2020届全国大联考高三第五次联考数学(理)试题(解析版)

2．已知全集U
R
，集合
A
x |
x3 x 1
0 ，
B
x | 2 x x2 0
，则
CU A B （ ）
A．{x | 3 x 1} B．{x |1 x 2} C．{x | 3 x 1} D．{x |1 x 2}
【答案】B
【解析】解分式不等式和一元二次不等式得集合 A, B ，然后由集合的运算法则计算．
A． 3
B． 5
C． 6
D． 7
【答案】C
【解析】根据在关于 X 4 对称的区间上概率相等的性质求解．
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【详解】
4， 3， P(X 2) P(X 4 2) P(X 4 2) P(X 6) P(X a) ，a 6 ．
故选：C． 【点睛】
本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量 X 服从正态分
80 240 96 416 ．
故选：B． 【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．
11．观察下列各式： x y 2 ， x2 y2 4 ， x3 y3 9 ， x4 y4 17 ，
x5 y5 31 ，x6 y6 54 ，x7 y7 92 ， ，根据以上规律，则 x10 y10 （ ）
2a 2
a
b
|a|
18 3
2
20 3
．
故选：C． 【点睛】
本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
9．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里 绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①
甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远 古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上 语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）
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A． 640
【答案】B
B． 416
C． 406
D． 236
【解析】m
n
2
，有
m 0 n 2
m 1 ，n 1
m 2 ，n 0
三种情形，用
(x
1)3
(1
x)3
中
xm 的系数乘以 ( y 2)5 (2 y)5 中 yn 的系数，然后相加可得．
【详解】
当 m n 2 时， (x 1)3 ( y 2)5 的展开式中 xm yn 的系数为
49 万亿，故 C 项错误．
【点睛】 本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．
5．如图，在三棱锥 S ABC 中， SA 平面 ABC ， AB BC ，现从该三棱锥的 4 个 表面中任选 2 个，则选取的 2 个表面互相垂直的概率为（ ）
1
A．
2
【答案】A
1
B．
4
1
C．
3
2
D．
3
【解析】根据线面垂直得面面垂直，已知 SA 平面 ABC ，由 AB BC ，可得 BC ⊥
二、填空题
13．某大学 A 、 B 、 C 、 D 四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为 3.2% 、
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4.8% 、 4% 、 5.2% ，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129 人 调查毕业后的就业情况，则 D 专业应抽取_________人． 【答案】 39 【解析】求出 D 专业人数在 A 、 B 、 C 、 D 四个专业总人数的比例后可得．
布 N , 2 ，则 P X m P X m ．
4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，
要优先落实教育投入．某研究机构统计了 2010 年至 2018 年国家财政性教育经费投入 情况及其在 GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是
【详解】
由题意 A 、 B 、 C 、 D 四个不同的专业人数的比例为 8 :12 :10 :13 ，故 D 专业应抽取
的人数为 129
13
39 ．
8 12 10 13
故答案为：39．
【点睛】
本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的．
14．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校
的概率为 ．
2
故选：A．
【点睛】
本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
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7
A．
8
【答案】D
15
B．
8
31 C．
16
【解析】由程序框图确定程序功能后可得出结论．
【详解】
15
D．
16
执行该程序可得 S
0
1 21
1 22
1 23
ln x
x
ln x
程转化为
(g
(
x)
3)
a
g
3 (x)
1
0
，
即 (g(x) 3)(g(x) a) 0 ，所以 g(x) 3 或 g(x) a ．
因为
g (x)
ln x 1 (ln x)2
，当
x
1, e
时， g
x
0
，g
x
单调递减；当
x
e, 时，
g x 0 ，g x 单调递增；所以 g x 在 x e 处取得最小值，最小值为 g e e ．因
∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为
P 0.5 0.2 0.2 0.4 0.3 0.4 0.3 ．
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故选：B． 【点睛】
本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．
8．已知
a
3b
3
，且
(2a
b)
(a
4b )
，则
2a
b
在
a
方向上的投影为（
）
ln x
x
ln x
x
解，设 g(x) x ，方程可化为 (g(x) 3)(g(x) a) 0 ，即 g(x) 3 或 g(x) a ， ln x
求出 g(x) 的导数 g(x) ，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数
得出 a 的范围．
【详解】
由题意得 x 3 3a ln x a 0 有四个大于1的不等实根，记 g(x) x ，则上述方
平面 SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选 2 个的方法数，从而可
计算概率．
【详解】
由已知 SA 平面 ABC ，AB BC ，可得 SB BC ，从该三棱锥的 4 个面中任选 2 个
面共有 C42 6 种不同的选法，而选取的 2 个表面互相垂直的有 3 种情况，故所求事件 1
为 3 e ，所以 g x 3 有两个符合条件的实数解，故 f (x) x 3 3a ln x a 在
ln x
x
区间 1, 上恰有四个不相等的零点，需 a e 且 a 3 ．
故选：A． 【点睛】 本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解 再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．
7
A．
3
B．14
20
C．
3
D． 7
【答案】C
【解析】由向量垂直的向量表示求出 a b ，再由投影的定义计算．
【详解】
由
(2a
b)
(a
4b )
可得
(2a
b)
(a
4b )
2a2
7a
b
4b 2
0
，因为 |
a
|
3|
b
|
3 ，所以
a
b
2
．故
2a
b
在
a 方向上的投影为
(2a|ab| ) a
2020 届全国大联考高三第五次联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知复数 z 满足 (z i)(i) 5 ，则 z （ ）
A． 6i
B． 6i
【答案】A
【解析】由复数的运算法则计算．
C． 6
D． 6
【详解】
因为
(z
i)(i)
5
，所以
z
5 i
i
6i
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的运算．属于简单题．
A．甲
B．乙
【答案】D
【解析】根据演绎推理进行判断．
C．丙
D．丁
【详解】
由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了
原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．
故选：D． 【点睛】
本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．
10． (x 1)3 ( y 2)5 的展开式中，满足 m n 2 的 xm yn 的系数之和为（ ）
C3m xm (1)3m C5n yn (2)5n C3n C5n (1)8(mn) 25n xm yn 25n C3m C5n xm yn ．当 m 0 ，n 2 时，系数为 23 110 80 ；当 m 1，n 1 时，系数为 24 35 240 ；
当 m 2 ， n 0 时，系数为 25 31 96 ；故满足 m n 2 的 xm yn 的系数之和为
【详解】
依题意 A {x | 3 x 1}， CU A {x | x 3 或x 1} ， B {x | 1 x 2} ，故
CU A B x |1 x 2 ．
故选：B． 【点睛】
本题考查集合的运算．考查解分式不等式和一元二次不等式，掌握集合的运算法则是解
题基础．
3．已知随机变量 X 服从正态分布 N 4, 9 ，且 P X 2 P X a ，则 a （ ）
则 a8 a7 a6 8 54 92 8 154 ，
a9 a8 a7 9 154 92 9 255 ， a10 a9 a8 10 255 154 10 419 ．
故选：B． 【点睛】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的
【详解】
第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有 A22 2 种不同的排法；第二步：将“射”和“御”
两节讲座捆绑再和其他两艺全排有 A22 A33 12 种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须
1 24
15
．
16
故选：D．
【点睛】
本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以
由程序框图确定程序功能，然后求解．
7．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2 、3 元）．甲、
乙租车费用为1元的概率分别是 0.5 、 0.2 ，甲、乙租车费用为 2 元的概率分别是 0.2 、
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一些项．
12．已知函数 f (x) x 3 3a ln x a 在区间 1, 上恰有四个不同的零点，则实
ln x
x
数 a 的取值范围是（ ）
A． (e,3) (3, ) B．0,e
C． e2,
D． (, e) {3}
【答案】A
【解析】函数 f (x) x 3 3a ln x a 的零点就是方程 x 3 3a ln x a 0 的
在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足
“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．
【答案】 24
【解析】分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为
一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列．
（）
A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B． 2012 年以来，国家财政性教育经费的支出占 GDP 比例持续 7 年保持在 4% 以上 C．从 2010 年至 2018 年，中国 GDP 的总值最少增加 60 万亿 D．从 2010 年到 2018 年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是 2012 年
A． 255
【答案】B
B． 419
C． 414
D． 253
【解析】每个式子的值依次构成一个数列{an} ，然后归纳出数列的递推关系
an an1 an2 n 后再计算．
【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字 2 ， 4 ， 9 ，17 ， 31， 54 ， 92 ， 构成一个
数列an ，可得数列an 满足 an an1 an2 n n 3, n N* ，
【答案】C 【解析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】
由表易知 A 、 B 、D 项均正确，2010 年中国 GDP 为 1.4670 41万亿元，2018 年中 3.55%
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国 GDP 为 3.6990 90 万亿元，则从 2010 年至 2018 年，中国 GDP 的总值大约增加 4.11%
0.4 ，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）
A． 0.18
B． 0.3
C． 0.24
D． 0.36
【答案】B
【解析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为 1 元，或同为 2 元，或同为 3 元，由独立
事件的概率公式计算即得．
【详解】
由题意甲、乙租车费用为 3 元的概率分别是 0.3, 0.4 ，