2023年江西省南昌市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

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2023年江西省南昌市高考数学二模试卷(理科)
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知数列,若,则( )
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
4. 已知函数,命题p:,,使得,命题
,当时,都有,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
5. 已知抛物线C:的准线为l,点M是抛物线上一点,若圆M过点且与直线l相切,则圆M与y轴相交所得弦长是( )
A. B. C. 4 D.
6. 如图,A,B,C是正方体的顶点,,点P在正方
体的表面上运动,若三棱锥的主视图、左视图的面积
都是1,俯视图的面积为2,则PA的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知单位向量满足,则的夹角为( )
A. B. C. D.
8. 已知,,,则( )
A. B. C. D.
9. 已知数列的通项公式为,保持数列中各项顺序不变,对任意的
,在数列的与项之间,都插入个相同的数,组成数列
,记数列的前n项的和为,则( )
A. 4056
B. 4096
C. 8152
D. 8192
10. 已知正四面体的棱长为,现截去四个全等的小正四面体,
得到如图的八面体,若这个八面体能放进半径为的球形容器中,则
截去的小正四面体的棱长最小值为( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知正实数a使得函数有且只有三个不同零点,,
,若,则下列,,的关系式中,正确的是( )
A. B. C. D.
12. 中国灯笼又统称为灯彩,是一种古老的汉族传统工艺品.灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺,与中国人的生活息息相连.灯笼成了中国人喜庆的象征.经过历代灯彩艺人的继承和发展,形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平,从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型,现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排,则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为( )
A. B. C. D.
13. 已知随机变量X的分布列为
X01
P
则随机变量的数学期望______ .
14. 已知变量x,y满足,则的最大值为______ .
15. 已知函数的图象关于点中心对称
为自然对数的底数,则______ .
16. 足球是大众喜爱的运动,足球比赛中,传球球员的传
球角度、接球球员的巧妙跑位都让观众赞不绝口.甲、乙两支
球队一场比赛的某一时刻,三位球员站位如图所示,其中A,B
点站的是甲队队员,C点站的是乙队队员,,这两平行
线间的距离为3m,,,,点B在直线l上,且,这时,站位A点球员传球给站位B点队友传球球员能根据队友跑位调整传球方向及控制传球
力度,及时准确传到接球点,记传球方向与的夹角为,已知站位B,C两点队员跑动速度都是,现要求接球点满足下面两个条件:
①站位B点队员能至少比站位C点队员早1s跑到接球点;
②接球点在直线l的左侧包括;则的取值范围是______ .
17.
如图是函数的部分图象,已知求;
若,求
18. 如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为4的菱形,
,,点E在线段PB上,,平面平面
求PE;
求直线DE与平面CDP所成角的正弦值.
19. 一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况,先设了1个原点,再确定了5个采样点,这5个采样点到原点距离分别为,其中,并得到了各采样点金
属锂的含量,得到一组数据,,2,3,4,5,经计算得到如下统计量的值:
,,,,
,其中,
利用相关系数判断与哪一个更适宜作为y关于x的回归模型;
建立y关于x的回归方程.
参考公式:回归方程中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为
,,;参考数据:
20. 已知椭圆的焦距为,左、右顶点分别为,,上顶点为B,过点的直线,斜率分别为,直线与直线,的交点分别为B,
求椭圆C的方程;
若直线与椭圆C的另一个交点为Q,直线BQ与x轴的交点为R,记的面积为,的面积为,求的取值范围.
21. 已知函数为的导函数.
当,时,求函数的极值;
已知,,若存在,使得成立,求证:
22. “太极图”是关于太极思想的图示,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,也被称为“阴阳鱼太极图”.在平面直角坐标系xOy中,“太极图”是一个圆心为坐标原点,半径为4的圆,其中黑、白区域分界线,为两个圆心在y轴上的半圆,在太极图内,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
求点P的一个极坐标和分界线的极坐标方程;
过原点的直线l与分界线,分别交于M,N两点,求面积的最大值.
23. 已知,
在给出的直角坐标系中画出函数的图象;
若在R上恒成立,求的最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:,,
故选:
可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.
本题考查了一元二次不等式的解法,对数函数的定义域和单调性,考查了计算能力,属于基础题.
2.【答案】C
【解析】解:,
则,
故,即复数z在复平面内对应的点在第三象限.故选:
根据已知条件,结合复数的四则运算,以及复数的几何意义,即可求解.
本题主要考查复数的四则运算,以及复数的几何意义,属于基础题.
3.【答案】B
【解析】解:由,可得,
解得,
则,
故选:
由已知递推式可令,解得,再令,可得的值.
本题考查数列的递推式的运用,考查转化思想和运算能力,属于基础题.
4.【答案】A
【解析】解:命题p:当时,,
所以,即,
则,,使得,故命题p为假命题;
命题q:当时,函数单调递增,
又函数在R上单调递增,所以函数在上单调递增,
所以时,,故命题q为真命题.
则命题为真,故A正确;
命题为假,故B错误;
命题为假,故C错误;
命题为假,故D错误.
故选:
根据正弦函数的性质和指数函数的性质依次判断命题p、q的真假,结合命题“且”、“或”、“非”的概念,依次判断即可.
本题主要考查复合命题及其真假,属于基础题.
5.【答案】D
【解析】解:由题意得抛物线C:,则准线l为,
设,因为圆M与直线l相切,所以圆的半径为,
则圆标准方程为,
又圆M过点,所以,①.
又②,
由①②,解得,则,设圆M与y轴交于点B,C,

故选:
设,则,,进而,解得,利用垂径定理计算即可求解.
本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力,属中档题.
6.【答案】D
【解析】解:A,B,C是正方体的顶点,,点P在正方体
的表面上运动,
三棱锥的主视图、左视图的面积都是1,俯视图的面积为
2,
可知P在正方体表面折线EGF上,E、G、F分别为所在棱的中点,
PA的取值范围为:,即
故选:
判断P的轨迹,然后转化求解PA的取值范围.
本题考查棱柱的结构特征,动点的轨迹的判断,三视图的应用,是中档题.
7.【答案】C
【解析】解:记的夹角为,则,
由,即,两边平方,得,即,即,则,
当时,,不符合题意,
所以,
又,则
故选:
由两边平方,根据向量数量积的运算即可求出夹角.
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角,属于基础题.
8.【答案】A
【解析】解:,,综上,
故选:
根据对数函数的性质,结合对数换底公式判断即可.
本题主要考查对数值大小的比较,属于基础题.
9.【答案】C
【解析】解:插入n组共个,,前面插入12组数,最后面插入9个,
1,个,2,个,,个,,⋯,,个,
,个,


又数列的前13项和为

故选:
插入n组共个,可知前面插入12组数,最后面插入9个,从而可得插入的数之和为,又数列的前13项和,可得
本题考查了分组求和,属于中档题.
10.【答案】B
【解析】解:如图,正四面体中,棱长为;顶
点A在面BCD的投射影为的中心Q,
正四面体外接球球心为点截去四个全等的小正
四面体之后得到的八面体的外接球球心同样为点,
E为CD中点,,,

在中,,
在中,,
又,
则,即,解得,
则,
设小正四面体的棱长,N为上面小正四面体底面中心,
则,
由题意,八面体能放进半径为的球形容器,则八面体的外接球半径
在中,,
则,即,解得
所以截去的小正四面体的棱长最小值为
故选:
正四面体中,顶点A在面BCD的投射影为的中心Q,正四面体外接球球心为点O,在直角三角形中求出AQ,OA,设小正四面体的棱长,N为上面小正四面体底面中心,可得MN,AN,由题意,八面体的外接球半径,由此即可解得答案.
本题考查多面体的外接球相关问题,考查立体几何中的距离问题,考查运算求解能力,属于中档题.
11.【答案】D
【解析】解:依题意,由得:,,即,
令,,,,
当时,,函数单调递减,当,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,当,,函数单调递增,
函数有三个零点,即直线与函数与函数的图象共有三个公共点,
在同一坐标平面内作出函数与函数的图象,它们有公共点
,如图,
因此直线必过点A,令直线与函数的图象另一交点为,
与函数的图象另一交点为,显然,且有

由得:,即,而,于是,
由,得:,即,而,于是,
由,得:,即,故D正确;
对于A,,故A错误;
对于B,令,,函数在上递增,
即有,因此,则,
而,从而,故B错误;
对于C,因为,若成立,则必有,
令,,,当时,,递减,
当时,,递增,而,
,,
因此函数,的两个零点,即方程的两个根分别在区间,
内,
令,,,当时,,递减,
当时,,递增,
而,,,,
因此函数,的两个零点,即方程的两个根分别在区间,
内,
显然直线与函数和的图象的交点有4个,不符合题意,所以,即不正确,故C错误.
故选:
根据给定条件,利用函数零点的意义用x表示a,再数形结合探求出,,的关系,然后逐
项判断作答.
本题考查方程根的情况,可以通过转化,利用导数研究函数的单调性、最值等,借助数形结合思想分析问题,使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现,属难题.
12.【答案】A
【解析】解:设红木宫灯、檀木宫灯为,,楠木纱灯、花梨木纱灯为,,恭喜发财吊灯、
吉祥如意吊灯为,,
先求仅,相邻的种数,把,看成一个元素,分三种情况讨论:
,排在首尾时,不同的排法有种,
,排在五个位置中第二、第四位时,不同的排法有种,
,排在第三个位置时,不同的排法有种,
仅,相邻共有种排法,
同理得仅,相邻,仅,相邻,也都有96种排法,
有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为
故选:
设红木宫灯、檀木宫灯为,,楠木纱灯、花梨木纱灯为,,恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为,,先求仅,相邻的种数,把,看成一个元素,分三种情况讨论:,排
在首尾;,排在五个位置中第二、第四位;,排在第三个位置,同理得仅,相邻,
仅,相邻的情况,由此能求出结果.
本题考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
13.【答案】
【解析】解:随机变量X的分布列为:
X01
P
随机变量的数学期望为:

故答案为:
根据数学期望的定义,即可求解.
本题考离散型随机变量的期望的概念,属基础题.
14.【答案】2
【解析】解:如图,作出不等式组所对应的线性规划区域:
由,可得,当直线过点A时,z取得最大值,
联立,解得,即,则最大值为
故答案为:
作出不等式组所对应的线性规划区域,数形结合即可求解.
本题考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:若函数满足,
则函数的图象关于点对称,
因为函数的图象关于点对称,不妨令,
则,
由,得,
由,得,
所以,
即,
整理,得,其中为常数,有,解得,
所以
故答案为:
根据抽象函数的对称性可得,由,可得
,列出方程组,解出a、b即可求解.
本题主要考查分段函数的应用,考查运算求解能力,属于中档题.
16.【答案】
【解析】解:如图,以BC的中点O为原点,建立平面直角坐标
系,
则,,
设接球点为P,若,
得点P在以C,B为焦点的双曲线的右支上,
设,则,
因为,
所以,解得,
即,
设直线l与双曲线的右支交于,在的上方,
令,则,所以,
则接球点为P位于双曲线右支与直线l围成的区域内或边界,则,

因为直线AP的倾斜角与互补,
由图可知,
故答案为:
以BC的中点O为原点,建立平面直角坐标系,设接球点为P,根据,可得点P在以C,B为焦点的双曲线的右支上,根据,求得A点的坐标,直线l与双曲线的右
支交于,在的上方,求出,两点的坐标,再求出,的斜率,结合图象即可得解.
本题主要考查函数在实际问题中的应用,考查运算求解能力,属于中档题.
17.【答案】解:设,函数的最小正周期为T,则,则,
故,解得负值舍去,
所以,所以;
由得,
,得,
即,
所以,
又因,则,
所以,所以
【解析】设,则,再根据求得周期T,即解;
根据结合三角恒等变换化简计算即可得解.
本题主要考查三角函数的图象与性质,考查转化能力,属于基础题.
18.【答案】解:取AB的中点O,连接BD、DO,过P作DO
的平行线PG,
在菱形ABCD中,,为等边三角形,
又底面ABCD是边长为4的菱形,,且,
又平面平面ABCD,平面平面,
平面ABCD,
平面ABCD,又,平面ABCD,
又PA、平面ABCD,,,又,
建立如图空间直角坐标系,
,,
取PA的中点F,连接OF,则,
,,,,,
,设,则,
由,得,
即,,
设,则,,
,,,

设平面CDP的一个法向量为,
由,,
得,取,
又,
直线DE与平面CDP所成角的正弦值为:
【解析】根据面面垂直的性质可得平面ABCD,由线面垂直的性质可得,
,建立空间直角坐标系,利用空间共线向量的坐标表示求得,结合空间垂直向量的坐标表示计算即可求解;
利用空间向量法求出平面CDP的一个法向量,结合数量积的定义计算即可求解.
本题考查利用向量法求解两点间距离问题,向量法求解线面角问题,属中档题.
19.【答案】解:若用作回归模型,


所以相关系数,
若用作为回归模型,
相关系数,
比较与,
,,
因为,所以用作为y关于x的回归模型方程;
由,,
,,
所以,
则y关于x的回归方程为
【解析】用作回归模型求出相关系数,用作为回归模型求出相关系数,比较大小可得答案;
由已知条件求出b,a可得答案.
本题主要考查了相关系数的计算,考查了线性回归方程的求解,属于中档题.
20.
【答案】解:因为直线的斜率为,所以,
焦距,因此,
解得,,
所以椭圆C的方程是;
因为,所以直线的方程为

联立,整理得

则,故,
则,
所以,
又直线的方程为,
联立,解得,
所以,
因为,所以,
所以
【解析】列出关于a,b的方程,求解即可;
直线的方程为,与椭圆方程联立,结合韦达定理求得Q点坐标,直
线的方程与直线的方程联立解得P点坐标,由结合k的范围求
得答案.
本题主要考查了椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,属于中档题.
21.【答案】解:当,时,此时,
则,
当时,,则在单调递增;
当时,,则在单调递减;
所以的极大值为,无极小值.
证明:不妨设,因为,
则,
即,所以,
由,则,

即,
所以,
即,
设,构造函数,
则,
所以在上为增函数,
所以,
因为,
所以
【解析】,求导,利用函数的单调性及极值的定义求解;
不妨设,因为,所以,结合
,得
,设,构造函数
,结合函数的单调性,可证得结论.
本题主要考查利用导数研究函数的极值,不等式的证明,考查运算求解能力与逻辑推理能力,属于难题.
22.【答案】解:,所以点P的一个极坐标

分界线上的任意一点设为,,可得分界线
的极坐标方程,
过原点的直线l与分界线,分别交于M,N两点,
如图:设,
面积是的2倍,过P作于D,,
所以面积:


可得,当时,三角形的面积取得最大值:
【解析】利用直角坐标与极坐标的互化求点P的一个极坐标,然后求解分界线的极坐标方程;
画出图形,设出M的极坐标,求解P到OM的距离,然后求解三角形的面积,利用三角函数的最值求解即可.
本题考查简单曲线的极坐标方程的求法,三角函数的最值的求解与应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
23.【答案】解:,
其图象如下图所示:
由知函数与x轴的交点为和,结合函数和的图象可以知道,
第21页,共21页当
时,只需,则
在R 上恒成立,此时
,当
时,过点且斜率为的直线方程为,令
,则,要在R 上恒成立,则,此时
,当且仅当时等号成立,综上:
的最小值为 【解析】
去掉绝对值后,得到分段函数即可作图;由知函数与x 轴的交点为和,结合函数和的图象即可求解.
本题考查了函数的恒成立问题,属于中档题.。

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