人教版 九年级数学上册 竞赛专题：圆与圆的位置关系(含答案)

人教版 九年级数学上册 竞赛专题：
圆与圆的位置关系（含答案）
【例1】 如图，大圆⊙O 的直径a AB =cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2.
【例2】 如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ， ⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（ ） A.c a b +=2 B.c a b +=2
C.
b a
c 111+= D.b
a c 111+=
【例3】 如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证： （1）∠APD =∠BPD ；
（2）CB AC PC PB PA ∙+=
∙2.
B
【例4】 如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC .
【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1,AB =2，DC =22，点P 在边BC 上运动（与B ，C 不重合）.设PC =x ，四边形ABPD 的面积为y . （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若以D 为圆心，
2
1
为半径作⊙D ，以P 为圆心，以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值时，⊙D 与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积.
【例6】 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，求
NC
BN
的值. P
B
C
D
A
D
C
P
B
A
【能力与训练】
1.如图，⊙A ，⊙B 的圆心A ，B 在直线l 上，两圆的半径都为1cm .开始时圆心距AB ＝4cm ，现⊙A ，⊙B 同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A 运动的时间为_______秒.
2.如图，O 2是⊙O 1上任意一点，⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，E 为优弧AB 上的一点，EO 2及延长线交⊙O 2于C ，D ，交AB 于F ，且CF ＝1，EC ＝2，那么⊙O 2的半径为_______.
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
3.如图，半圆O
的直径AB ＝4,与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M .设⊙O 1
的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是_________________.（要求写出自变量x 的取值范围）
4.已知直径分别为151+和315-的两个圆，它们的圆心距为115-，这两圆的公切线的条数是__________.
5.如图，⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，且⊙O 2的圆心O 2在圆⊙O 1的圆上，P 是⊙O 2上一点.已知∠A O 1B ＝60°，那么∠APB 的度数是（ ） A.60° B.65° C.70° D.75°
6.如图，两圆相交于A 、B 两点，过点B 的直线与两圆分别交于C ，D 两点.若⊙O 1半径为5，⊙O 2的半径为2，则AC ：AD 为（ ）
A.52:3
B.3:52
C.1:52
D.2:5 （第5题图） （第6题图） （第7题图）
N P
B A C
D E
7.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点T ，它们的半径之比为3:2，AB 是它们的外公切线，A ，B 是切点，AB ＝64，那么⊙O 1和⊙O 2的圆心距是（ ）
A.65
B.10
C.610
D.13
39
20
8.已知两圆的半径分别为R 和r （r R >），圆心距为d .若关于x 的方程0)(22
2
=-+-d R rx x 有两
相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（ ）
A.外切
B.内切
C.外离
D.外切或内切
9.如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，点O 1在⊙O 2上，点C 为⊙O 1中优弧AB ⌒上任意一点，直线CB 交⊙O 2于D ，连接O 1D .
（1）证明：DO 1⊥AC ；
（2）若点C 在劣弧AB ⌒上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.
图1 图2
10.如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 过点P 且分别交⊙O 1和⊙O 2于点A ，B ，BH 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于点C ，H .
（1）求证：△BCP ∽△HAP ；
（2）若AP :PB ＝3：2，且C 为HB 的中点，求HA :BC .
11.如图，已知⊙B ，⊙C 的半径不等，且外切于点A ，不过点A 的一条公切线切⊙B 于点D ，切⊙C 于点E ，直线AF ⊥DE ，且与BC 的垂直平分线交于点F .求证：BC ＝2AF .
12.如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点.正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过△ABC 得内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上.
（1）若正方形的顶点F 也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；
（2）若正方形DEFG 的面积为100，且△ABC 的内切圆半径4 r ，求半圆的直径AB .
1.相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，这两圆的圆心距为_______.
2.如图，⊙O 过M 点，⊙M 交⊙O 于A ，延长⊙O 的直径AB 交⊙M 于C .若AB ＝8，BC ＝1，则AM ＝_______.
D A
P
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
3.已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm .
4.如图，已知PQ ＝10，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P .正方形ABCD 的顶点A ，B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q .若AB ＝n m +
，其中m ，n 为整数，则=
+n m ___________.
5.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点M ，且分正方形为4个三角形，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4，分别为△AMB ，△BMC ，△CMD ，△DMA 的内切圆.已知AB ＝1.则⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4所夹的中心（阴影）部分的面积为（ ）
A.(4)(316π--
B. (34
π-
C.
(4)(34π-- D. 416
π
-
（第5题图） （第6题图） （第7题图）
6.如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点E ，⊙O 1的弦AB 过⊙O 2的圆心O 2，交⊙O 2于点C ，D .若AC ：CD :BD ＝2:4:3，则⊙O 2与⊙O 1的半径之比为（ ）
A.2:3
B.2:5
C.1:3
D.1:4
7.如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，两圆的一条外公切线与⊙O 1相切于点B ，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O 1与⊙O 2的半径之比为（ ）
A.2:5
B.1:2
C.1:3
D.2:3
8.如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P . （1）求证：PA PE PC PD ∙=∙
（2）当AD 与⊙O 2相切且P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长.
D
A
9.如图，已知⊙O 1和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线，切点为B ，C .连接BA 并延长交⊙O 1于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E ，F . （1）求证：CD 是⊙O 1的直径；
（2）试判断线段BC ，BE ，BF 的大小关系，并证明你的结论.
10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径，大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F ，AD ，BE 相交于点G ，连接BD . （1）求BD 的长；
（2）求2ABE D ∠+∠的度数；
（3）求
BG
AG
的值.
11.如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙O 1与△BCH 的外接圆⊙O 2相交于点D ，延长AD 交CH 于点P .求证：P 为CH 的中点.
12.如图，已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ，以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M .求证：MP 分别与⊙A ，⊙B 相切.
参考答案
例1
21a 6
提示：连接1
4QP CP =
=必过点O ，则34O O ⊥AB ，设⊙3O ，⊙4O 的半径为xcm ，在Rt △31O O O 中，有2
2
2
a a a x =x 424⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得x= a 6.
例2 D 提示：连接AB ，1AA ，1BB ，作2AB ⊥1BB ，则2
22
22AB
AB BB =+，
即()()2222a b =b a AB ++-，得22211=A B 4ab AB =，同理，211A 4ac C =，2
114bc C B =，由111111=A B AC C B +
，故
.
例3 提示：⑴过P 点作两圆的公切线. ⑵即证PA PB PC PD ∙=∙. 例4 12
B O
C B A C ∠=∠，111
2
BO D BAC BO C ∠=∠=∠，则1O D 为1BO C ∠的平分线，又11O B O C =，
故1O D BC ⊥.
例5 ⑴过D 作DQ ⊥BC 于Q ，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，
CQ=
，故
B
()1
y=
13x 2=4x
2
+-⨯-（0<x<3）.
⑵分两种情况讨论：①当⊙P 与⊙D 外切时，如图1，QC=2，PC=x ，QP= 2x -，PD=x+
1
2
，DQ=2，在Rt △DQP 中，由()2
2
2
12x 2=x+2⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
得，31x=20，3149y=4=2020-.
②当⊙P 与⊙D 内切时，如图2，PC=x ，QC=2，PQ=x-2，PD=x-
1
2
，DQ=2，在Rt △DPQ 中，由()2
2
2
1x 22=x-2⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭
得，31x=12，3117y=4=1212-. 例6 就图1给出解答：连接CP 并延长交AB 于点Q ，连接BP ，得∠BPC90°，又2
2QA
QP CQ QB =∙=，
得AQ=QB=12
AB ，在Rt △CQP 中，22
1
4BQ QP CQ QP BC CP CQ CP ∙===∙.过Q 作QM ∥BC 交AN 于M ，则MQ=
12BN .由△MQP ∽△NCP ，得14MQ QP CN CP ==，故BN NC
＝21
42MQ MQ = .
A 级1．12或32 2.2 3．y ＝21
4
x -＋x (0＜x ＜4) 4. 3条 5．D 6．D 7．B 8．D 9．提示：
(1)连结AB ，A 1O ，并延长交⊙1O 于E ，连结CE ． (2)结论仍然成立． 10．(1)略 (2)提示：
设AP ＝3t ，由BC ·BH ＝BP ·BA ，BH ＝2BC ，BC t .易证
△HAP ∽△BAH ，得HA ＝t ，故
HA
BC
=11．连结BD ，CE ，作BM ⊥CE 于M ，作HN ⊥CE 于N ，
则BM ∥HN ．∵H 是BC 的中点，故N 是CM 的中点，∴CN ＝12CM ＝12（CE －EM ）＝1
2
(CE －BD )，而AH ＝BH －AB ＝
12BC －AB ＝12 (AB ＋AC ) –AB ＝1
2
(AC －AB )，因此CN ＝AH ．由CE ⊥DE ，AF ⊥DE ，得CE //AF ，故∠NCH ＝∠HAF ，又∠CNH ＝∠AHF ＝90°，得△CNH ≌△AHF ，从而BC ＝2CH ＝2AF .
12. (l :2 提示：由题意，设正方形边长为l ，则2
2
2
12R
l l ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，得R :l :2．由2ED ＝AD ×DB ，DE ＝10，得AD ×DB ＝l 00．设AC 与内切圆交点S ，CB 与内切圆交点H ，设AD ＝r ，DB ＝100
x
．AB ＝x ＋
100
x
， AS ＝AD ＝x ，BH ＝BD ＝
100
x
．又△ABC 为直角三角形。

∴222AC CB AB +=，即()
2
2
2
10010044x x x x ⎛⎫⎛⎫
+++=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（四边形OSCH 为正方形），解得x ＋100x ＝21，故AB ＝AD ＋BD ＝21．
B 级1. 2. 6 3. 49a ＋b 提示：当圆环为3个时，链长为3a ＋
2
b-a
×2＝2a ＋b (cm )；当圆环
为50个时，链长为50a ＋
2
b-a
×2＝49a ＋b ( cm )． 4. 312提示：设O 为大圆圆心，R 为AB 与PQ
的交点，AB ＝x ， OQ ＝x －10，AR ＝2x ，()2
2210202x x ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
解得x ＝ x >0，则x ＝8
＋ 5. C 提示：1234
O O O O S =S 影正方形 －一个内切圆的面积．
6．C 7．C 提示：设另一条公切线与⊙1O 切于点C ，与⊙2O 切于点D ，过1O 作12O E O D ⊥，则
由对称性可得∠C 1O B ＝∠C 2O A ＝∠A 1O B ＝120°． 8．(1)略 (2)AD ＝12. 9．提示：(1)过A 点作两圆的内公切线，连结AC ． (2)BE ＝BF ＝BC ，2BC BA BD =，由△ABE ∽△EBD 得2BE ＝BA ·BD ，∠CBE ＝∠BEF ＝∠FBE ． 10．(1)BD ＝l 0 (2)连结OB ． C ，F 分别为AB ，BE 中点，BC ＝BF ，
AB ＝BE ， ∠OBD ＝∠D ，
1
2
∠ABE ＋∠D ＝ 90°，故∠ABE ＋2∠D ＝180°. (3)连结BO 并延长交AE 于H ，连结OC ，H 为AE 中点．BH ⊥AE ，AB ＝24，由△BOC ∽△BAH ，得O B O C A B A H =∴AH ＝120
13
，AE ＝24013
，又△BGD ∽△AGE ，则13
24BG BD AG AE ==． 11．如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连结AH ，BD ，QB ，QC ， QH ，∵AB 为⊙1O 的直径，∴∠BDA ＝∠BDQ ＝90°，故BQ 为⊙2O 的直径，于是CQ ⊥BC ，BH ⊥HQ .又∵点H 为△ABC 的垂心，∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，所以AH //CQ ，AC //HQ ，
即四边形ACQH 为平行四边形，∴P 为CH 的中点． 12．连结AC ，AD ，BC ，BD ，并且过C ，D 两点分别作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，则CE ∥DF ．∵∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴22PA BD BF AB ==，
两式相减得(P A ＋ PB ) (P A －PB ) ＝AB (AE －BF ) ＝AB (P A －PB ).于是AE －BF ＝P A －PB ，即P A －AE ＝PB － BF ，∴PE ＝PF ，也就是说点P 是线段EF 的中点，因此MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP ⊥AB ，从而可得MP 分别与⊙A 与⊙B 相切．
人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD
⌒上任意一点.求【例1】 如图，已知P 证：PA PC
PB
+为定值.
【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变
C.等分DB
⌒ D.随C 点的移动而移动
【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线
的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.
P A
B C
D
A
P
【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB ⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .
（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；
（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.
【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；
（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；
（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PF
OF
的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.
（图1） （图2）
【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.
B
B
O
A
C
E H
G D
【能力训练】
1.如图，点A ，B 是双曲线x
y 3
=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则=+21S S _______.
（第1题图） （第3题图） （第4题图）
2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.
3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.
4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60°
5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）
A ．在平分A
B 的某直线上移动 B.在垂直AB 的某直线上移动 C.在弧AMB 上移动 D.保持固定不移动
（第5题图） （第6题图）
A
A A
B
C
D
E
F
A
B'
6.如图，A ，B 是函数x
k
y =
图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A.3 B.6 C.9 D.12
7.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.
（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.
8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .
（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；
（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.
⑥
⑤
④
③
②
①
P (B )
P
B
9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F . （1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.
（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.
（第9题图） （第10题图）
（第11题图）
10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证： （1）2222DK CK BK AK +++是定值； （2）2222DA CD BC AB +++是定值.
11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：
DP
CP BP
AP ++的值为定值.
P D C
B A A
1.等腰△ABC的底边BC为定长2，H为△ABC的垂心.当顶点A在保持△ABC为等腰三角形的情况下
改变位置时，面积S△ABC·S△HBC的值保持不变，则S△ABC·S△HBC=________.
2.已知A，B，C，D，E是反比例函数
x
y
16
（x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.
折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记∠C＋∠D＋
）
A. ∠1＋∠2＝900°－2α
B. ∠1＋∠2＝1080°－2α
C. ∠1＋∠2＝720°－α
D. ∠1＋∠2＝360°－
2
1
α
（第3题图）（第4题图）
4.如图，正△ABO的高等于⊙O的半径，⊙O在AB上滚动，切点为T，⊙O交AO，BO于M，N，则弧MTN（）
A.在0°到30°变化
B.在30°到60°变化
C.保持30°不变
D.保持60°不变
5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）
A.5
B.6
C.7
D.8
1
2
G
F
E
D
C
H
B
A
B
（第5题图） （第6题图） 6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC （AC +EC ）为定值.
7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.
（第7题图） （第8题图）
8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.
9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线109
4
1812--=
x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出
发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当2
9
0<
<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程. N K M
B A
C H C
B A
（第9题图） （第10题图） 10.已知抛物线C 1：12
12
1+-=
x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；
（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：
211=+BF
AF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断
21
1=+QF
PF 是否成立？请说明理由.
11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变. 参考答案
例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故
PA PC CE PC PE
PB PB PB
++=== 例2 B 提示：
连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝
1
2
∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四
边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝13DE ＝1
3×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，
则CN ＝DN ＝
12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = .∴22394ON x =-，而ON ＝3
2
CH ，∴
22143CH x =-
．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－1
3
x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得O G A O M N A N =，O G ＝32，3
8
OG OM OC OB ==，
又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OF
PF
的值．当F 与点A 重合时，
2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，83
165
83
OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MP
OM FM
=
，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故
OF PF 的比值不变，比值为3
5
． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •P A ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴P A ＝PB ＋PC ，从而P A 2＋ PB 2＋ PC 2＝ (PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝
2BC 2＝
2×
2
＝6．故P A 2＋PB 2＋PC 2
1．4
提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S
阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2
＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．
2． 提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2
提示：先
考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角
形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B k =＝6． 7．⑴略
⑵当点P
在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴
2
π
⑵22.5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2
＝()()2
2
1122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤
-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，又AK •CK ＝
BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，
AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定
理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP DP •a ＝BP •a ＋AP ，两式相加
并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a ，从而
1AP BP
CP DP
++为定值．
1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H
为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故
R t △CHD ∽R t △ACD ．∴
AD DC DC HD =
，即AD •HD ＝DC 2＝1
4
BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111
224
BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，
结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝
16
x
(x ＞0)图象上五
个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2
221111112211122222444
4
24242
πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪
⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设F A 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交
于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠
APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于
G ．由垂径定理，得OD 3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即
h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴1
2
OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD ＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q
作QN ⊥
BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2
－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN
＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴
QM PM
EC PC
=
，即()
2
11
2
x x EC
--=
，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =
，即()2
4134x x FC ---=，得FC ＝4
1x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋
EC )＝
()4
4211
x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝
1
16
BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，
－989) ⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥P A ，故只要
QC ＝P A 即可，而P A ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，
得t ＝185． ⑶设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜ 4.5．说明P
在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知
△QDC ∽△PDO ，故144
QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14
t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝P A ＋AF ＝P A ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12
×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝
24425
．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋25=．∴t ＝ 5－2． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴
(5t －8)2＝224，又0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝2
2984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有
t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，当t ＝ 2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12
). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF
+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为12
AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝
12(EM ＋G N )＝ 12(AH ＋BH )＝12
AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．。