初中数学方程与不等式的应用题(含答案)

初中数学方程与不等式的应用题（含答案）
知识点睛
1．理解题意：分层次，找结构
借助表格等梳理信息
2．建立数学模型：方程模型、不等式(组)模型、函数模型等
①共需、同时、刚好、恰好、相同等，考虑方程；
②显性、隐性不等关系等，考虑不等式(组) ；
③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑函数
3．求解验证，回归实际
①数据是否异常；
②结果是否符合题目要求及取值范围；
③结果是否符合实际意义
例题精选
应用题
1．某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0≤x＜10）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？
2．为了疫情防控的需要，丽丽家要购买A、B两种品牌口罩，B品牌口罩每个售价要比A 品牌口罩每个售价多0.3元，若用54元购进A种品牌口罩数量是用36元购进B种品牌口罩数量的2倍．求A、B两种品牌口罩每个售价分别为多少元？
3．2021年是中欧班列开通十周年．某地自开通中欧班列以来，逐渐成为我国主要的集贸区域之一．2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列．求该地这两年
中欧班列开行量的年平均增长率．
4．某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的八折出售将赚70元，问：每件服装的标价和成本分别是多少元？
5．甲、乙两人从相距36km的两地相向而行．如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发
2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇．甲、乙两人的速度各是多少？
设甲、乙两人的速度分别是xkm/h，ykm/h填写下表并求x，y的值．
甲行走的路程乙行走的路程甲、乙两人行走的路程之和
第一种情况
（甲先走2h）
第二种情况
（乙先走2h）
6．自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．
7．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么x满足怎样的分式方程？
”其中蛋白质的含量为多少克？8．一罐饮料净重约300g，罐上注有“蛋白质含量0.6%
9．七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元，七年级2班每个学生捐款10元，七年级1班所捐款数比七年级2班少22元，两班学生人数相同，每班有多少学生？
10．某商场计划购进A，B两种商品共80件，A商品每件的进价比B商品少40元，用1600元购进A商品和用2400元购进B商品的数量相同．
(1)求A，B两种商品的进价分别是多少元？
(2)已知A商品的销售单价m（元/件）与A商品的进货量n（件)之间的函数关系如图所示．
①求m关于n的函数关系式．
②因原材料价格上涨，A，B两种商品的进价均提高了10%，为保证总利润不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高a元，且a不超过A商品原销售单价的9%，求a的最大值．
11．现有面值为5元和2元的人民币共32张，币值共计100元，问：这两种人民币各有
多少张？
12．甲和乙在长400米的环形跑道上散步，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒．
(1)两人同时同地同向走，几秒钟第一次相遇？
(2)两人同时同地反向走，几秒后两人第二次相距10米？
13．甲､乙两人分别从A ､B 两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶．出发后经3h 两人相遇．已知在相遇时乙比甲多行了90km ，相遇后经1h 乙到达A 地．问甲､乙行驶的速度分别是多少?
14．在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A 同学答对14道题，得分为58分；B 同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分．
15．列方程解应用题：2021年3月28日10时，随着洛阳地铁1号线首发列车缓缓始离牡丹广场站，标志着洛阳地铁1号线正式开通运营，古都洛阳正式迈入“地铁时代”，成为中西部地区首个开通地铁的非省会城市．已知1号线采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为5元，学生可享受半价．周日，七年级某班师生共36人从始发站“红山”乘地铁至终点站“杨湾”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用105元．求他们购买全价票与半价票各多少张？
【参考答案】
应用题
1．(1)1050(010)y x x =+≤<
(2)6元，110千克
【解析】
【分析】
（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）每日利润＝每千克销售利润×日销售量，由此可得关于x 的一元二次方程，求出x 的值，代入y 与x 之间的关系式即可求出相应的日销售量．
(1)
解：设y 与x 之间的关系式为(010)y kx b x =+≤<，
观察图象，将(1)60，
，(490)，代入y kx b =+得， 60904k b k b
=+⎧⎨=+⎩ 解得1050k b =⎧⎨=⎩
， 故y 与x 之间的关系式为1050(010)y x x =+≤<；
(2)
解：依题意，降价x 元后，每千克销售利润为(2010)x --元，日销量为(1050)x +千克，
则(2010)x --(1050)440x +=，
整理得2560x x --=，
解得16x =或21x =-（不合题意，舍去）
当6x =时，10650110y =⨯+=，
故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克．
【点睛】
本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正确求解．
2．A 、B 两种品牌口罩每个售价分别为0.9元和1.2元．
【解析】
【分析】
设A 种售价x 元，则B 种售价（x +0.3）元，根据54元购进A 种品牌口罩数量是用36元购进B 种品牌口罩数量的2倍，列方程解答．
【详解】
解：设A 种品牌口罩每个售价x 元，则B 种品牌口罩每个售价（x ＋0.3）元； 根据题意得：543620.3
x x =⨯+， 解得x =0.9，
经检验知x =0.9是方程的解，
所以x ＋0.3=1.2，
答：A 、B 两种品牌口罩每个售价分别为0.9元和1.2元．
【点睛】
本题考查了分式方程组的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解决问题的关键． 3．该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．
【解析】
【分析】
根据题意，2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列，设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x ，列出一元二次方程求解即可得．
【详解】
解：设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x ，根据题意可得：
()2
50011280x +=， 解得：0.6x =或 2.6x =-（舍去），
∴该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．
【点睛】
题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
4．每件服装的标价标价400元，成本价250元
【解析】
【分析】
设每件标价为x 元，根据销售问题的数量关系就可以表示出进价，根据进价相等建立方程求出其值就可以得出结论．
【详解】
解：设每件标价为x 元．由题意，得：
0.6x +10=0.8x -70，
解得：x =400，
则成本为：0.6x +10=0.6×400+10=250．
答：每件服装的标价标价400元，成本价250元．
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，进而设出未知数，列出方程．
5．()2 2.5x +，2.5y ，()2 2.5 2.5x y ++；3x ，()23y +，()323x y ++；x =6，y =3.6．
【解析】
【分析】
根据题意可知第一种情况乙走了2.5h ，甲比乙先走 2h ，相遇时甲共走了2 + 2.5 = 4.5h ；第二种情况甲走了3h ，乙比甲先走2h ，相遇时乙共走了 3+2=5h ，然后根据路程等于速度乘以时间，求出甲和乙所走的路程，填表即可．
【详解】
解：设甲、乙两人的速度分别是xkm/h ，ykm/h ，则由题意得：
4.5 2.5363536
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：63.6x y =⎧⎨=⎩
所以甲、乙两人的速度分别为：6km/h 、3.6km/h
【点睛】
本题考查的是二元一次方程的应用题中的行程问题，关键在于根据题意列出正确的表达式，最终列出方程组求解．
6．这个增长率为10%
【解析】
【分析】
设这几周工作时间的增长率为x ，根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：设这几周工作时间的增长率为x ，
由题意可得：240(1)48.4x +=
解得10.1x =，2 2.1x =-（舍去）
答：这个增长率为10%
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系，列出方程． 7．12000140001500
x x =+． 【解析】
【分析】
关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．
【详解】
解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，则第一块试验田的面积为：
12000x ，第二块试验田的面积为：
140001500x +． 由题意得：
12000140001500
x x =+． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
8．蛋白质的含量大于等于1.8g ．
【解析】
【分析】
设蛋白质的含量为x g ，根据题意列出关于x 的不等式，解出不等式即可．
【详解】
设蛋白质的含量为x g ，
根据题意可列不等式：3000.6%≥⨯x ，
解得 1.8≥x ．
故其中蛋白质的含量大于等于1.8g ．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用．根据题意找出数量关系列出不等式是解答本题的关键． 9．每班有45名学生．
【解析】
【分析】
设每班有x 名学生，则七年级2班共捐款10x 元，七年级1班共捐款10x −22元，根据七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元列出方程解决问题．
【详解】
解：设每班有x 名学生，由题意得
1042822x -=，
解得：x ＝45，
答：每班有45名学生．
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 10．(1)A 种商品的进价是80元/件、B 种商品的进价为120元/件
(2)①0.5130m n =-+；②9
【解析】
【分析】
（1）设A 种商品的进价是x 元/件、则B 种商品的进价为(40)x +元/件，根据1600元购进A 商品和用2400元购进B 商品的数量相同，即可列出相应的分式方程，求解即可，注意求出结果后要检验；
（2）①根据函数图象中的数据，利用待定系数法求m 关于n 的函数关系式；②根据题意可以得到n 与a 的关系，然后根据a 不超过A 商品原销售单价的9%，即可求得a 的最大值．
(1)
解：设A 种商品的进价是x 元/件、则B 种商品的进价为(40)x +元/件， 由题意可得，1600240040
x x =+， 解得80x =，
经检验：80x =是原分式方程的解，
40120x ∴+=，
答：A 种商品的进价是80元/件、B 种商品的进价为120元/件；
(2)
（2）①设m 与n 的函数关系式为m kn b =+，
401108090k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得0.5130
k b =-⎧⎨=⎩， 即m 与n 的函数关系式为0.5130m n =-+；
②设B 种商品的销售单价为t 元，
则A 种商品的进价为80(110%)88⨯+=（元/件），B 种商品的进价为：120(110%)132⨯+=（元/件），
根据提价前后总利润不变得，
(0.513080)(120)(80)(0.513088)(132)(80)n n t n n a n t a n -+-+--=-++-++--，
化简，得：20240n a =-+，
又a 不超过A 商品原销售单价的9%，
9%9%(0.5130)a m n ∴=-+，
9%[0.5(20240)130]a a ∴--++，
a ∴的最大值是9．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等，解题关键是明确题意，找出等量关系，列出相应方程或写出相应的函数关系式、不等式．
11．面值为5元得人民币由12张，面值为2元得人民币由20张．
【解析】
【分析】
设面值为5元得人民币由x 张，面值为2元得人民币由(32)x -张，然后由面值共100元，列出方程，解方程即可．
【详解】
解答:解：设面值为5元得人民币由x 张，面值为2元得人民币由(32)x -张，
根据题意得：()5232100x x +-=，
解得：12x =（张)，
3220x ∴-=（张)．
答：面值为5元得人民币由12张，面值为2元得人民币由20张．
【点睛】
此题属于一元一次方程的应用题，关键是由题意列出方程．
12．(1)200
(2)39
【解析】
【分析】
（1）设两人同时同地同向走，x 秒钟第一次相遇，根据题意列出方程求解即可；
（2）设两人同时同地反向走，y 秒钟后两人第二次相距10米，根据题意列出方程求解即可．
(1)
解：（1）设两人同时同地同向走，x 秒钟第一次相遇，根据题意列方程得，
（6-4）x =400，
解得，x =200；
答：两人同时同地同向走，200秒钟第一次相遇；
(2)
解：设两人同时同地反向走，y 秒钟后两人第二次相距10米，根据题意列方程得，（6+4）y =400-10，
解得，y =39；
答：两人同时同地反向走，39秒钟后两人第二次相距10米．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是熟练把握题目中的数量关系，找出等量关系列方程．
13．甲行驶速度为15km/h ，乙行驶的速度为45km/h
【分析】
设甲的速度为km/h x ，可求得乙的速度为(30)km /h x +，根据题意得到乙的速度为甲的3倍，列方程求解即可．
【详解】
解：设甲的速度为km/h x ，则乙每小时比甲多行90330(km)÷=，即乙的速度为(30)km /h x +，
由相遇后经1小时乙到达A 地，可知乙的速度为甲的3倍，
则有330x x =+，解得15x =，3045x +=．
答：甲行驶速度为15km/h ，乙行驶的速度为45km/h ．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到题中的等量关系列出方程是解题的关键． 14．答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．
【解析】
【分析】
设答对一道题得x 分，答错或不答一道题扣y 分．根据A 同学答对14道题，得分为58分；B 同学答对11道题，得分为37分．列出方程组即可求解．
【详解】
解：设答对一道题得x 分，答错或不答一道题扣y 分．
据题意得：
14(2014)=5811(2011)37
x y x y --⎧⎨--=⎩ 解这个方程组得52x y =⎧⎨=⎩
答：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是准确把握题目中的等量关系，列出二元一次方程组．
15．购买全价票6张，半价票30张．
【解析】
【分析】
可设购买全价票x 张，半价票y 张，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】
解：购买全价票x 张，半价票y 张，根据题意得：
36551052x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
解得：630
x y =⎧⎨=⎩
答：购买全价票6张，半价票30张．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，设出变量，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．。