多元函数极值

提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z<0. 因此z=0是函数的极大值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例3 函数z=xy在点(0, 0)处既不取得极大值也不取得极小 值. 提示: 因为在点(0, 0)处的函数值为零, 而在点(0, 0)的任一邻域 内, 总有使函数值为正的点, 也有使函数值为负的点.
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定理1(取得极值的必要条件) 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)具有偏导数, 且在点(x0, y0)处有 极值, 则有 fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0. 驻点 凡是能使fx(x, y)=0, fy(x, y)=0同时成立的点(x0, y0)称为函 数z=f(x, y)的驻点. 讨论: 驻点与极值点的关系怎样? 提示: 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点. 函数的驻点不一定是极值点. >>>
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例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水 箱. 问当长,宽,高各取多少时, 才能使用料最省. 解 设水箱的长为x m, 宽为y m, 则所用材料的面积为 A=2(xy+ y 8 +x 8 ) =2(xy+ 8 + 8) (x >0, y >0) . xy xy x y 令 Ax = 2(y 8 ) =0 , Ay = 2(x 8 ) =0 , 得 x=2, y=2. x2 y2 根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并 在开区域D={(x, y)|x>0, y>0}内取得. 又因为函数在D内只有一 个驻点(2, 2), 所以此驻点一定是A的最小值点.
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取得极值的必要条件 设函数z=f(x, y)在附加条件(x, y)=0下在(x0, y0)取得极值, 则
(x0, y0)=0,
x(x0, y0) fx(x0, y0) f y(x0, y0) =0. y(x0, y0)
提示: 把由方程(x, y)=0所确定函数y=ψ(x)代入函数z=f(x, y), 得一元函数z=f[x, ψ(x)]. 于是x=x0是函数z=f[x, ψ(x)]的极值点, 因此有
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应注意的问题 不是驻点也可能是极值点.
例如, 函数z = x2 + y2 在点(0, 0)处有极 大值, 但(0, 0)不是函数的驻点.
因此, 在考虑函数的极值问题时, 除 了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存 在的点, 那么对这些点也应当考虑.
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例4 求函数f(x, y)=x3y3+3x2+3y29x的极值.
fx(x, y)=3x2 +6x9=0 解 解方程组 , 2 f y(x, y)=3y +6y=0 求得函数的驻点为(1, 0),(1, 2),(3, 0),(3, 2). 函数的二阶偏导数为 fxx(x, y)=6x+6, fxy(x, y)=0, fyy(x, y)=6y+6.
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定理1(取得极值的必要条件) 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)具有偏导数, 且在点(x0, y0)处有 极值, 则有 fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0. >>> 类似地可推得, 如果三元函数u=f (x, y, z)在点(x0, y0, z0)具 有偏导数, 则它在点(x0, y0, z0)具有极值的必要条件为 fx(x0, y0, z0)=0, fy(x0, y0, z0)=0, fz(x0, y0, z0)=0. 说明: 从几何上看, 这时如果曲面z=f(x, y)在点(x0, y0, z0)处有切 平面, 则切平面 zz0=fx(x0, y0)(xx0)+ fy(x0, y0)(yy0) 成为平行于xOy坐标面的平面z=z0.
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定理2(取得极值的充分条件) 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某邻域内连续且有一阶及二 阶连续偏导数, 又fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, 令 fxx(x0, y0)=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C, 则f (x, y)在(x0, y0)处是否取得极值的条件如下: (1)ACB2>0时具有极值, 且当A<0时有极大值, 当A>0时 有极小值; (2)ACB2<0时没有极值; (3)ACB2=0时可能有极值, 也可能没有极值.
提示:
A= 1 (242x+2xcosα +242x) xsin α =(242x+ xcosα)xsin α . 2
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例6 有一宽为24cm的长方形铁板, 把它两边折起来做成 一断面为等腰梯形的水槽. 问怎样折可使断面的面积最大? 解 设折起来的边长为xcm, 倾角为α, 则断面面积为 A=24xsinα2x2sinα+x2sinα cosα (0<x<12, 0<α<90°). 令 Ax=24sinα4xsinα+2xsinα cosα=0, Aα=24xcosα2x2cosα+x2(cos2αsin2α)=0, 解这方程组, 得α=60°, x=8cm. 根据题意可知断面面积的最大值一定存在, 并且在 D={(x, y)|0<x<12, 0<α<90°} 内取得. 又函数在D内只有一个驻点, 因此可以断定, 当x=8cm, α=60°时, 就能使断面的面积最大.
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函数f(x, y)在驻点处如果fxxfyyfxy2>0, 则函数在驻点处取 得极值; 如果fxxfyyfxy2>0, 则函数在驻点处不取得极值. 在极值点处, 当fxx<0时有极大值, 当fxx>0时有极小值. 极值的求法 第一步 解方程组 fx(x, y)=0, fy(x, y)=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点. 第二步 对于每一个驻点(x0, y0),求出 fxx(x0, y0), fxy(x0, y0), fyy(x0, y0), 第三步 定出fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) fxy2(x0, y0)的符号, 判定f(x0, y0)是否是极值,回
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例1 函数z=3x2+4y2在点(0, 0)处有极小值.
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最大值和最小值问题 如果f(x, y)在有界闭区域D上连续, 则f(x, y)在D上必定能 取得最大值和最小值. 讨论: 比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗? 提示: 不能, 最大值和最小值也可能在区域的边界上取得, 而极 值是在区域的内部求得的.
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最大值和最小值问题 如果f(x, y)在有界闭区域D上连续, 则f(x, y)在D上必定能 取得最大值和最小值. 使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部, 也可 能在D的边界上. 最大值和最小值的求法 将函数f(x, y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界 上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小 的就是最小值. 如果函数f(x, y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得, 而函数在D内只有一个驻点, 那么该驻点处的函数值就是函数 f(x, y)在D上的最大值(最小值).
因此, 当水箱的长为 2m ,宽为 2m ,高为 8 =2 m时, 22 水箱所用的材料最省.
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例6 有一宽为24cm的长方形铁板, 把它两边折起来做成 一断面为等腰梯形的水槽. 问怎样折可使断面的面积最大? 解 设折起来的边长为xcm, 倾角为α, 则断面面积为 A=24xsinα2x2sinα+x2sinα cosα (0<x<12, 0<α<90°).
在点(1, 0)处, fxxfyyfxy2 =126>0, 又fxx>0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f(1, 0)=5; 在点(1, 2)处, fxxfyyfxy2 =12(6)<0, 所以f(1, 2)不是极值; 在点(3, 0)处, fxxfyyfxy2 =126<0, 所以f(3, 0)不是极值; 在点(3, 2)处, fxxfyyfxy2=12(6)>0, 又A<0, 所以函数的(3, 2)处有极大值f(3, 2)=31.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 例如, 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x, y, z, 则体积V=xyz. 又因假定表面积为a2, 所以自变量x, y, z还必须满足附加 条件2(xy+yz+xz)=a2. 上述问题就是求函数V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2 下的最 大值问题, 这是一个条件极值问题.
§8.8 多元函数的极值及其求法
一,多元函数的极值及最大值,最小值 二,条件极值 拉格朗日乘数法
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 极大值,极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
即
dy dz = fx(x0, y0)+ f y(x0, y0) x=x0 =0, dx x=x0 dx x(x0, y0) fx(x0, y0) f y(x0, y0) =0. y(x0, y0)