高等代数章节件

定理7.1.1 设是向量空间V到W的一个线性映射. V是V 的子空 间, W是W的子空间. 则V在下的象是W的子空间, W在下的原象 是V的子空间.
特别地, 向量空间V在下的象是W的子空间, 称其为的象, 记作 Im(). W的零子空间{0}在下的原象是V的子空间, 称其为的核, 记 作 Ker(), 即Ker()={| ()=0}.
例 5 设V是数域F上的向量空间. 取定F中的一个数k. 对于任意 V,令()=k. 则是V到自身的一个线性映射. 称为V的一个位似.
例 6 取定数域F中的n个数a1, a2, …, an. 对于Fn中的每一个向量 =(x1, x2, …, xn), 定义()=a1x1+a2x2+…+anxnF. 则是从Fn到F的一 个线性映射. 称为F上的一个n元线性函数或Fn上的一个线性型.
((1),(2) ,,(n) )x x x1 n 2 (1,2, ,n)A x x x1 n 2
因此, ()关于基1, 2, …, n的坐标构成的列向量是: 由此我们得到:
A
x1 x2
xn
定理7.3.1 设V是数域F上的向量空间, {1, 2, …, n}是V的一个 基, 是V的一个线性变换, A是线性变换关于这个基的矩阵, 与()
一个 (nr)r 阶零矩阵
如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1 的基1, 2, …, r 与W2的基r+1, …, n组成V的一个基. 如果W1与W2 是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是
A1 O O A2
|W1关于W1的基1, 2, …, r 的矩阵 |W2关于W2的基r+1, 2, …, n 的矩阵
定理7.3.2 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 那么对V中的任意n个向量 1, 2, …, n, 恰有V的一个 线性变换, 使得 (i)= i, i=1, 2, …, n.
数域F上所有n阶矩阵的集合构成F的一个n2维向量空间, 记之 为Mn(F).
定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构 (保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法)
推论7.3.4 设V是数域F上的一个n维向量空间, 是V的一个线性 变换, 它关于某个基的矩阵是A. 则变换可逆当且仅当矩阵A可逆, 且1关于这个基的矩阵就是A1. (保持逆)
二. 线性变换关于不同基的矩阵的关系
设A, B是两个n阶矩阵, 如果存在n阶可逆矩阵T使得: B=T1AT则 称矩阵A与B相似. 矩阵的相似关系是一种等价关系(即相似具有自反 性, 对称性和传递性).
(+)+ =+(+) + = +()=
k(+) = k+k (k+l) = k+l
(kl) = k(l) 1 =
其中, , 是V到V的任意变换, k, l是F中的任意数. 因此:
定理7.2.1 L(V)对于变换的加法和纯量乘法构成数域F上的一个 线性空间.
变换的乘法: ,L(V), 则它们(作为映射)的合成L(V), 称之 为与的积, 记作.
的矩阵是
A1
A2
As
Ai是|Wi关于Wi的基的矩阵. 特别地, 当每一个子空间都是一维空间 时, 这个矩阵就是一个对角矩阵.
7.5 线性变换的本征值和本征向量
设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 定义 1 设是数域F中的一个数. 如果存在V中的一个非零向量 使得()=, 则称是的一个特征根, 称是的属于特征根的一 个特征向量. 例 1 设H是V3中一个过程原点的平面, 是把V3的每一个向量变 成它在H上的正射影的线性变换. 那么H中每一个非零向量都是的 属于特征根1的特征向量, 而过原点与H垂直的直线上的每一个非零 向量都是的属于特征根0的特征向量. 例 2 用D表示实数域上的可微分任意次的实函数所成的向量空 间. : f(x)|f (x)是求导运算. 对每一实数都有, (ex)=ex. 因此每 一实数都是的特征根, 而ex是的属于特征根的一个特征向量. 例 3 用F[x]表示所有一元多项式构成的向量空间. 是把f(x)变 为 xf(x)的线性变换. 对任何数都不存在多项式f(x)使 xf(x)=f(x), 因 此没有特征根.
7.2 线性变换的运算
设V是数域F上的向量空间. V到自身的一个线性映射称为V的一 个线性变换. 用L(V)表示V的一切线性变换的集合.
零变换: V到自身的零映射称为V的零变换, 记作, 显然L(V). 单位变换: V到自身的恒等映射称为V的单位变换, 记作, 显然 L(V).
负变换: L(V), 的负变换是指V到V的映射 : | ().
f() a 0 a 1 a nn
若 f ( x ) g ( x ) , F [ x ] u ( x ) , f ( x ) g ( x ) v ( x ) , f ( x ) g ( x ) , A是一
个 n阶方阵, 则 u ( A ) f ( ) g ( ) v ( , ) f ( ) g ( ).
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例 3 令A是数域F上的一们mn矩阵, 对n元列空间Fn中的每一
向量=
x1 xn
规定:
()=A.
则()是一个m元列向量,
即()Fn.
容
易证明是一个从Fn到Fm的线性映射.
例 4 令V和W是数域F上的两个向量空间. 对于V中的每一向量 ,令W的零向量与它对应. 容易看出这是V到W的一个线性映射, 称之 为零映射.
2
因此关于基{1, 2}的矩阵是
(2)
csions csoins
设是中V2的一个向量, 它和()关于基
{1, 2}的坐标分别是(x1, x2 )和(y1, y2 ), 则
O
yy1 2c sions csoinsxx1 2
例 2 位似变换关于任意基的矩阵是
kI
k
k
(2)
1
.特别地；
k
单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵, 零变换关于任意基的矩阵 是零矩阵.
定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射. 则合成映射:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映 射.
等式(1)
(2)a121a222an2n
(n)a1n1a2n2an nn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
A aa1211 an1
a12 a22 an2
a1n a2n
例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它
的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组
V3的一个基. 关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin
0 sin cos
应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都 是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基
设V是数域F上的一个n维向量空间, 是V的一个线性变换, 它关 于V的两个基{1, 2, …, n}和{1, 2, …, n}的矩阵分别是A, B. 则有
((1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)A, (( 1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)B. 再设T是从基{1, 2, …, n}到{1, 2, …, n}的过渡矩阵:
关于这个坐标分别是(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn). 则有
y1 y2
A
x1 x2
yn xn
例 1 设1, 2是V2的两个正交单位向量, 则它构成V2的一个基,
是将V2的每一个向量都旋转角的一个线性变换. 则有
(1)1co s2sin
(2)1sin2cos
设W是的一个不变子空间, 定义映射|W :WW为 |W ()=(). 则|W是W的一个线性变换, 称它为线性变换在W上的限制.
设W是的一个非平凡的不变子空间, 1, 2, …, r是W的一个基, 把它扩充为V的一个基1, 2, …, r , r+1, …, n. 由于W在之下不变, 所以(1), (2), …, (r)仍在W内, 它们可用W的基1, 2, …, r线 性表示. 因此
7.3 线性变换的矩阵
一. 线性变换关于一个基的矩阵 二. 线性变换关于不同基的矩阵的关系
一. 线性变换关于一个基的矩阵
设V是数域F上的向量空间, {1, 2, …, n}是V的一个基, 是V
的一个线性变换. 则对们每一 j=1,2, …,n, (j )都可由1, 2, …, n线
性表示. 设
(1)a111a212an1n
ann
n阶矩阵A叫线性变换关于基{1, 2, …, n}的矩阵. 对于给定的线 性变换和取定的基, 它是唯一确定的.
将等式(1)写为矩阵的形式就是
((1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)A. 设= x11+x22+…+xnn是V的任一向量. 所以
()(x11x22 xnn)x1(1)x2(2) xn(n)
变换的乘法满足结合律. 对于正整数n, 规定n=... . 再规定 0=. (表示单位变换). 另可将k简单地记为k, k是F中的一个数.
设 f(x ) a 0 a 1 x a n x n 是F[x]中的一个多项式, 是一个线性
变换, 则 a 0a 1 a n n也是一个线性变换, 记作:
变换的加法: ,L(V), 定义V到V的映射+为 +: | ()+ ().
容易说明+L(V). 称为变换+为变换与的和. 变换的减法: ,L(V), 定义变换与的差为=+(). 变换的纯量乘法: L(V), kF. 定义V到V的映射 k: | k().
则kL(V), 称它为k与的积.
可以验证变换的加法与变换的纯量乘法满足下列规律: + =+
(1, 2, …, n)=(1, 2, …, n)T. 由此三式可得:
(1, 2, …, n)B=(1, 2, …, n)T1AT. 所以 B=T1AT. 即:
同一线性变换关于两个基的矩阵是相似的. 反之, 两相似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.
7.4 不变子空间
设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 定义 设W是V的一个子空间, 如果(W)W, 则称W在线性变换 之下不变, 或说W是的一个不变子空间. 例 1 V本身和零子空间{V}是任何变换的不变子空间. 例 2 的象Im()和核Ker()都是的不变子空间. 例 3 任何一个子空间都是位似变换的不变子空间. 例 4 设L是V3中一条过程原点的直线, 是V3的一个以为轴的旋 转变换. 那么L是的一个一维不变子空间, 过程原点与L垂直的平面 H是的一个二维不变子空间. 例 5 设F[x]是F上的一元多项式所成的向量空间, Fn[x]是次数 不超过n的多项式及零多项式所成的子空间. 则Fn[x]是求导变换的不 变子空间.
(1)a111a212ar1r
(r)a1r1a2r2ar r r (r1)a1,r11ar,r1rar1,r1r1an,r1n
(n)a1n1arnrar1,nr1an nn
这表明关于这个基的矩阵是
A1 O
A3 A2
|W关于W的基是F[x]到自身的一个线性映射.
例 8 对每一f(x)C[a, 到自身的一个线性有映射.
b],
规定(f(x))axf(t)d.t则是C[a,
b]
线性映射把零向量映射为零向量.
(a11+a22+…+ann)=a1(1)+a2(2)+…+an(n).
设是向量空间V到W的一个线性映射. 如果VV ,则称W的子空 间{()| V}是V在下的象, 记作 (V). 如果WW ,则称V的子空 间{| ()W}是W在下的原象, 记作 1(V).