【2020高考数学】复数的三角表示专题复习

5
i
cos 5
)
.
2
运用三 辅角主值
【例
3】复数 1
cos
2 5
i sin
2 5
的辐角主值是多少.
【举一反三】
1、已知复数
z
满足(z＋1)(
z
＋1)=|z|2，且
z z
1 1
是纯虚数.
(1)求 z；(2)求 z 的辐角主值.
2、满足 z
5
3
是实数,且 z+3 的辐角主值是 的虚数 z 是否存在?若存在,求出虚数 z;若不存在,说明理由.
43
z =－1－ 3 i,求复数 z 的代数式和它的辐角主值.
2
1
专题 7.3 复数的三角表示
7
运用一 代数式转为三角形式
【例 1】把复数 z =i,z =-1+ 3i 表示成三角形式
1
2
【解析】z 02 12
1
z （-1）2 （ 2
1,arg z 1
3）2 2,
arg i
tan
2
【解析】
（1） 2(cos
5
i
sin
5)
＝
2[cos(
5
)
i
sin(
5
)];
（2）
2(
cos
5
i
sin
5
)
＝
2(cos
4 5
i
sin
4 5
).
（3）
2(cos
5
i
sin
5
)
＝ 2(cos
6 5
i
sin
6 5
)；
（4）
2(sin
5
i
cos
5
)
＝
2(cos
3 10
i
sin
3 10
).
运用三 辅角主值
5 a bi
a
5a a2 b2
b
5b a2 b2
i
∵z
5 R,
∴b
5a
0
z
a2 b2
∵b≠0, ∴a2+b2=5
又 z 3 a 3 bi 的辐角主值为 3 , ∴a+3=－b. 4
把 a+3=－b 与 a2+b2=5 联立解之,得
a 1 b 2
或
a b
2 1
,
∴ z 1 2i 或 z 2 i ,
解得 r
2 , z 1 3
3 3
i
6．（2019·上海格致中学高三）已知复数
z
x yi 1 i （ x, y R
， i 是虚数单位）的对应点 z 在第四象限，
且| z | 2 ，那么点 P(x, y) 在平面上形成的区域面积等于____
【答案】
【解析】由题得 z x yi 1 i
x
y(y 2
x)i
，z
x
y 2
在第四象限，则有
y
x
0 0
，整理得
1．（2019·湖南高三（理））若 为第二象限角．则复数z cos i sin （i 为虚数单位）对应的点在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】B
【解析】因为 为第二象限角．所以cos 0,sin 0，即复数 z 的实部为负数，虚部为正数，所以 z 对
应的点在第二象限．故选：B．
i sin170
.
10
∴由三角形式得辐角主值为 7
1【、举已一知反复三数】z 满足(z＋1)( z ＋1)=|z|2，且 z 1
(1)求 z；(2)求 z 的辐角主值. 【答案】见解析
是纯虚数.
z1
【解析】由(z＋1)( z ＋1)=|z|2 得 z z ＋z＋ z ＋1=|z|2.
∵z z =|z是|2，纯∴虚z数＋得z(＋1=0，∴z＋ z =－1， z1
【例
3】复数
1
cos
2 5
i sin 2 的辐角主值是多少. 5
【答案】见解析
【解析】
1
cos
2 5
i sin 2 5
2sin 2 i 2sin cos ，
5
55
2sin
5
sin 5
i cos52sin
5 cos 2
5
i sin
2
5
2sin
5
cos 7 10
z
4
3
3、设虚数 z ,z 满足 z 2 = z .
12
1
2
(1)若 z ,z 又是一个实系数一元二次方程的两个根,求 z ,z .
12
12
(2)若 z =1＋mi(m＞0,i 为虚数单位)w=z －2,w 的辐角主值为 ,求 的取值范围.
1
2
强化练习
1．（2019·湖南高三（理））若 为第二象限角．则复数z cos i sin （i 为虚数单位）对应的点在（
围.
11、将下列复数代数式化为三角式：
（1）
cos
5
i sin 5
；
（2） sin i cos .
（3） sin
5 7
i
cos
5 7
；
（4）1 cos i sin
[0,2 ) .
6
12、把复数z 与 z 对应的向量OA, OB 分别按逆时针方向旋转
1
2
5
和
后,重合于向量 OM 且模相等,已知
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2．（2019·上海师范大学附属外国语中学高二期末）若z cos i sin ( R，i 是虚数单位),则
z 2 2i 的最小值是（ ）
A. 2 2
B. 2
C. 2 2 1
D. 2 2 1
3．（2019·湖南长沙一中高三月考）若
,0
，则复数 z
则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
5、已知复数 z 满足等式
z
z
1
＝
1 2
，且
arg
z
，求 z
6
。
【答案】见解析
12
【解析】设
z
r
(cos
6
i
sin
6
)
3 2
r
1 2
ri(r
0)
，
1 z1 2 z
3 2
r
1
1 2
ri
z
3
r2
(
2
r 1)2 r
4
即 3r 2 4
3r 4 0 .
所以z
1
b
a
cos 2
3
i
sin
2
3
,
又因 Z ( 1， 3) 位于第二象限，
所以
2
arg
z 2
3
2 所以 z
3
2
2(cos
2
3
i sin
2
3
)
【举一反三】
1.化下列复数为三角形式：
（1）2（sinπ 5
+icosπ5 ）；
（2）－２（－sinπ5
【答案】见解析
＋icosπ5 ）；
（3）－２（sinπ5 －icosπ5 ）
1 2
3i 2
(2)由 z =1＋mi(m＞0), 1
z2
1
= z 得 z =(1－m2)＋2mi ∴w=－(1＋m2)＋2mi
2
2
tg
=－ 2m 1 m2
m
2
1 m
∵m＞0
1 m＋ m ≥2
∴－1≤tg ＜0 又由－(m2＋1)＜0 3
∴所求 的取值范围为[ 4 , ).
3 2m＞0 得 4 ≤ ＜
1
2
【答案】见解析
【解析】 (1)∵z ,z 为实系数方 12
程的两个根∴
z = z 且|z |=
2
2
z1
又
z 1
2=z2=
z
∴
z1 3
z 1
z 1
z 1
2
∵
|z |2=|z |=|z |
1
i
1
∴|z |=1 1
∴z =－ 1
1 2
3 2
i
1
z =－ 2
2
2i3或
10
z =－ 1
1
3i
22
z =－ 2
此时
z
3
2
2i
或
z
3
1
i
的辐角主值均为
7 4
.
∴满足条件的虚数 z 不存在.
3、设虚数
z ,z 12
满足
z12
=
z. 2
(1)若 z ,z 又是一个实系数一元二次方程的两个根,求 z ,z .
12
12
(2)若 z =1＋mi(m＞0,i 为虚数单位)w=z －2,w 的辐角主值为 ,求 的取值范围.
cos
i sin
（i
为虚数单位）对应的点
2
在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．（2019·广东高二期末（理））在复平面内，复数对应向量（为坐标原点） 设，以射线为始边，为终边
逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，
则（ ）
＋icosπ5 ）＝2[cos(２π ＋５π )+isin(２π ＋π５ )]
＝２（cos７π 10
＋isin７10π
）
运用二 三角式转代数式
【例 2】把下列复数化成三角形式：
（1）6（2）-5（3）2i（4）-i（5）-2+2i
【答案】见解析
【解析】(1)6(cos0+isin
0)(2)5(cosπ+isinπ
z
1 2
3 2
i
时，z
的辐角主值为
2 3
；当
z
1 2
3 2
i
时，z
的辐角主值为
4
.
3
2、满足z 5 是实数,且 z+3 的辐角主值是 3 的虚数 z 是否存在?若存在,求出虚数 z;若不存在,说明理由.
z
4
【答案】见解析
【解析】 设 z a bi(a,b R 且 b 0),则
z
5 z
a bi
9．（2019·上海市建平中学高三）已知复数 z
(2cos
)i
，i
为虚数单位，
[
, 3
]. 2
（1）若 z z 为实数，求 的值； 12
5
（2）若复数 z1、 z 对应的向量分别是 ar 、br ，存在 使等式 (ar br) (ar b)r 0 成立，求实数 的取值 2
2．（2019·上海师范大学附属外国语中学高二期末）若z cos i sin ( R，i 是虚数单位),则
z 2 2i 的最小值是（ ）
A. 2 2
B. 2
C. 2 2 1
D. 2 2 1
【答案】D
【解析】由复数的几何意义可知： z cos i sin 表示的点在单位圆上，
而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数2 2i 表示的点 Z 的距离，
由 z1
z z
1 1
)
(z z
1) 1
0, z 1 z1
z1 z1
0
，
9
∴ zz z z 1 zz z z 1 0 ，∴2z z =2，∴z z =1. ( z 1)(z 1)
于是
z， z 是方程
x2＋x＋1=0
的两根，解得 x
1 2
3
1
2 i ，所以 z 2
3 2 i.
当
范围.
10．（2018·上海交大附中高二期末）设 z 1为关于 x 的方程 x2 mx n 0m, n R的虚根，i 为虚数单位.
（1）当 z 1 i 时，求 m, n的值； （2）若 n 1，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P ，复数 2 4i 所对应的点为Q ，试求 PQ 的取值范
【2020 高考数学】复数的三角表示专题复习
运用一 代数式转为三角形式
【例 1】把复数 z =i,z =-1+ 3i 表示成三角形式
1
2
1
【举一反三】
1.化下列复数为三角形式：
（1）2（sinπ
π
π
π
5 +icos5 ）； （2）－２（－sin 5 ＋icos5 ）；
π （3）－２（sin 5
－icosπ5 ）
运用二 三角式转代数式 【例 2】把下列复数化成三角形式： （1）6（2）-5（3）2i（4）-i（5）-2+2i
【举一反三】
1.下面复数化为三角形式：（1） 2(cos i sin 5
5
); （2）
2(
cos
5
i
sin
5).
（3） 2(cos 5
i sin ) ；（4） 2(sin 5
A.
B.
C.
D.
5、已知复数 z 满足等式
z1 z
＝
1 2
，且 arg z
6
，求
z
。
4
6．（2019·上海格致中学高三）已知复数
z
x yi 1 i
（ x, y R
， i 是虚数单位）的对应点 z 在第四象限，
且| z | 2 ，那么点 P(x, y) 在平面上形成的区域面积等于____
7．（2019·上海市建平中学高二期中）设复数 z 1
11
由图象可知： z 2 2i 的最小值应为点 A 到 Z 的距离，
而 OZ 22 22 2 2 ，圆的半径为 1，
故 z 2 2i 的最小值为2 2 1，
故选：D．
3．（2019·湖南长沙一中高三月考）若
2
,0
，则复数
z
cos
i
sin
（
i
为虚数单位）对应的点
在（ ） A.第一象限 【答案】D
【解析】（1）原式＝２[cos（π ２
－π5
）＋ｉsin
（２π
－π5
3π ）]＝2（cos31π0 ＋isin 10
）；
（2）原式＝２（sinπ5 －icosπ5 ）＝2[cos(３２π ＋５π )+isin(３２π ＋５π )]
＝２（cos１７10π ＋isin１７10π ）
（3）原式＝２（－sinπ 5
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】
Q
2
,0
cos 0， sin 0
复数 z cos i sin 对应的点在第四象限.
4．（2019·广东高二期末（理））在复平面内，复数对应向量（为坐标原点） 设，以射线为始边，为终边
逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，
1
i，z 2
3
3i，
若
z 2sin i 2 cos 2 ， R，则 z z z z 的最小值为_________.