2018全国高考新课标2卷文科数学试题[解析版]

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i(2+3i)=( )
A ．3-2i
B ．3+2i
C ．-3-2i
D ．-3+2i 解析：选D
2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A ∩B=( )
A ．{3}
B ．{5}
C ．{3,5}
D ．{1,2,3,4,5,7} 解析：选C
3．函数f(x)= e x
-e
-x
x
2的图像大致为 ( )
解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e 2
-e
-2
4>1,故选B
4．已知向量a ，b 满足|a|=1，a ·b=-1，则a ·(2a-b)= ( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
解析：选B a ·(2a-b)=2a 2
-a ·b=2+1=3
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3
解析：选D 5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。

6．双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y=±2x
B ．y=±3x
C ．y=±
22
x D ．y=±
32
x 解析：选A e= 3 c 2
=3a 2
b=2a
7．在ΔABC 中，cos C 2=5
5，BC=1，AC=5，则AB= ( )
A ．4 2
B ．30
C ．29
D ．2 5
解析：选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35
AB 2=AC 2+BC 2
-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 2
8．为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1
100
，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )
A ．i=i+1
B ．i=i+2
C ．i=i+3
D ．i=i+4 解析：选B
9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A ．
22
B ．
32
C ．
5
2
D ．
72
解析：选C 即AE 与AB 所成角，设AB=2,则BE=5,故选C
10．若f(x)=cosx-sinx 在[0,a]是减函数，则a 的最大值是( ) A ．
π4
B ．π2
C ．3π
4
D ．π
解析：选C f(x)= 2cos(x+
π4),依据f(x)=cosx 与f(x)= 2cos(x+π4)的图象关系知a 的最大值为3π4。

11．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=600
，则C 的离心率为( ) A ．1-
3
2
B ．2- 3
C ．
3-1
2
D ．3-1 解析：选D 依题设| PF 1|=c,| PF 2|=3c,由| PF 1|+| PF 2|=2a 可得
12．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(50)= ( )
A ．-50
B ．0
C ．2
D ．50
解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为__________． 解析：y=2x-2
14．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x+2y-5≥0
x-2y+3≥0 x-5≤0
,则z=x+y 的最大值为__________．
解析：9
15．已知tan(α-
5π4)=1
5
，则tan α=__________． 解析：由两角差的正切公式展开可得tan α=3
2
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为300
，若ΔSAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
解析：设母线为2a ，则圆锥高为a ，底面半径为3a,依题12×2a ×2a=8,∴a=2 ∴V=1
3×π×(23)×2=8π
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=-7，S 3=-15． （1）求{a n }的通项公式；
（2）求S n ，并求S n 的最小值． 解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3 a 1+3d=-15,由a 1=-7得d=2. 所以{a n }的通项公式为a n =2n-9.
（2）由（1）得S n =n 2-8n=(n-4)2
-16. 所以当n=4时, S n 取得最小值,最小值为−16. 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y ^
=-30.4+13.5t ；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y ^
=99+17.5t ． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y ^
=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y ^
=99+17.5×9=256.5 (亿元).
（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ^
=-30.4+13.5t 上下.
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^
=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19．（12分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且MC=2MB ，求点C 到平面POM 的距离．
（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=2 3. 连结OB.因为AB=BC=
22AC ，所以ΔABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB=1
2
AC=2. 由OP 2+OB 2=PB 2
知OP ⊥OB.
由OP ⊥OB,OP ⊥AC 知OP ⊥平面ABC.
（2）解：作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC=12AC =2，CM=23BC=42
3，∠ACB=45°．
所以OM=
253，CH=OC ·MC ·sin ∠ACB OM =455
． 所以点C 到平面POM 的距离为
45
5
． ※也可用等积法求 20．（12分）
设抛物线C:y 2
=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y=k(x-1)y 2
=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2
=0.
Δ=16k 2
+16>0，故x 1+x 2=2k 2
+4
k
2.
所以|AB|= x 1+x 2+2=2k 2
+4
k
2+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.
因此l 的方程为y=x-1.
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
y 0=-x 0+5(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)
2
2+16解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0=3
y 0=2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x 0=11
y 0=-6
因此所求圆的方程为(x-3)2
+(y-2)2
=16或(x-11)2
+(y+6)2
=144.
21．（12分） 已知函数f(x)= 13x 3-a(x 2
+x+1)．
（1）若a=3，求f(x)的单调区间； （2）证明：f(x)只有一个零点． 解：
（1）当a=3时，f （x ）=13
x 3-3x 2-3x-3)，f ′（x ）=x 2
-6x-3263x x --．
令f ′（x ）=0解得x=3-23或x=3+23．
当x ∈（–∞，3-23）∪（3+23，+∞）时，f ′（x ）>0； 当x ∈（3-23，3+23）时，f ′（x ）<0． 故f （x ）在（–∞，3-23），（3+23，+∞）单调递增，在（3-23，3+23）单调递减．
（2）由于x 2
+x+1>0，所以f(x)=0等价于x 3x 2+x+1
- 3a=0．
设g(x)=x 3
x 2+x+1 - 3a ，则g ′（x ）=x 2
(x 2
+2x+3)
(x 2+x+1)2 ≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+
∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．
又f （3a –1）=-6a+2a- 13=-6(a- 16)2- 16<0，f （3a+1）=1
3
>0，故f （x ）有一个零点．
综上，f （x ）只有一个零点．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x=2cos θ
y=4sin θ
（θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x=1+tcos α
y=2+tsin α
（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为x 2
4+y
2
16
=1．
当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y=tan αx+2-tan α， 当cos α=0时，l 的直角坐标方程为x=1．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+3cos 2α)t 2
+4(2cos α+sin α)t-8=0．① 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1+t 2=0． 又由①得2cos α+sin α=0，，于是直线l 的斜率k=tan α=-2．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．
（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a 的取值范围．
【解析】（1）当a=1时，⎩⎪⎨⎪⎧2x+4 x ≤-1
2 -1<x ≤2 -2x+6 x>2
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x ≤3}．
（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．得a ≤-6或a α2， 所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)．
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C 二、填空题
13．y=2x–2 14．9 15．3
2
16．8π
三、解答题
17．解：
（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．
（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y$=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y$=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1
亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网 19．解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=
连结OB ．因为，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB=12AC =2．
由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．
（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．
由题设可知OC=12AC =2，CM=23BC ，∠ACB=45°．
所以，CH=sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠．
所以点C 到平面POM ． 20．解：
（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y=k （x –1）（k>0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k ++=
． 所以2122
44
(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k +=，解得k=–1（舍去）
，k=1．
因此l 的方程为y=x –1．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则
0022000
5(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，
解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 21．解：
（1）当a=3时，f （x ）=32
13333
x x x ---，f ′（x ）=263x x --．
令f ′（x ）=0解得
x=3-
x=3+
当x
∈（–∞，3-
3++∞）时，f ′（x ）>0； 当x
∈（3-
3+ f ′（x ）<0．
故f （x
）在（–∞，3-
3++
∞）单调递增，在（3-
3+
（2）由于2
10x x ++>，所以()0f x =等价于3
2
301
x a x x -=++． 设()g x =3
231
x a x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–
∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．学·科网 又f （3a –1）=2
2111626()0366a a a -+-=---<，f （3a+1）=103
>，故f （x ）有一个零点．
综上，f （x ）只有一个零点． 22．解：
（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +
=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．
又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．
23．解：
（1）当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．。