向量与空间解析几何讲解学习

向量与空间解析几何
第九章空间解析几何
一、本章学习要求与内容提要
（一）学习要求
1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.
2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.
3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.
4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.
5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.
6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.
7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.
8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.
重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.
难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.
（二）内容提要
1. 空间直角坐标系
在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为x 轴、y 轴和z 轴，一般是把轴轴和y x 放置在水平面上，z 轴垂直于水平面.z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。

这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.
在空间直角坐标系中建立了空间的一点M 与一组有序数),,(z y x 之间的一一对应关系。

有序数组),,(z y x 称为点M 的坐标；z y x ,,分别称为x 坐标，y 坐标，z 坐标.
2. 向量的基本概念
⑴向量的定义 既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量．
⑵向量的模 向量的大小称为向量的模，用a 或
AB 表示向量的模．
⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量．
⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.
⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.
⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量. ⑺向径 终点为P 的向量OP 称为点P 的向径,记为OP .
3. 向量的线性运算
⑴ 向量的加法
① 三角形法则 若将向量a 的终点与向量b 的起点放在一起，则以a 的起点为起点，以b 的终点为终点的向量称为向量a 与b 的和向量，记为b a +.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.
② 平行四边形法则 将两个向量a 和b 的起点放在一起，并以a 和b 为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为b a +.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.
向量的加法满足下列运算律.
交换律：b a +=a b +；
结合律：（b a +）+c =a +（b +c ）.
⑵ 向量与数的乘法运算
实数λ与向量a 的乘积是一个向量，称为向量a 与数λ的乘积，记作a λ，并且规定： ①a a λλ=；
②当0>λ时，a λ与a 的方向相同；当0<λ时，a λ与a 的方向相反； ③当0=λ时，a λ是零向量.
设μλ,都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：
结合律：=)(a μλ)()(a a λμλμ=；
分配律：a a a μλμλ+=+)( , λ(a +b )=a λ+b λ.
向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.
⑶ 求与a 同向的单位向量的方法 设向量a 是一个非零向量，则与a 同向的单位向量 a
a a =e . ⑷ 负向量 当1-=λ时，记(-1)a =-a ，则-a 与a 的方向相反，模相等，-a 称为向量a 的负向量.
⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 a -b =a +(-1)b .
向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a 与b 的起点放在一起，a -b 即是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量.
4. 向量的坐标表示
⑴ 基本单位向量 i ,j ,k 分别为与x 轴,y 轴,z 轴同向的单位向量.
⑵ 向径的坐标表示 点),,(321a a a P 的向径的坐标表达式为=k j i 321a a a ++或简记为 =},,{321a a a . ⑶21M 的坐标表示 设以),,(1111z y x M 为起点,以),,(2222z y x M 为终点的向 21M 的坐标表达式为 21M M =k j i )()()(121212z z y y x x -+-+-.
⑷ 向量k j i a 321a a a ++=的模 a =232221a a a ++.
5. 坐标表示下的向量的线性运算
设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=，则有
（1）k j i )()()(332211b a b a b a b a +++++=+；
（2）k j i )()()(332211b a b a b a b a -+-+-=-；
（3）k j i k j i 321321)(a a a a a a a λλλλλ++=++=.
6. 向量的数量积
⑴定义 设向量b a ,之间的夹角为)π0(≤≤θθ，则称a b θcos 为向量
b a 与的数
量积，记作a ·b ，即 a ·b =a b θcos .
向量的数量积又称“点积”或“内积”.
向量的数量积还满足下列运算律:
交换律：a ·b = b ·a ；
分配律：(a +b )·c = a ·c +b ·c ；
结合律：λ(a ·b )=(λa )·b )(为常数其中λ.
⑵ 数量积的坐标表示
设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=,则a ·b =332211b a b a b a ++. ⑶ 向量a 与b 的夹角余弦
设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=,则 b a b a ⋅=θcos =23
2221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++ )π0(≤≤θ. ⑷ 向量的方向余弦
设 向 量 k j i a 321a a a ++=与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为 )π,,0(,,≤≤γβαγβα,称其为向量a 的三个方向角，并称αcos ,βcos ,γcos 为a 的方向余弦，向量a 的方向余弦的坐标表示为
23222
1323222
1223222
11
cos ,cos ,cos a a a a a a a a a a a a ++=++=++=γβα，
且1cos cos cos 222=++γβα.
7．向量的向量积
⑴定义 两个向量a 与b 的向量积是一个向量，记作a ×b ，它的模和方向分别规定如下：
①a ×b =a b θsin 的夹角与是向量其中b a θ；
②a ×b 的方向为既垂直于a 又垂直于b ，并且按顺序a ,b ,a ×b 符合右手法则.
向量的向量积满足如下运算律.
反交换律：a ×b =-b ×a ；
分配律：(a +b )×c =a ×c +b ×c ；
结合律：λ(a ×b )=(λa )×b =a ×(λb ))(为常数其中λ. ⑵向量积的坐标表示
设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=，则
a ×
b =k j i )()()(122113312332b a b a b a b a b a b a -+---. 可将a ×b 表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即
a ×
b =3
21321b b b a a a
k j i .
8.三个重要结论
⑴b a =332211,,b a b a b a ===⇔;
⑵a ⊥b ⇔=⋅b a 0⇔0332211=++b a b a b a ;
⑶a ∥b ⇔a =λb ⇔332211b a b a b a ==⇔0=⨯b a .
其中，“⇔”表示“充分必要条件”．
９.平面方程
⑴平面的点法式方程
如果一非零向量n 垂直于平面π，则称此向量为该平面的法向量. 过点),,(0000z y x M ，以n ={}C B A ,,为法向量的点法式平面方程为
C B A z z C y y B x x A ,,( 0)()()(000=-+-+-至少有一个不为零）. ⑵平面的一般式方程
以n ={}C B A ,,为法向量的一般式平面方程为
0=+++D Cz By Ax C B A ,,(至少有一个不为零）. ⑶两个平面的位置关系
设两个平面21ππ与的方程分别为
,0:,0:2222211111=+++=+++D z C y B x A D z C y B x A ππ 其法向量分别为1n =},,{111C B A ，2n =},,{222C B A ，有如下结论：
①21ππ⊥⇔1n ⊥2n ;0212121=++⇔C C B B A A
②1π∥2π⇔1n ∥2n ⇔
21212121D D C C B B A A ≠==； ③2
121212121D D C C B B A A ===⇔重合与ππ. （4）平面21ππ与的夹角θ，即为两个平面法向量夹角，其公式为 212
1 cos n n n n ⋅=θ=)2π0( 22
2222212121212121≤≤++++++θC B A C B A C C B B A A . （5）点),,(1111z y x P 到平面0 =+++D Cz By Ax π的距离公式为 222111C B A D Cz By Ax d +++++=
.
10. 直线方程
⑴如果一个非零向量s 平行于直线L ,则称s 为直线L 的方向向量. ⑵直线的标准式方程 设直线L 过点 ),,(0000z y x M 且以s },,{c b a =为方向向量,则直线L 的标准式方程(也称为点向式方程)为 c
z z b y y a x x 000-=-=-. ⑶ 直线的参数方程 设直线L 过点 ),,(0000z y x M 且以},,{c b a =s 为方向向量,则直线L 的参数方程为
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=+=,,,000ct z z bt y y at x x
其中t 为参数.
⑷ 直线的一般式方程 若直线L 作为平面01111=+++D z C y B x A 和平面 02222=+++D z C y B x A 的交线，则该直线L 的一般式方程为
⎩⎨⎧=+++=+++,0,02222
1111D Z C y B x A D z C y B x A 其中{111,,C B A }与{222,,C B A }不成比例.
⑸ 两条直线的位置关系
设直线21L L 与的标准方程分别为 ,:,:22222221
111111c z z b y y a x x L c z z b y y a x x L -=-=--=-=-
其方向向量分别为1s },,,{111c b a =2s },,,{111c b a =则有
①21//L L ⇔1s ∥2s ⇔2
12121c c b b a a ==； ②1L ⊥2L ⇔1s ⊥2s ⇔0212121=++c c b b a a .
11．直线与平面的位置关系 直线与它在平面上的投影线间的夹角⎪⎭⎫ ⎝
⎛≤≤2π0ϕϕ，称为直线与平面的夹角.
设直线πL 和平面的方程分别为 ,0:,:
000=+++-=-=-D CZ By Ax c
z z b y y a x x L π 则直线L 的方向向量为},,{c b a =s ，平面π的法向量为},,{C B A =n ，向量s 与向量n 间的夹角为θ，于是⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-=2π 2πθϕθϕ或,所以 θϕcos sin = =n s n
s ⋅=222222 C B A c b a cC
bB aA ++++++ .
由此可知：1π∥2π⇔1L ⊥2L ⇔1s ⊥2s .
①内在 πL ⇔ s ⊥n )0 (=++cC bB aA 或 , ),,( 0000上既在且L z y x M 又 内在π;
② L ∥π⇔ s ⊥n 而不上在）且或 , ),,( 0(0000L z y x M cC bB aA =++ 内在π;
③π⊥L ⇔s ∥n C
c B b A a ==⇔
. 12. 曲面方程 如果曲面∑上每一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面∑上的每一点坐标都不满足方程0),,(=z y x F ，则称方程0),,(=z y x F 为曲面方程，称曲面∑为0),,(=z y x F 的图形.
13. 柱面
直线L 沿定曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线C 称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线.
如果柱面的准线C 在xOy 坐标面上的方程为0),(=y x f ,那么以C 为准线，母线平行于z 轴的柱面方程就是0),(=y x f ；同样地，方程0),(=z y g 表示母线平行于x 轴的柱面方程；方程0),(=z x h 表示母线平行于y 轴的柱面方程.一般地，在空间直角坐标系中，含有两个变量的方程就是柱面方程，且在其方程中缺哪个变量，此柱面的母线就平行于哪一个坐标轴. 例如，方程02 , 1 , 1222
222222=-=-=+py x b
y a x b y a x 分别表示母线平行于z 轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面.
14. 旋转曲面
⑴定义 一平面曲线C 绕与其在同一平面上的直线L 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，曲线C 称为旋转曲面的母线，直线L 称为旋转曲面的轴.
⑵母线在坐标面上，绕某个坐标轴旋转所形成的旋转曲面
设在yOz 坐标面上有一条已知曲线C ，它在yOz 坐标面上的方程是
0),(=z y f ，母线C 绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为
0),(22=+±z y x f .由此可见，只要在yOz 坐标面上曲线C 的方程0),(=z y f 中把y 换成22y x +±，就可得到曲线C 绕z 轴旋转的旋转曲面方程.同理，曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面方程为()
0,22=+±z x y f .
对于其他坐标面上的曲线，用上述方法可得到绕此坐标平面上任何一条坐标轴旋转所生成的旋转曲面.
15. 二次曲面
在空间直角坐标系中,如果0),,(=z y x F 是二次方程,则它的图形称为二次曲面.下面给出几种常见的曲面方程：
⑴ 球面方程
以),,(0000z y x P 为球心，R 为球半径的球面方程为
2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-.
⑵ 圆柱面方程
设一个圆柱面的母线平行于z 轴，准线C 是在xOy 坐标面上的以原点为圆心，R 为
半径的圆，即准线C 在xOy 坐标面上的方程为222R y x =+，其圆柱面方程为
222R y x =+.
⑶ 锥面方程
顶点在原点，对称轴为z 轴的圆锥面方程为
)0( )(2222为常数≠+=k y x k z .
⑷ 椭圆抛物面方程
椭圆抛物面方程为 )0 , 0 , 0( 222
22>>>=+p b a pz b
y a x , 当b a =时，原方程化为) , 0(2222p a q q qz y x =>=+其中，它由抛物线绕z 轴旋转而成，称为旋转抛物面.
⑸ 椭球面方程
椭球面方程为 )0 , 0 , 0( 1222222
>>>=++c b a c z b y a x ,
其中c b a ,,称为椭球面的半轴.
16.空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C 的方程为⎩
⎨⎧==,0),,(,0),,(z y x G z y x F 过曲线C 上的每一点作xOy 坐标面的垂线,这些垂线形成了一个母线平行于z 轴的柱面,称为曲线C 关于xOy 坐标面的投影柱面.这个柱面与xOy 坐标面的交线称为曲线C 在xOy 坐标面的投影曲线，简称为投影.
在方程组(,,)0,(,,)0
F x y z
G x y z =⎧⎨=⎩中消去变量z ，得 0),(=y x
H ，
方程0),(=y x H 就是曲线C 关于xOy 坐标面的投影柱面方程.它与xOy 坐标面的交线
⎩⎨⎧==,
0,0),(z y x H 就是曲线C 在xOy 坐标面的投影曲线方程.
二、主要解题方法
1．向量的运算
例1 设向量=4i -4j +7k 的终点B 的坐标为(2,-1,7).求 (1)始点A 的坐标；(2)向量的模；(3)向量的方向余弦；(4)与向量方向一致的单位向量.
解 （1）设始点A 的坐标为 ),,(z y x ，则有 42=-x ，
14y --=- ,77=-z ，得 x =-2 , y =3 , z =0 ;
2227)4(4+-+=9;
(3) cos α
94 , cos 94-=β , cos 9
7=γ ; (4) AB o
91(4i -4j +7k ).
例2 已知向量a 与向量b =k j i 863++及x 轴垂直，且2=a ，求出向量a . 解 因为b a ⊥，i a ⊥（垂直于x 轴），故a 与向量i b ⨯平行.由两向量平行的充要条件，a 可写成)(i b a ⨯=λ，即
a =λ0
01863k
j i =)68(k j -λ. 由题设2=a ，得22)6()8(λλ-+=2 ， 4)68(222=+λ，51±=λ,
从而得 a =k j 5658-，或 a =k j 5
658+-. 2．建立平面方程与直线方程的方法
例3 求平行于y 轴，且过点)1,5,1(-A 与)3,2,3(-B 的平面方程.
解一 利用向量运算的方法。

关键是求出平面的法向量n .因为平面平行于y 轴，所以j n ⊥.又因为平面过点A 与B ，所以必有n AB ⊥.于是，取n =⨯j AB ,
而AB ={2，7，-4} ，所以 n =4
72010-k
j i =k i 24--，
因此，由平面的点法式方程，得0)1(2)5(0)1(4=--++--z y x ，即
032=-+z x .
解二 利用平面的一般式方程。

设所求的平面方程为 0=+++D Cz By Ax , 由于平面平行于y 轴，所以 0=B ，原方程变为0=++D Cz Ax ，又所求平面过点A (1, -5, 1)与B (3 , 2, -3)，将B A ,的坐标代入上述方程，得
⎩⎨⎧=+-=++,
033,0D C A D C A 解之得 C A 2=, C D 3-=,代入所设方程，故所求平面方程为 032=-+z x .
例4 求通过点(3 , 0 , 0)和点(0 , 0 , 1)且与xOy 平面成
3π角的平面的方程. 解 设所求平面方程为 0=+++D Cz By Ax ，
平面过点(3, 0, 0)，有 03=+D A , 即 3
D A -= ， ① 平面过点(0, 0, 1), 有 0=+D C , 即 D C -= ， ②
又,平面与xOy 面成3π角，有 πcos 3=21=2221C
B A
C ++⨯，③ 即 03222=-+C B A ，
解 ①②③得 B =D 3
26±,
故所求平面为 3D -x 03
Dy Dz D ±-+=， 即 03326=-+±z x .
例5 求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩
⎨⎧=+-+=-+-02,032z y x z y x 的平面方程. 解 已知直线的方向向量为}1,1,1{}1,2,1{-⨯-=s =1
11121--k
j i =}3,2,1{,
由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量n 为该方向向量s ，即
s n ==}3,2,1{，
由点法式得平面方程 12(2)3(1)0x y z -+++-=，即 032=++z y x .
例6 求通过点)3,1,2(0-P 且与直线2
2011-==--z y x 垂直相交的直线方程. 解 利用向量运算的方法。

在已知点的条件下，关键是求出直线的方向向量s .为此先求出过点)3,1,2(0-P 且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直线与
此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直线的方向向量s ，即可得到所求的直线方程.其步骤如下：
(i)过点0P 垂直于已知直线的平面方程为 0)3(2)2(=-+--z x ，即
042=+-z x .
(ii)求上述平面与直线的交点1P ，为此令 2
2011-==--z y x =t ， t x -=1, 0=y , t z 22+=，
将上述参数方程代入平面042=+-z x 中，有 12(22)40t t --++=，得 t =51
, 所以 54=x , 0=y , z =512，即 )512,0,54(1P , 所以 s 01P P =u u u u r 63{,1,}55
=-, (iii)写出所求直线方程。

由于直线过点)3,1,2(0-P ，故所求直线方程为
5331
1562-=-+=-z y x ， 即3
35162-=-+=-z y x . 例7 求过点)1,2,1(0-M 且与两平面1π：12=-+z y x 和2π：12=-+z y x 平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为s },,{p n m =，}2,1,1{1-=n ，}1,2,1{2-=n ， 因为所求直线l 与1π,2π平行，所以1n s ⊥,2n s ⊥,
取21n n s ⨯==}1,2,1{}2,1,1{-⨯-=1
21211--k
j i =k j i +-3=}1,1,3{-,
故所求直线的方程为 11
231-=--=+z y x . 小结 求平面方程和直线方程，在已知一给定点的条件下，关键是求出平面的法线向量和直线的方向向量.这要以两向量的点积和叉积的运算为基础.另外，求平面方程和直线方程的方法往往不是一种，读者可灵活运用已给的条件，选择一种比较简单的方法，求出平面方程或直线方程.
3．求旋转曲面方程及空间曲线在坐标面上的投影的方法
例8 求由椭圆⎪⎩
⎪⎨⎧==+0,12222y b z a x 绕x 轴旋转所形成的旋转曲面的方程.
解 在方程中把z 换成22z y +±，得所求方程为
122222=++b z y a x ，
这是一个旋转椭球面. 例9 求空间曲线⎩⎨⎧=+++=0
2,2222y x x y x z 在xOy 面上的投影曲线方程. 解 将所给曲线方程组中消去z ，就得到包含曲线的投影柱面方程.由于此方程组中的第二个方程不包含有z ，所以包含曲线的投影柱面方程就是
022
2=++y x x .因此，投影柱面与xOy 面的交线为⎩⎨⎧==++,0,0222z y x x 故曲线在xOy 面的投影曲线方程为⎩
⎨⎧==++.0,1)1(22z y x 例10 求曲线⎪⎩
⎪⎨⎧==++21,1222z z y x 在xOy 坐标面上的投影曲线方程. 解 消去z 得4
3
22=+y x , 这是圆柱面的方程，所以在xOy 面上的投影曲线的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==+,
04322z y x ，它是中心在原点，半径为23的圆周.
三 、学法建议
1．本章重点为向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，
用向量的
坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数式方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.
2．解析几何的实质是建立点与实数有序数组之间的关系.把代数方程与曲线、曲面
对应起来.从而能用代数方法研究几何图形.建议在本章的学习中，应注意对空间图形想象能力的培养，有些空间图形是比较难以想像和描绘的，这是学习本章的一个难点.为了今后学习多元函数重积分的需要，读者应自觉培养这方面的能力.。