【理数】2019广州二模理科数学试题及答案(类型A)

图1
俯视图
侧视图
正视图试卷类型：A
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）
2019.4
本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题
卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是1
3
V Sh =
,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为
A ．2-
B ．2
C ．2-i
D ．2i
2．若函数()y f x =是函数3x
y =的反函数，则12f ⎛⎫
⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．1
9
D
3．命题“对任意x ∈R ，都有32
x x >”的否定是
A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >
B ．不存在0x ∈R ，使得32
00x x >
C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤
D ．对任意x ∈R ，都有32
x x ≤
4. 将函数(
)2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6
π
个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数，也不是偶函数
5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是
A ．
16 B ．13 C ．1
2
D ．38 6．设12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF
的中点在y 轴上，若1230PF F ︒
∠=，则椭圆C 的离心率为
A ．16
B ．1
3
C
D
7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体
的体积为
A ．6π4+
B ．12π4+
D
C
B
A
C ．6π12+
D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若
2014ij a =，则i j +的值为
A ．257
B ．256
C ．254
D ．253
表
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．不等式2
210x x --<的解集为 .
10．已知312n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .
11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r
的值
为 .
12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值
为8，则ab 的最大值为 .
13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，
当[)0,(x n n ∈∈N *
)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,
(x a t t y t =-⎧⎨=⎩
为参数)与
圆1cos ,
(sin x y θθθ=+⎧⎨
=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .
15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且
12
AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2
，则
△AFD 的面积为 cm 2
.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）
如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3
BD =
. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.
图2
F
E D C
B
A a 图3重量/克
0.032
0.02
452515O 17．（本小题满分12分）
一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；
（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =L ，
则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++L . （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内
的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
18．（本小题满分14分）
如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒
=∠=
，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；
（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.
图4
19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．（本小题满分14分）
已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;
(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个
定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）
已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()
1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；
（2）当1x >时，()0k
f x x
+
<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *
，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n
--+++>+L .
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果
考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15
题是选做题，考生只能选做一题．
9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
10．8 11．2
a 12．4 13．222n n -+
141 15．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．
（本小题满分12分） （
1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =
， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=
⋅⋅2
22
1112113
+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1
cos 3
A =，且0A <<π，
∴sin 3
A
==. ……………6分
∵D 是边AC
的中点，
∴22AC AD ==.
在△ABC 中，222222121
cos 22123
AB AC BC BC A AB AC +-+-=
==⋅⋅⨯⨯，………8分 解得BC =……………10分
由正弦定理得，sin sin BC AB
A C
=
， ……………11分 ∴1sin sin 33AB A C BC ⋅=
==. ……………12分 17．（本小题满分12分）
(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为
0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分
M O H F E D C
B A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
:. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分
()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2
131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ()2
231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，()3
331135125
P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：
……………11分
∴64481213
01231251251251255
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13
355
E ξ=⨯=）
18．（本小题满分14分）
（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，
∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD I 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=
∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.
在Rt△BFC 中，2
2
2
4FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =
……………3分
在△AME 中，AE =1AM =，EM =
∴222
3AM EM AE +==，
∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =I ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，
∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，
则OH ∥AB ，112
OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且1
2
EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.
∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分
由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，
∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂I 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，
∴EO ⊥AO . ……………10分
∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂I 平面EBD ，BD ⊂平面EBD ， ∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分
在Rt △AOE
中，tan AO
AEO EO
∠=
=……………13分 ∴直线AE 与平面BDE
. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，
则OH ∥AB ，1
12
OH AB ==.
由（1）知EF ∥AB ，且12
EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.
∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂I 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .
∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，
建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.
∴()1,1,1AE =-u u u r ，()2,2,0BD =--u u u r ，()1,1,1BE =--u u u r
. ……………9分
设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=u u u r ，n 0BE ⋅=u u u r
， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.
令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分
设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，
则sin θ=cos ,u u u r n AE ⋅=u u u r
u u u r n AE
n
AE 3=
. ……………11分
∴cos θ==
，sin tan cos θ
θ
==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分
19．（本小题满分14分）
（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.
∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n n
S S n n
+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
是以101S =为首项，公差为1的等差数列.
∴
011n
S n n n
=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分
当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴2212
24n
a n n n
b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分
∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，①
()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，② ……………11分
①-②得0
1
2
1
34444
4n n
n T n --=++++-⋅L 14414
n n
n -=-⋅-()13413n n -⋅-=.
……………13分
∴()131419n
n T n ⎡⎤=-⋅+⎣
⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，
∴2212
24n
a n n n
b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分
∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L .
由()1
2
3
11n n
x x x x x x x x
+-++++=≠-L ， ……………11分
两边对x 取导数得，0121
23n x x x nx -++++=L ()()
12
111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0
1
2
2
114243414
431419
n n n
n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦L . ……………13分 ∴ ()131419
n
n T n ⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）
（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,
故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为2
4x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,
1y =+, ……………1分
化简得2
4x y =.
∴曲线E 的方程为2
4x y =. ……………2分
(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，22
11224,4x y x y ==.
由2
1,4,
y kx x y =+⎧⎨
=⎩消去y 得2
440x kx --=
，
解得1,2422
k x k ±=
=±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分
直线AB 的斜率2
111111
124224
AB
x y x k x x --+===--，
故直线AB 的方程为()12
124
x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得18
22
x x =-+， ∴点S 的坐标为18
2,12x ⎛⎫-
- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为28
2,12x ⎛⎫-
- ⎪+⎝
⎭
. ……………6分 ∴()()()
121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫
=---=
⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x x
x x x x k k
---===+++. ……………7分
∴2
ST
=()()()2
2212
12
12
2
2
2
1614k x x x x x x k
k
k
+-+-==
. ……………8分
设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，
则()()()
12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫
=
-+-=- ⎪
++++⎝⎭ ()()()12124444442
22248k k x x x x k k
++=-
=-=-+++. ……………9分
∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2
222114x y ST k ⎛⎫
+++= ⎪⎝
⎭()22
41k k +=. ……………10分
展开得()()2
2
22
2414414k x x y k k k
++++=-=. ……………11分 令0x =，得()2
14y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分
∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为2
4x y =.
设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，
由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.
x k y ⎧
=-⎪
⎨
⎪=-⎩
∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,
y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分
∴1142x k =-，2
2111114414
y x k k =
=-+. ∴点B 的坐标为()2
11142,441k k k --+. ……………5分
同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，
则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，点C 的坐标为()2
22242,441k k k --+. …………6分
∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，
∴()()
()()
()()2
2222
2112
1212121
4414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---=
=
----121k k =+-.
∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，
化简得122k
k k =
. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=u u r u u r
， ……………9分
得()()122222110x x y y k k ⎛
⎫⎛⎫
-+
-++++= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()22
4410x x y k
+-++=. ……………11分
令0x =，得()2
14y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分
∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）
（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a
f x b x
'=
+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭， ……………1分
∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,2
1,
2
b a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分
（2）解法1：由（1）得()ln 2
x
f x x =-.
当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k
x x
-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分
令()2
ln 2
x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()11
1x h x x x
-'=-=.
当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.
……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，
故()()1
12
g x g >=
. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则1
2
k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分
解法2：由（1）得()ln 2x
f x x =-.
当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k
x x
-+<恒成立. ……………4分
令()ln 2x k
g x x x
=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.
方程2
220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-. （ⅰ）当0∆<，即12
k >
时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减. 由于()()110,2ln 21022
k g k g =-
+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x -+>，与题设矛盾. …………5分 （ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222
121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分
(ⅲ) 当0∆>，即12
k <
时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，
从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222
ln 2x k g x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+222
1ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x
-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x
-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，
从而，21211ln 111
x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =L 分别代入上面不等式，并相加得，
11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ……………12分 111121
n n =+
--+ ……………13分 223222n n n n --=+. ……………14分。