性是一致的，所以命题p 的否命题是假命题．故选B.
2．【答案】C
【解析】因为原命题和它的逆否命题同真同假，所以若p ⇒q ，则有
q ⇒p ，选C. 3．【答案】真
4．【答案】10的常用对数是1 真
5．解：逆命题：设x为实数，若x2>0，则x>0，逆命题为假命题；否命题：设x为实数，若x≤0，则x2≤0，否命题为假命题；逆否命题：设x为实数，若x2≤0，则x≤0，逆否命题为真命题．。