高中数学三角函数专项(含答案)

高中数学三角函数专项(含答案)
一、填空题
1．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512
BAC π∠=
，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的
观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，
的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛
⎫
∠=<<
⎪⎝⎭
，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．
2．设1F ,2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y
E a b a b
+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于
,A B 两点，11||3||AF BF =，若23
cos 5
AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.
3．方程
1
2sin 01x x
π-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________
4．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43的体积为___________.
5．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64
ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.
6．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O 3ABC 的周长最小值为___________
7．在ABC 中，7AB =3BC =1
cos 7
BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π
3
BDC ∠=
．给出下列三个结论：①BCD △3②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为
8π
3
．其中正确结论的序号为______．
8．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别
是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若
3FD =，则DE =___________. 9．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.
10．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.
二、单选题
11．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
12．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）
①1ω=时，函数()f x 图象关于π
4
x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
13．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02
π
θ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．,0
C ．1
,
D ．(),1-∞
14．已知双曲线2
2
413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足
120MF MF →
→
⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→
→
=.现将12MF F △沿MN 折成直二面
角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
15．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设
函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0
B ．4
C ．12
D ．16
16．已知函数()*
()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝
⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至
少为
4π
，且在区间3(,)2
ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
17．在三棱锥A BCD -
中，2,AC AD AB CD BC BD ======接球的半径为（ ） A
B
C
D
．18．已知函数()2sin 1,02
2sin 1,0
2x x f x x x ππ⎧
-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
，()11x g x x -=+，则关于x 的方程()()f x g x =在区
间[]8,6-上的所有实根之和为（ ） A ．10-
B ．8-
C ．6-
D ．4-
19．设点()11,P x y 在椭圆22
182
x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则
2121x x y y -+-的最小值是（ ）
A ．212
+
B ．3
C ．312
+
D ．2
20．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6
B ．62
C ．12
D ．122
三、解答题
21．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A 为31-海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.
（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.
22．如图，四边形ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE ），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路,AE ,BF ,CG DH . 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a 元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a 元，修路每1百米的费用为a 元，其中a 为正常数．设FAB θ∠=，0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
（1）用θ表示该工程的总造价S ；
（2）当cos θ为何值时，该工程的总造价最低？
23．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；
（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N*）上恰有2015个零点，求k 的值．
24．已知(
)
3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛
⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，其中0>ω，()f x a b =⋅，且函数()
f x 在12
x π=
处取得最大值.
（1）求ω的最小值，并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将()y f x =的图像上的所有点向右平移
4
π
个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移3
2
个单位，得到函数y g x 的图像.若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()210g x a +-=有两个
不相等的实数根，求实数a 的取值范围；
（3）在(1)的条件下，已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点，点Q 为函数()y f x =图像上的一点，点3,6
4A π⎛⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
，且满足12OP OQ OA =+，求()1
04
h x +≥的解集. 25．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.
（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.
26．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于
2
π
，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值是1
2，求()f x 的解析
式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象. 27．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2
x π
∈
()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值； ()2当2m =时，若对任意 12,[0,
]2
x x π
∈ 都有()()121
24
f x f x a -≤-
恒成立，求实数a 的取值范围.
28．如图，半圆的直径2AB =，O 为圆心，C ，D 为半圆上的点.
（Ⅰ）请你为C 点确定位置,使ABC ∆的周长最大，并说明理由； （Ⅱ）已知AD DC =，设ABD θ∠=，当θ为何值时， （ⅰ）四边形ABCD 的周长最大，最大值是多少? （ⅱ）四边形ABCD 的面积最大，最大值是多少
29．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛
⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，最小值为
()g t .
（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）求()g t 的表达式； （3）当1
12
t -
≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 30．已知函数2()2cos 23cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.
【参考答案】
一、填空题
1．6π
22 3．1008或1009
41282π
53(21)
+ 6．6 7．①③
87
9．56
10．⎫
⎪⎪⎣⎭
二、单选题 11．A 12．B 13．D 14．C 15．C 16．C 17．A 18．B 19．D 20．C 三、解答题
21．（1）=BC C 船在B 船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北30才能最快追上走私船． 【解析】
（1）在ABC 中根据余弦定理计算BC ，再利用正弦定理计算ABC ∠即可得出方位； （2）在BCD △中，利用正弦定理计算BCD ∠，再计算BD 得出追击时间． 【详解】
解：（1）由题意可知1=AB ，2AC =，120BAC ∠=︒， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos1206BC AB AC AB AC =+-︒=，
BC ∴，
由正弦定理得：
sin sin AC BC
ABC BAC
=∠∠，
即2
sin ABC
∠
解得：sin 2
ABC ∠=
， 45ABC ∴∠=︒，
C ∴船在B 船的正西方向．
（2）由（1）知=BC 120DBC ∠=︒，
设t 小时后缉私艇在D 处追上走私船，
则10BD t =，CD =，
在BCD △10sin t
BCD
∠， 解得：1sin 2
BCD ∠=， 30BCD ∴∠=︒，
BCD ∴△是等腰三角形，
10t ∴=，即t =
∴缉私艇沿东偏北30
【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．
22．（1）()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-，0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；（2）当3cos 4θ=时，()16()
S af θθ=取得最小值 【解析】
(1)根据题意可知4sin BF θ=,4cos AF θ=,进而求得Rt ABF
S 与EFGH S 正方形再求得总造价S 即可.
(2)由(1)有()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-,再求导分析函数的单调性与最值即可.
【详解】
（1）在Rt ABF 中,FAB θ∠=,4AB =,所以4sin BF θ=,4cos AF θ=. 由于Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE 是四个完全相同的直角三角形,所以
4sin AE BF CG DH θ====,4(cos sin )EF FG GH HE θθ====-,
所以Rt
11
4cos 4sin 8sin cos 22
ABF
S AF BF θθθθ=⋅⋅=⨯⨯=, 2224(cos sin )16(12sin cos )EFGH S EF θθθθ==-=-正方形.
所以()48sin cos 1016(12sin cos )1344sin S a a a θθθθθθ=⨯⨯+-⨯+⨯⨯
16[20sin cos (12sin cos )13sin ]a θθθθθ=+-⨯+ 16(13sin 6sin cos )a θθθ=+-,0,
4πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
. （2）由（1）记()13sin 6sin cos f θθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
则2223
2()cos 6(cos sin )12cos cos 612(cos )(cos )43
f θθθθθθθθ'=--=-++=--+. 令()0f θ'=,因为0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以3cos 4θ=或2cos 3θ=-(舍).
记03cos 4
θ=,所以当0(0,)θθ∈时,()0f θ'<,()f θ单调递减；
当0(,)4
π
θθ∈时,()0f θ'>,()f θ单调递增. 所以当3
cos 4
θ=
时,()f θ取得极小值,也是最小值, 又0a >,所以当3
cos 4
θ=时,()16()S af θθ=取得最小值. 【点睛】
本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题. 23．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】
（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；
（2）令t ，t ∈[1，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2
f x t at t μ==-，
当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦
时，()()2
2f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v 、v
的大小
即可得解；
（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】
（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1
＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），
令t =t ∈[1]，
当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()()(2
1f x t at t t μ==-≤≤，
当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦
时，()()(2
21f x v t t at t ==+-≤≤，
∵()()()222
2220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.
∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，
∵()11v a =-，v
，
∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x .
（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x -，
若f （x ）＝0sin 21x =+即2
2sin 22sin 2sin x x x =+，
∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，
∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2
π
，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008． 【点睛】
本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.
24．（1）ω的最小值为1，()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，T π=，（2）104a <≤（3）原不等
式的解集为3,22428k k x
x k Z ππππ⎧⎫
+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
【解析】 【分析】
（1）先将()f x 化成正弦型，然后利用()f x 在12
x π=
处取得最大值求出ω，然后即可得到
()f x 的解析式和周期
（2）先根据图象的变换得到()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭，然后画出()g x 在区间5,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的图
象，条件转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点即可
（3）利用坐标的对应关系式，求出()h x 的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果． 【详解】 （1）因为(
)
3,sin a x ω=
，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛
⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以()32sin cos 3f x a b x x πωω⎛
⎫=⋅=++ ⎪⎝
⎭
2
12sin cos sin cos 2x x x x x x ωωωωωω⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
11cos 21
sin 2sin 22222x x x x ωωωω-=+=+
sin 23x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
因为()f x 在12
x π=处取得最大值.
所以22,1232
k k Z π
π
π
ωπ⨯
+
=+
∈，即121,k k Z ω=+∈
当0k =时ω的最小值为1
此时()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，T π=
（2）将()y f x =的图像上的所有的点向右平移
4
π
个单位得到的函数为
sin 2sin 2436y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为
原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为sin 6y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，然后将所得图像上所有的点向
下平移
3
2
个单位，得到函数()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭
()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间5,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的图象为：
方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根等价于()g x 的图象 与直线12y a =-有两个交点 所以11212a ≤-<，解得1
04
a <≤
（3）设(),P x y ，()00,Q x y
因为点3,6A π⎛ ⎝⎭
，且满足12OP OQ OA =+ 所以00126132x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00
2332x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点 所以33
2sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即1()sin 423y h x x π⎛
⎫==- ⎪⎝⎭
因为()104h x +≥，所以1sin 432x π⎛
⎫-≥- ⎪⎝
⎭
所以7242,63
6
k x k k Z ππ
π
ππ-≤-
≤+
∈ 所以
3,22428
k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k x
x k Z ππππ⎧⎫
+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档
题．
25．（1）()sin 46
2f t t π
π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4
【解析】 【分析】 （1）由212T π
ω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩
，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本
题答案；
（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫
++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
恒成立，等价于
cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫
++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】
（1）解：由图知212T π
ω
==
，6
π
ω∴=
又5
3A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩
()sin 46f t t πϕ⎛⎫
∴=++ ⎪⎝⎭
，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，
又0ϕπ<<，2
π
ϕ∴=
所求为()sin 46
2f t t π
π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：
()sin 4cos 46
26f t t t π
ππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：
()cos ()46f t m t m π⎡⎤
+=++⎢⎥⎣⎦
两企业用电负荷量之和
()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫
++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，0t ≥
依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫
++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
恒成立
即cos ()cos 16
6t m t π
π⎡⎤⎛⎫
++≤
⎪⎢⎥⎣⎦
⎝⎭
恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
恒成立
cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
其中，A =cos 16cos m A
πϕ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=
1A ∴=≤
整理得：1cos 62m π⎛⎫
≤- ⎪⎝⎭
解得24
22363
k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭
即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4.
【点睛】
本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.
26．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭;平移变换过程见解析.
【解析】 【分析】
（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于
2
π
及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值
是1
2,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.
【详解】
∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b x
x x ωωω+=
+
∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++ 1cos21122cos2222
x x k x x k ωωωω-=
++=-++ 1sin 262x k πω⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
（1）由题意可知222
T ππ
ω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤
（2）∵T πω
=, ∴1ω=
∴1()sin 262f x x k π⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
∵,66x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
,
∴2,626x π
ππ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦
∴当26
6
x π
π
-
=
即6
x π
=
时
max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫
==++=+= ⎪⎝⎭
∴1
2
k =-
∴()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
将sin y x =图象上所有点向右平移6π
个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上
所有点的横坐标变为原来的1
2倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象（或将sin y x =图
象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π
个单位,得到sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象） 【点睛】
本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.
27．（1）1m =；（2）13
[,)8
a ∈+∞
【解析】 【分析】
(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.
(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()121
24
f x f x a -≤-恒成立, 等价于
12max
1
()()
24
f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决.
【详解】
（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2
x π
∈
令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---，
①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，
②01m ≤≤，则2
min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =
③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍） 综上所述：1m =.
（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()121
24
f x f x a -≤-恒成立，
等价于12max
1()()
24
f x f x a -≤-，
2m =，∴2g()(2)6t t =--，[0,1]t ∈
max ()g(0)2f x ==-，min ()g(1)5f x ==-
12max ()(25)()3f x f x =---=- ∴ 1234a -
≥，∴ 138
a ≥， 综上所述：13
[,)8
a ∈+∞.
【点睛】
本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题. 28．（Ⅰ）点C 是半圆的中点，理由见解析； （Ⅱ）（ⅰ）6
π
θ=
时，最大值5（ⅱ）
6
π
θ=
时，最大面积是
33
4
【解析】
(Ⅰ)设BC a =,AC b =,AB c =,法一:依题意有222+=a b c ,再利用基本不等式求得2a b c +,
从而得出结论;法二:由点C 在半圆上,AB 是直径,利用三角函数求出cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,
再利用三角函数的性质求出结论;
(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形ABCD 的周长p ,再求p 的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形ABCD 的面积s ,再结合基本不等式求s 的最大值. 【详解】
(Ⅰ)点C 在半圆中点位置时,ABC ∆周长最大.理由如下: 法一:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2
ACB π
∠=
,即ABC ∆是直角三角形,
设BC a =,AC b =,AB c =,显然a ,b ,c 均为正数,则222+=a b c , 因为222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立,
所以()()2
2222
22a b a b ab a b +≥++=+,
所以()2222a b a b c +≤+=, 所以ABC ∆的周长为(
)
21222a b c c ++≤
+=+,当且仅当a b =时等号成立,
即ABC ∆为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点C 是半圆的中点. 法二:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2
ACB π
∠=
,即ABC ∆是直角三角形,
设BC a =,AC b =,AB c =,02ABC παα⎛
⎫∠=<< ⎪⎝
⎭,
则cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,
a b c ++cos sin c c c αα=⋅+⋅+()2cos sin 2αα=++22sin 24πα⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,
因为02
π
α<<,所以
34
4
4
π
π
π
α<+
<
, 所以当4
2
π
π
α+
=
,即4
πα=
时, ABC ∆周长取得最大值222+,此时点C 是半圆的中点.
(Ⅱ)(ⅰ)因为AD DC =,所以ABD DBC θ∠=∠=, 所以sin AD DC AB θ==⋅,cos2CB AB θ=⋅, 设四边形ABCD 的周长为p , 则p AD DC CB AB =+++
2sin cos22AB AB θθ=++()2
2
14sin 212sin 254sin 2θθθ⎛
⎫=+-+=-- ⎪⎝
⎭,
显然0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以当6πθ=时,p 取得最大值5;
(ⅱ)过O 作OE BC ⊥于E ,
设四边形ABCD 的面积为s ,四边形AOCD 的面积为1s ,BOC ∆的面积为2s ,则 1211
22
s s s AC OD BC OE =+=
⋅+⋅
11
sin 21cos 2sin 222
AB AB θθθ=
⋅+⋅ sin 2cos2sin 2θθθ=+⋅
()sin 21cos2θθ=+, 所以()2
22sin 21cos2s θθ=+
()()2
21cos 21cos 2θθ=-+
()()3
1cos21cos2θθ=-+
()()331cos 21cos 23θθ=-+()()()2
231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦
()()()231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()()()22
31cos 21cos 21cos 21232θθθ⨯-++⎡⎤++⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
()()()4
31cos 21cos 221cos 2134θθθ-++++⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
4
1327
3216
⎛⎫==
⎪⎝⎭; 当且仅当()31cos21cos2θθ-=+,即1
cos 22
θ=
时,等号成立, 显然04πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以202πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，,所以此时6πθ=,
所以当6
π
θ=时
,s =
,即四边形ABCD
【点睛】
本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.
29．（1）4-（2）225
15421()61
1282(1)
t t t g t t t t t t ⎧⎛
⎫-+<- ⎪
⎪⎝⎭⎪⎪
⎛⎫
=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪-+>⎪⎩（3）
--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】 【分析】
（1）直接代入计算得解；（2）先求出1
sin(2)[,1]42
x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合
二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】
（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛
⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以
48f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. （2）因为[
,]242x ∈ππ
，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1
sin(2)[,1]42
x π-∈- 2()[sin(2)]614
f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ
）
当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2
min 5[()]54
f x t t =-+
当112t -
≤≤时，则当sin(2)4
x t π
-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14
x π-=时，2
min [()]82f x t t =-+
故22515421()61
1282(1)
t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪
⎪⎝⎭⎪⎪
⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪-+>⎪⎩ （3）当1
12
t -
≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2
()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨
⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.
所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】
本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
30．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m
【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间;
(Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
，可得7 2266
m πππ
≤+≤，从而可得结果.
【详解】
（Ⅰ）(
)2
2f x cos x =+
π
cos212sin 216x x x ⎛
⎫=+=++ ⎪⎝
⎭，
由()222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得(),3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭.
因为π,6x m ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.
要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
. 所以
722
6
6m π
π
π≤+
≤
，即62
m ππ
≤≤. 【点睛】
本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22
k x π
πωϕ+≤+≤
()322
k k Z π
π+∈求得函数的减区间，222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间.。